1、工程硕士(GCT)数学-75 及答案解析(总分：97.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择/B(总题数：25，分数：97.00)1.设 n 维向量组 1， 2， s的秩等于 3，则U /U A. 1， 2， s中的任何 4 个向量相关，任何 3 个向量无关 B. 存在含有两个向量的无关的部分组 C. 相关的部分组包含向量的个数多于 3 D. 如果 s3，则 1， 2， s中有零向量（分数：4.00）A.B.C.D.2. （分数：4.00）A.B.C.D.3. （分数：1.00）A.B.C.D.4.设 A，B，C，D 是扎阶矩阵，A 可逆 H= （分数：4.00）A.B.C.D.5. （分
2、数：4.00）A.B.C.D.6.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足（分数：4.00）A.B.C.D.7. （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 abc0，且 a+b+c=0， （分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：4.00）A.B.C.D.11. （分数：4.00）A.B.C.D.12. （分数：4.00）A.B.C.D.13.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是U /U A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆（分数：4.00）A
3、.B.C.D.14. （分数：4.00）A.B.C.D.15. （分数：4.00）A.B.C.D.16.一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27，则公差 d 的值为U /U A. 3 B. 4 C. 5 D. 6（分数：4.00）A.B.C.D.17.设 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，0) T， 3=(1，a+2，-2) T，=(1，3，0) T已知 不能被 1， 2， 3线性表出，则 a=U /U A.3 B.-1 C.-3 D.1（分数：4.00）A.B.C.D.18. （分数：4.00）A.B.C.D.19.已知方程 x3
4、-2x2-2x+1=0 有三个根 x1，x 2，x 3，其中 x1=-1，则|x 2-x3|等于U /U(A) 2 (B) 1 (C) （分数：4.00）A.B.C.D.20. （分数：4.00）A.B.C.D.21. （分数：4.00）A.B.C.D.22.在半径为 30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光是圆锥形，且其轴截面顶角为120，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为U /Um （分数：4.00）A.B.C.D.23.设 （分数：4.00）A.B.C.D.24.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.25.设方程(lgx) 1+(1+lg5)
5、lgx+lg5=0 的两个根是 和 ，则 =U /U。A （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-75 答案解析(总分：97.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择/B(总题数：25，分数：97.00)1.设 n 维向量组 1， 2， s的秩等于 3，则U /U A. 1， 2， s中的任何 4 个向量相关，任何 3 个向量无关 B. 存在含有两个向量的无关的部分组 C. 相关的部分组包含向量的个数多于 3 D. 如果 s3，则 1， 2， s中有零向量（分数：4.00）A.B. C.D.解析：(A)中若 i中有一个 0 向量，则任何 3 个包含此 0 向量的组即相关，因
6、此错误(B)中既然其秩等于 3，则必定有一个极大无关组，个数为 3，任取其中两个向量构成部分组，则这两个必无关，因此(B)对(C)中由于存在 0 向量的可能性，那么包含 0 向量的任意部分组，来论其个数多少，均是相关的，因此不必多于 3 个，因此(C)是错误的(D)中 0 向量可存在，也可不存在，举例，若 1， 2， 3为大无关组， 4= 1+ 2+ 3，这样 1， 2， 3， 4满足 S=43，但其中并无 0 向量选(B)2. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*3. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：*4.设 A，B，C，D 是扎阶矩阵，A 可逆 H= （分数：4.00）A
7、. B.C.D.解析：HG=*所以|HG|=|H|G|=|H|=|A|B-DA -1C|则|H|=|A|B-DA -1C|，选(A).5. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*6.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设第 n 个月份的需求量超过 1.5 万件，显然 S11.5，则当 n1 时*解不等式，得 n2-15n+540，即 6n9故正确答案为 C。7. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*8.已知 abc0，且 a+b+c=0， （分数：4.00）A.B.C. D.
8、解析：根据题意，应该有 a，b，c 两正一负，故 x=0，ax 3+bx2+cx+1=1，那么选(C)9. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*10. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*11. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*12. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*13.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是U /U A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 |z-i|=|3+4i|*|z-i|=5，表示圆心在(0，1)，半径为 5 的圆，选(C)14. （分数：4
9、.00）A.B.C. D.解析：*15. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*16.一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27，则公差 d 的值为U /U A. 3 B. 4 C. 5 D. 6（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 根据题意，有*，S 偶 =192，S 偶 -S 奇 =6d=30，所以 d=5，选(C)17.设 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，0) T， 3=(1，a+2，-2) T，=(1，3，0) T已知 不能被 1， 2， 3线性表出，则 a=U /U A.3 B.-1 C.-3 D.1（分数
10、：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 不能被 1， 2， 3线性表出，所以不存在数 x1，x 2，x 3使=x 1 1+x2 2+x33 3成立，即线性方程组*无解所以*当 a=-1 时，*此时 r(A)=2，*，即线性方程组无解故 不能被 1， 2， 3线性表出所以选 B18. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题属于 1 型，原式*选(D)19.已知方程 x3-2x2-2x+1=0 有三个根 x1，x 2，x 3，其中 x1=-1，则|x 2-x3|等于U /U(A) 2 (B) 1 (C) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：x 3-2x2-2x+1=(x3+1
11、)-2(x2+x)=(1+x)(1-x+x2)-2x(1+x)=(1+x)(1-3x+x2)x3-2x2-2x+1=x2(x+1)-3x(x+1)+(x+1)=(x+1)(x2-3x+1)，x1，x 3是 x2-3x+1=0 的根，x 2+x3=3，x 2+x3=1|x2-x3|*20. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*21. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*22.在半径为 30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光是圆锥形，且其轴截面顶角为120，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为U /Um （分数：4.00）A.B.C. D.解析：显然轴截面是等
12、腰三角形，顶角为 120，底边为 60，故此三角形的高为 10*，选(C)23.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 构造一个新的行列式*，虽然 D 与 D。不同，但这两个行列式的代数余子式 A21、A 22、A23是一样的。要计算行列式 D 的代数余子式 A21、A 22、A 23的和可以通过行列式 D1来实现。一方面，对行列式 D，按第 2 行展开有D1=A21+3A22+2A23另一方面，对 D。计算，有*从而，得到 A21+3A22+A23=1，故选 B。24.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由*。又因 f(x)是连续函数，故有*。 * 所以曲线 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y-f(x)=f(2)(x-2)，即 y+3=x-2，亦即 y=x-5。 故选 A。25.设方程(lgx) 1+(1+lg5)lgx+lg5=0 的两个根是 和 ，则 =U /U。A （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 方程用 y=lgx 换元，得到 y 的一个一元二次方程，它的根 y1=lg，y 2=lg。由根与系数的关系得 y1+y2=-(1+lg5)，即 lg()=-lg50，故*故正确答案为 A。
