1、工程硕士(GCT)数学-69 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.一艘轮船发生漏水事故，堵塞漏洞后开始抽水，现有 1，2，3 号 3 台抽水机，已知单独用一台抽水机抽完积水，1 号用 4 小时，2 号用 3 小时，3 号用 2 小时，现在先用 1 号和 2 号抽水 30 分钟，然后关闭 1 号而开启 3 号，则抽完积水还需( )（分数：4.00）A.51 分钟B.55 分钟C.59 分钟D.60 分钟2.已知矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.3.己知 若 X 满足 AX+2B=BA+2X，则 X4=( )（分数：4.
2、00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)(xN)表示 x 除以 3 的余数，对 x，yN 都有( )（分数：4.00）A.f(x+3)=f(x)B.f(x+y)=f(x)+f(y)C.3f(x)=f(3x)D.f(x)f(y)=f(xy)5.设坐标原点 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则 OAOB=( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.己知连续函数 f(x)满足 f(x)=f(2a-x)(a0)，C 为任意常数， 则（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 为三阶矩阵，且|A|=5；B 为二阶矩阵，且|B|=3，则
3、 （分数：4.00）A.B.C.D.9.当 x0 时， ，则（分数：4.00）A.B.C.D.10.以 AB 为直径的半圆上，除 A、B 两点外另有 6 个点，又 A、B 上另有 4 个点，共 12 个点，以这 12 个点为顶点能组成的四边形的个数为( )（分数：4.00）A.360B.375C.480D.49511.等差数列 的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 则 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.12.复数 的辐角主值是( )（分数：4.00）A.B.C.D.13.曲线 y=ex与其过原点的切线及 y 轴所围成的图形面积为( )（分数：4.00）A.B.C.D.14.设 x0
4、 时， （分数：4.00）A.B.C.D.15.用某种兽药治病牛，治愈率为 95用这种药治 4 头病牛，至少有 3 头被治愈的概率大约是( )（分数：4.00）A.0.93B.0.95C.0.79D.0.9916.若 （分数：4.00）A.B.C.D.17.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.18.设 an是等比数列，a n0(n=1，2，)，记 （分数：4.00）_19.若圆锥体的高 h 和底半径 r 的比是 4:3，且侧面积为 15，则它的高，h=( )（分数：4.00）A.5B.4C.D.20.设集合 （分数：4.00）_21.若 ab1， （分数：4.00）A.B.C.D.22.已
5、知四阶行列式 （分数：4.00）A.B.C.D.23.曲线 y=x2与直线 x=0，x=1，y=t(0t1)所围的图形的面积为( )（分数：4.00）A.时，面积最大B.时，面积最小C.时，面积最大D.时，面积最小24.设 A 是 34 阶矩阵，且齐次线性方程组 AX=0 的通解是 X=k(R 4，k 为任意常数)，则下列正确的是( )（分数：4.00）A.B.齐次方程 ATX=0 也有无数多个解C.D.ATAX=0 也有无数多个解25.设 a0，P0，从抛物线 x2=2p(y+a)上一点(x 1，y 1)，作切线交 x 轴于(x 2，0)，则(1)若 x1(0， )，则 x2x 1(2)若
6、x1( ，+)，则 x2x 1(3)若 x1(0， )，则 x2x 1(4)若 x1( （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-69 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.一艘轮船发生漏水事故，堵塞漏洞后开始抽水，现有 1，2，3 号 3 台抽水机，已知单独用一台抽水机抽完积水，1 号用 4 小时，2 号用 3 小时，3 号用 2 小时，现在先用 1 号和 2 号抽水 30 分钟，然后关闭 1 号而开启 3 号，则抽完积水还需( )（分数：4.00）A.51 分钟 B.55 分钟C.59 分钟D.60 分钟解
7、析：解析 由已知，1、2、3 号抽水机每分钟的抽水量依次为*其中 1 表示船舱中的全部积水，设关闭 1 号抽水机，开启 3 号抽水机后还需 t 分钟才能抽完积水，则有*所以 *解得 t=51故(A)为正确答案2.已知矩阵 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *3.己知 若 X 满足 AX+2B=BA+2X，则 X4=( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由已知 AX+2B=BA+2X，得AX-2X=BA-2B， 即(A-2E)X=B(A-2E)由于*可逆，且*故 X=(A-2E)-1B(A-2E)，于是X4=(A-2E)-1B4(A-2E)故正确答案为(B)4.设函
8、数 f(x)(xN)表示 x 除以 3 的余数，对 x，yN 都有( )（分数：4.00）A.f(x+3)=f(x) B.f(x+y)=f(x)+f(y)C.3f(x)=f(3x)D.f(x)f(y)=f(xy)解析：解析 因为 x+3 与 x 的差是 3 的整数倍，所以 x+3 除以 3 与 x 除以 3 的余数相同，所以 f(x+3)=f(x)故正确答案为(A)5.设坐标原点 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则 OAOB=( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 解法一，由抛物线方程可知抛物线的焦点为*取直线 ABx 轴，则有*和*，因此，*从而排除(
9、A)、(C)、(D)，得(B)为正确答案解法二，依设可知抛物线的焦点为*且直线 AB 的方程可写为*常数 mR，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1，y 2是二次方程 y2-2my-1=0 的两个根所以 y1y2=-1，y 1+y2=2m从而*因为*所以*6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.解析：解析 令*则当 x=0 时，u=-1，于是*把 x=0，u=-1 代入上式，得*因此选(B)7.己知连续函数 f(x)满足 f(x)=f(2a-x)(a0)，C 为任意常数， 则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 f(x)=f(2a-x)，有 f(a+x)=f(
10、a-x)而*在*中，令 x=-u，则*8.设 A 为三阶矩阵，且|A|=5；B 为二阶矩阵，且|B|=3，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *故正确的选择为(B)9.当 x0 时， ，则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令 lnx=t，则 x=et，因此*因此选(B)10.以 AB 为直径的半圆上，除 A、B 两点外另有 6 个点，又 A、B 上另有 4 个点，共 12 个点，以这 12 个点为顶点能组成的四边形的个数为( )（分数：4.00）A.360 B.375C.480D.495解析：解析 这 12 个点为顶点能组成的四边形实际上是最多可能性的情况，即只要
11、能求出最多时的四边形即可，应该按照各点的分布特征进行分类讨论，有以下的情况(1)两个点在直径 AB 上，另两点在圆上，此时共可组成四边形*(2)一个点在直径 AB 上(包括直径端点 A，B)，另 3 个点在半圆周上(不包括直径端点 A、B)，此时共可组成四边形 q=120*(3)4 个点均在圆周上(不包括直径端点 A，B)，此时共可组成四边形*，故共有 360 种，选(A)11.等差数列 的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 则 等于( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 可利用等差数列的性质，寻找*与*的关系*得*12.复数 的辐角主值是( )（分数：4.00）A.B.C.
12、D.解析：解析 求复数的辐角一般是先把复数化为三角形式后再求，而复数只有化为 r(cos+isin)(其中 r0)才能称作三角式*故(C)为正确答案13.曲线 y=ex与其过原点的切线及 y 轴所围成的图形面积为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 曲线 y=ex在任意一点(x 0，y 0)的切线方程为*，由于切线过原点，将(0，0)点代入上式，得 X0=1，所以，曲线 y=ex过原点的切线方程为 y=ex因此，所求平面图形的面积应为*，故选(C)14.设 x0 时， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由题设*所以 c=1又因为*即*要使上式成立，须 b=0，a=
13、1，因此选(B)15.用某种兽药治病牛，治愈率为 95用这种药治 4 头病牛，至少有 3 头被治愈的概率大约是( )（分数：4.00）A.0.93B.0.95C.0.79D.0.99 解析：解析 看成独立重复试验 4 次，则有*16.若 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为*又因为*于是*17.曲线 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *可知*是曲线的水平渐近线，又*所以 x=0 是曲线的垂直渐近线，故选(B)18.设 an是等比数列，a n0(n=1，2，)，记 （分数：4.00）_解析：解析 (1)若a n19.若圆锥体的高 h 和底半径 r 的比是 4:3，且
14、侧面积为 15，则它的高，h=( )（分数：4.00）A.5B.4 C.D.解析：解析 圆锥体侧面积*而*得*解得 h=4，故(B)为正确答案20.设集合 （分数：4.00）_解析：解析 由己知 A，得 lgx2=lg(8x-15)，所以 x 2-8x+15=0解得 x 1=3，X 2=5 所以 A=x|x1=3，x 2=5，又由 B，得*所以*所以 4k-x4k+所以 B=x|4k-x4k+，kZ(1)当 k=0 时，-x， 所以 AB=X|X=321.若 ab1， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 解法一，*应选(B)解法二，取 a=100，b=10，则 P=*，Q=1.5，
15、*故选(B)22.已知四阶行列式 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用行列式的展开性质，有*，此值为原行列式的第三列元素换为 1，1，0，2 的新行列式之值，此新行列式与原行列式的第三列的4 个元素的代数余子式相同，故*此题也可分别直接计算原行列式的 A13，A 23，A 43可得同样的结果；*A13+A23+2A43=27-39+16=4，故选(C)23.曲线 y=x2与直线 x=0，x=1，y=t(0t1)所围的图形的面积为( )（分数：4.00）A.时，面积最大B.时，面积最小 C.时，面积最大D.时，面积最小解析：解析 由题意得，曲线 y=x2与 3 条直线所围图形面积
16、*令 S=0，得唯一的驻点*又*所以*是唯一的极小值点，因此它是最小值点即*时，S 取最小值24.设 A 是 34 阶矩阵，且齐次线性方程组 AX=0 的通解是 X=k(R 4，k 为任意常数)，则下列正确的是( )（分数：4.00）A.B.齐次方程 ATX=0 也有无数多个解C.D.ATAX=0 也有无数多个解 解析：解析 因为 r(ATA)=r(A)=3，而 ATA 为 4 阶方阵，所以齐次线性方程组(A TA)X=0 也有无限多个解25.设 a0，P0，从抛物线 x2=2p(y+a)上一点(x 1，y 1)，作切线交 x 轴于(x 2，0)，则(1)若 x1(0， )，则 x2x 1(2)若 x1( ，+)，则 x2x 1(3)若 x1(0， )，则 x2x 1(4)若 x1( （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *过(x 1，y 1)的切线方程是*，所以*于是*时，*时，x 1x 1，即(1)，(4)是真命题(以上用导数来写切线方程，也可从函数图形分析)，故选(C)为正确答案
