1、工程硕士(GCT)数学-67 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、在每小题给出的四个选项中，只有一项正确(总题数：25，分数：100.00)1.设 f(x)的定义域是-1,0， 的定义域是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.2.若函数 y=1-2cosx-2sin2x 的值域为a，b，则 b2+4a 的值为( )。（分数：4.00）A.1B.2C.3D.43.设 4 阶矩阵 A=(,r2,r3,r4)，B=(,r2,r3,r4)，其中 ,r2,r3,r4 均为四维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，则行列式|A+B|=( )。（分数：4.00）A.5B.4C
2、.50D.404.给出三个等式：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)f(y)。则下列函数中不满足其中任何一个等式的函数是( )。（分数：4.00）A.x2B.2xC.sinxD.lgx5. ，则 F(x)=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)在0,2上连续，并且对任意的 x0,1都有 f(1-x)=-f(1+x)，则 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则下列各项中正确的是( )。（分数：4.00）A.当 f(x)为奇函数时，F(x)必为偶函数B.当 f(x)为偶函数
3、时，F(x)必为奇函数C.当 f(x)为周期函数时，F(x)必为周期函数D.当 f(x)为单调增函数时，F(x)必为单调增函数8.在由 1、2、3、4、5 构成的各位数字不同的三位数中，任取一个恰是偶数的概率为 ( )。（分数：4.00）A.B.C.D.9.向量组 a1=(1,-1,2,4)T，a 2=(0,3,1,2)T，a 3=(3,0,7,14)T，a 4=(1,-2,2,0)T， a 5=(2,1,5,10)T的极大线性无关组不能是( )。（分数：4.00）A.a1,a2,a4B.a2,a3,a4C.a1,a4,a5D.a1,a3,a510.半球内有一内接正方体，则该半球的全面积与正方
4、体的全面积之比为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.11.已知 sin+sin=1，cos+cos=0，那么 cos2+cos2 等于( )。（分数：4.00）A.0B.1C.-1D.112.设 A 为三阶方阵，有特征值 1=1， 2=-1， 3=-2，其对应特征向量分别为 1、 2、 3，记P=(2 2,-3 3,4 1)，则 P-1AP 等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.13.（分数：4.00）A.B.C.D.14.（分数：4.00）A.B.C.D.15.（分数：4.00）A.B.C.D.16. （分数：4.00）A.B.C.D.17.指数方程组 （分数：4.00）A.B
5、.C.D.18.圆锥的侧面展开图是一个半径为 18cm，圆心角为 240的扇形，则它的体积是 ( )。（分数：4.00）A.B.C.D.19.设 f(x)在0,2上连续，且 f(x)+f(2-x)0， ( )。（分数：4.00）A.B.C.D.20.如果关于 x 的一元二次方程 kx2-6x+9=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )。（分数：4.00）A.k1B.k0C.k1 且 k0D.k121.已知 是第三象限的角，且有 则 sin2=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.22.设 an是正数数列，其前 n，项的和为 Sn，且满足：对一切 nZ +，a n与 2 的等差
6、中项等于 Sn与 2 的等比中项，则 an的通项公式为( )。（分数：4.00）A.an=n2+nB.an=n2-nC.an=3n-1D.an=4n-223.直线 ax-by=0 与圆 x2+y2-ax+by=0(a,b0)的位置关系是( )。（分数：4.00）A.相交B.相切C.相离D.视 a,b 的值而定24. （分数：4.00）A.B.C.D.25. （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-67 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、在每小题给出的四个选项中，只有一项正确(总题数：25，分数：100.00)1.设 f(x)的定义域是-1,0， 的定义域
7、是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 f(x)定义域是-1,0有* 及-1sinx0，即 2k-1x2k(k 是整数)。 联立式和式解得*。故正确答案为 C。2.若函数 y=1-2cosx-2sin2x 的值域为a，b，则 b2+4a 的值为( )。（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 *，cosx=-1 时，y max=3=b。所以有*故正确答案为 C。3.设 4 阶矩阵 A=(,r2,r3,r4)，B=(,r2,r3,r4)，其中 ,r2,r3,r4 均为四维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，则行列式|A+B|=( )。（分数：4.00）
8、A.5B.4C.50D.40 解析：解析 |A+B|=|+,2r 2,2r3,2r4|=8|+,r 2,r3,r4|=8|,r 2,r3,r4|+|,r 2,r3,r4|=84+1=40。4.给出三个等式：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)f(y)。则下列函数中不满足其中任何一个等式的函数是( )。（分数：4.00）A.x2B.2xC.sinx D.lgx解析：解析 比较这四个答案，观察验证即可得出 C 为正确答案。5. ，则 F(x)=( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *故 F(x)为常数。6.设 f(x)在0,2上连
9、续，并且对任意的 x0,1都有 f(1-x)=-f(1+x)，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *。因此*又因为 f(1-sin(-t)=f(1+sint)=-f(1-sint)，上式最后一步利用了题设条件 f(1-x)=-f(1+x)。所以f(1-sint)是奇函数，奇函数在对称区间上的积分为零，即*。故正确答案为 B。7.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则下列各项中正确的是( )。（分数：4.00）A.当 f(x)为奇函数时，F(x)必为偶函数 B.当 f(x)为偶函数时，F(x)必为奇函数C.当 f(x)为周期函数时，F(x)必为周期函数D.当 f
10、(x)为单调增函数时，F(x)必为单调增函数解析：解析 对于 B：f(x)=x 2，*不是奇函数。对于 C：f(x)=cosx+1 是周期函数，但 F(x)=sinx+x 不是周期函数。对于 D：f(x)=x 为单调增函数，但*并不是单调函数。对于 A：设 f(x)=-f(-x)，f(x)的全体原函数 F(x)可以表示为*，则*即 F(x)为偶函数，故正确答案为 A。8.在由 1、2、3、4、5 构成的各位数字不同的三位数中，任取一个恰是偶数的概率为 ( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据题意，由 1、2、3、4、5 构成各位数字不同的三位数共有 543=60 个，其中为
11、偶数的只能是第三位取 2 和 4，它们分别都有 43 个，故总数共有 243=24 个，所以任取一个是偶数的概率为*故正确答案为 A。9.向量组 a1=(1,-1,2,4)T，a 2=(0,3,1,2)T，a 3=(3,0,7,14)T，a 4=(1,-2,2,0)T， a 5=(2,1,5,10)T的极大线性无关组不能是( )。（分数：4.00）A.a1,a2,a4B.a2,a3,a4C.a1,a4,a5D.a1,a3,a5 解析：解析 对(a 1a2a3a4a5)作初等行变换，有*由于极大线性无关组中必有 a4，故正确答案为 D。10.半球内有一内接正方体，则该半球的全面积与正方体的全面积
12、之比为( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设正方体棱长为 x，球半径为 R，则*11.已知 sin+sin=1，cos+cos=0，那么 cos2+cos2 等于( )。（分数：4.00）A.0B.1 C.-1D.1解析：解析 由已知有*，平方相加得 1=2-2sin,得*因此 cos2+cos2=1-2sin 2+1-2sin 2=1，故正确答案为 B。12.设 A 为三阶方阵，有特征值 1=1， 2=-1， 3=-2，其对应特征向量分别为 1、 2、 3，记P=(2 2,-3 3,4 1)，则 P-1AP 等于( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因
13、2=2 2， 3=-3 3， 1：412 仍为特性值 2， 3， 1对应的特征向量，故*13.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由绝对值非负这一特征可知|b-1|0。*与|b-1|互为相反数，可知*,b=1。故*故正确答案为 B。14.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 f(x)在不是分段点处是初等函数，因此，只需讨论在分段点 x=1 处的情形，要使 f(x)在x=1 处可导，必须使 f(x)在 x=1 处连续，即*也就是*，所以 a=0。要使 f(x)在 x=1 处可导，必须使*，而*因此 b=1。故正确答案为 B。15.（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解
14、析 *故正确答案为 C。16. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 化增广矩阵为阶梯形*由题设，必有 a=1 或 a=-2。当 a=1 时，*，无解，与题意不符。当 a=-2 时，*，方程组有无穷多解，故 a=-2。17.指数方程组 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 两个方程分别取对数，得*因为 ln4ln3-ln2ln2=ln2(2ln3-la2)0故有唯一的一组解(本题没有要求解出 x,y)故正确答案为 A。18.圆锥的侧面展开图是一个半径为 18cm，圆心角为 240的扇形，则它的体积是 ( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *，即圆锥底面周长
15、=2rcm=24cm，底面半径 r=12cm，圆锥的母线长=18cm，高*。所以圆锥的体积为*故正确答案为 D。19.设 f(x)在0,2上连续，且 f(x)+f(2-x)0， ( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 作变量替换，令 t=2-x，dt=-dx。*故*，正确答案为 B。20.如果关于 x 的一元二次方程 kx2-6x+9=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )。（分数：4.00）A.k1B.k0C.k1 且 k0 D.k1解析：解析 因为方程是一元二次方程，所以 k0，又因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足*故由题意，得*故正确答案为 C。21
16、.已知 是第三象限的角，且有 则 sin2=( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由*，知 2(2k+1)22(2k+1)+。于是有 sin20，排除 B 项和 D 项。又由*，得*，故正确答案为 A。22.设 an是正数数列，其前 n，项的和为 Sn，且满足：对一切 nZ +，a n与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比中项，则 an的通项公式为( )。（分数：4.00）A.an=n2+nB.an=n2-nC.an=3n-1D.an=4n-2 解析：解析 此题可用数学归纳法来证明 D 成立。当 n=1 时，a 1=2。设 n=k 时有 ak=4k-2，代入*，解得 Sk
17、=2k2， S k+1=2k2+ak+1，对 n=k+1，由*因ak+10，解得 ak+1=2+4k=4(k+1)-2。因此，D 对所有正整数都成立。23.直线 ax-by=0 与圆 x2+y2-ax+by=0(a,b0)的位置关系是( )。（分数：4.00）A.相交B.相切 C.相离D.视 a,b 的值而定解析：解析 圆方程为*为半径的圆，圆心到直线的距离为*故正确答案为 B。24. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *故 n 的最小值为 7，故正确答案为 A。25. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *故 k3 且 k-1 时，|A|0，r(A)=4，故 C 项正确。*因此正确答案为 D。
