1、工程硕士(GCT)数学-4 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.设 （分数：4.00）A.(A) 当 a0 时，B.(B) 当 0a1 时，f(x)在 x=0处连续但不可导C.(C) 当 1a2 时，f(x)在 x=0处可导但导函数不连续D.(D) 当 a=2时，f(x)在，x=0 处导函数连续2.一辆汽车从甲地出发匀速行驶，本可准时到达乙地，但在距乙地 180km处，意外受阻 30分钟，因此需每小时增加 5km的时速，才能在原定时间到达乙地，则提速后汽车的速度是每小时( )km（分数：4.00）A.(A) 40B.
2、(B) 45C.(C) 50D.(D) 523.如图 63所示，两个等腰直角三角形叠放在一起，AF 长 3，AC 长 12，DE 长 8，重叠部分(阴影部分)五边形 AGHID的面积是( ) （分数：4.00）A.(A) 26B.(B) 27C.(C) 26.5D.(D) 以上均不正确4.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数 z在复平面上对应点的轨迹是( )（分数：4.00）A.(A) 一条直线B.(B) 两条直线C.(C) 圆D.(D) 椭圆5.已知 A为 n阶方阵，E 为 n阶单位阵，且(A-E) 2=3(A+E)2，给出 4个结论 (1) A+E 可逆； (2) A+2E 可逆； (3
3、) A+3E 可逆； (4) A+4E 可逆， 以上结论中正确的有( )（分数：4.00）A.(A) 1个B.(B) 2个C.(C) 3个D.(D) 4个6.已知点 A的坐标为(-1，1)，直线 z的方程为 3x+y=0，那么直线 l关于点 A的对称直线 l的方程为( )（分数：4.00）A.(A) 4x-y+6=0B.(B) 4x+y+6=0C.(C) x+3y+4=0D.(D) 3x+y+4=07.装台机器需要甲，乙，丙三种部件各一件，现库中存有这三种部件共 270件，分别用甲，乙，丙库存件数的 （分数：4.00）A.(A) 80B.(B) 90C.(C) 100D.(D) 1108.设
4、（分数：4.00）A.(A) ABB.(B) BCC.(C) ACD.(D) 以上均不正确9.等差数列a n)中，a 50，a 60，且 a6|a 5|，S n是前 n项之和，则( )（分数：4.00）A.(A) S1，S 2，S 3均小于 0，而 S4，S 5均大于 0B.(B) S1，S 2，S 5均小于 0，而 S6，S 7，均大于 0C.(C) S1，S 2，S 9均小于 0，而 S10，S 11均大于 0D.(D) S1，S 2，S 10均小于 0，而 S11，S 12均大于 010.双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1与 F2设F 1MF2=120，则该双曲线的离心率为(
5、)（分数：4.00）A.B.C.D.11.平面中的 4个点 P1，P 2，P 3，P 4在某个球面上，P 1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3，球心到该平面的距离是其半径的一半，则球的体积是( )（分数：4.00）A.B.C.D.12.直线 ax+b+c=0(abc0)与圆 x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是( )（分数：4.00）A.(A) 锐角三角形B.(B) 直角三角形C.(C) 钝角三角形D.(D) 等边三角形13.A，B 为 n阶矩阵，k 为自然数，如 AB=BA，则称 A和 B可交换，下面命题错误的是( )（分数：4.00）A.(A) 若 A，
6、B 都为对称阵，则 A，B 可交换B.(B) 若 A，B 可交换，则 ABk与 BAk可交换C.(C) 若 A-B与 A+B可交换，则 A与 B可交换D.(D) 若 A，B 互为逆矩阵，则 A与 B可交换14.若 AB-A-B=E， （分数：4.00）A.(A) 6B.(B) 9C.(C) -9D.(D) 1815.曲线 与直线 x=-2，x=2 及 x轴所围成的平面图形的面积为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.16.设 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，b=1，2，3，则 S17+S33+S50=( )（分数：4.00）A.(A) 1B.(B) 0C.(C) 6D.(D) -1
7、17.关于 x的不等式|3-x|+|x-2|a 的解集为空集，则实数 a的取值范围是( )（分数：4.00）A.(A) a1B.(B) a1C.(C) a1D.(D) a118.某人忘记三位号码锁(每位均有 09 共 10个数码)的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第 4次试开时才将锁打开的概率是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.19.如图 62所示，RtABC 中，C=90，半圆的圆心 O在 AB上，AC 和 BC分别切半圆于 E和F，AC=b，BC=a，则 的半径为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.20.齐次线
8、性方程组 （分数：4.00）A.(A) t=-2，且|B|=0B.(B) t=-2，且|B|0C.(C) t=1，且|B|0D.(D) t=1，且|B|=021.若曲线 y=k-x2与 （分数：4.00）A.(A) 1B.(B) 2C.(C) 3D.(D) 422.把四封不同的信投入三个不同的邮箱，且每个邮箱至少投一封信，共有( )种投法（分数：4.00）A.(A) 12B.(B) 21C.(C) 36D.(D) 4223.设 ，当 x0 时，与 f(x)等价的无穷小量是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.24.设函数 ，则=( ) （分数：4.00）A.(A) -1B.(B) 0C.(
9、C) 1D.(D) 225.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为 1/4的等差数列，则|m-n|=( )（分数：4.00）A.(A) 2B.(B) 1C.(C) D.(D) 工程硕士(GCT)数学-4 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.设 （分数：4.00）A.(A) 当 a0 时，B.(B) 当 0a1 时，f(x)在 x=0处连续但不可导C.(C) 当 1a2 时，f(x)在 x=0处可导但导函数不连续D.(D) 当 a=2时，f(x)在，x=0 处导函数连续 解析：解析 a0
10、 时， 不存在，(A)正确；0a1 时， = 不存在，故 f(x)在 x=0处连续但不可导，B 正确；1a2 时， 不存在，故 f(x)在 x=0处可导但导函数不连续，(C)正确；a=2时，f(0)=不存在，(D)错误，选(D)2.一辆汽车从甲地出发匀速行驶，本可准时到达乙地，但在距乙地 180km处，意外受阻 30分钟，因此需每小时增加 5km的时速，才能在原定时间到达乙地，则提速后汽车的速度是每小时( )km（分数：4.00）A.(A) 40B.(B) 45 C.(C) 50D.(D) 52解析：解析 设汽车原速度为 v，则3.如图 63所示，两个等腰直角三角形叠放在一起，AF 长 3，A
11、C 长 12，DE 长 8，重叠部分(阴影部分)五边形 AGHID的面积是( ) （分数：4.00）A.(A) 26B.(B) 27C.(C) 26.5D.(D) 以上均不正确 解析：解析 AC=12，所以 SABC =72；AF=3，DE=DF=8，AD=5，即 CD=7，所以 ；AB=12，AG=3，BG=9，故，从而阴影部分面积是 SABC -S BGH=S CDI=，选(D)4.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数 z在复平面上对应点的轨迹是( )（分数：4.00）A.(A) 一条直线B.(B) 两条直线C.(C) 圆 D.(D) 椭圆解析：解析 |z-i|=|3+4i|5.已知 A
12、为 n阶方阵，E 为 n阶单位阵，且(A-E) 2=3(A+E)2，给出 4个结论 (1) A+E 可逆； (2) A+2E 可逆； (3) A+3E 可逆； (4) A+4E 可逆， 以上结论中正确的有( )（分数：4.00）A.(A) 1个B.(B) 2个C.(C) 3个D.(D) 4个 解析：解析 (A-E) 2=3(A+E)26.已知点 A的坐标为(-1，1)，直线 z的方程为 3x+y=0，那么直线 l关于点 A的对称直线 l的方程为( )（分数：4.00）A.(A) 4x-y+6=0B.(B) 4x+y+6=0C.(C) x+3y+4=0D.(D) 3x+y+4=0 解析：解析 显
13、然两直线平行，在 l上取点(0，0)，A 的对称点是(-2，2)，故直线方程为 y-2=-3(x+2)，即 3x+y+4=0，选(D)7.装台机器需要甲，乙，丙三种部件各一件，现库中存有这三种部件共 270件，分别用甲，乙，丙库存件数的 （分数：4.00）A.(A) 80B.(B) 90C.(C) 100 D.(D) 110解析：解析 设甲、乙、丙存件数分别为 x，y，z，则 ，解得8.设 （分数：4.00）A.(A) ABB.(B) BCC.(C) AC D.(D) 以上均不正确解析：解析 对于矩阵 B，当特征值为 1时对应的线性无关的特征向量只有(1，0，0) T，故不可对角化，同理矩阵
14、C可对角化，从而 AC，选(C)9.等差数列a n)中，a 50，a 60，且 a6|a 5|，S n是前 n项之和，则( )（分数：4.00）A.(A) S1，S 2，S 3均小于 0，而 S4，S 5均大于 0B.(B) S1，S 2，S 5均小于 0，而 S6，S 7，均大于 0C.(C) S1，S 2，S 9均小于 0，而 S10，S 11均大于 0 D.(D) S1，S 2，S 10均小于 0，而 S11，S 12均大于 0解析：解析 10.双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1与 F2设F 1MF2=120，则该双曲线的离心率为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：
15、解析 设双曲线方程为 ，则取 M的坐标为(0，b)，而 F1的坐标为(c，0)，又OMF 2=60，即，所以，选(B)11.平面中的 4个点 P1，P 2，P 3，P 4在某个球面上，P 1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3，球心到该平面的距离是其半径的一半，则球的体积是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 P 1，P 2，P 3，P 4构成一正方形，且该正方形所在圆面的半径为，设球半径为 r，则，即 ，所以球体积为 ，选(B)12.直线 ax+b+c=0(abc0)与圆 x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是( )（分数：4.00）A.(A)
16、 锐角三角形B.(B) 直角三角形 C.(C) 钝角三角形D.(D) 等边三角形解析：解析 根据直线与圆相切，有13.A，B 为 n阶矩阵，k 为自然数，如 AB=BA，则称 A和 B可交换，下面命题错误的是( )（分数：4.00）A.(A) 若 A，B 都为对称阵，则 A，B 可交换 B.(B) 若 A，B 可交换，则 ABk与 BAk可交换C.(C) 若 A-B与 A+B可交换，则 A与 B可交换D.(D) 若 A，B 互为逆矩阵，则 A与 B可交换解析：解析 (AB) T=BTAT=BA，选(A)14.若 AB-A-B=E， （分数：4.00）A.(A) 6B.(B) 9C.(C) -9
17、 D.(D) 18解析：解析 AB-A-B=E15.曲线 与直线 x=-2，x=2 及 x轴所围成的平面图形的面积为( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 如图 69所示，由于 在(-2，2)内是奇函数，所以 = ，选(A) 16.设 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，b=1，2，3，则 S17+S33+S50=( )（分数：4.00）A.(A) 1 B.(B) 0C.(C) 6D.(D) -1解析：解析 S 17=1-2+3-+17=9，同理 S33=17，S 50=-25，所以 S17+S33+S50=1，选(A)17.关于 x的不等式|3-x|+|x-2|a 的解集
18、为空集，则实数 a的取值范围是( )（分数：4.00）A.(A) a1B.(B) a1 C.(C) a1D.(D) a1解析：解析 根据图像|3-x|+|x-2|的最小值为 1，则 a1 时不等式无解，选(B)18.某人忘记三位号码锁(每位均有 09 共 10个数码)的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第 4次试开时才将锁打开的概率是( ) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 不知道最后一个号码时，前 3次错误，第 4次正确，故概率为 =19.如图 62所示，RtABC 中，C=90，半圆的圆心 O在 AB上，AC 和
19、 BC分别切半圆于 E和F，AC=b，BC=a，则 的半径为( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 连接 OC，有 SABC =SOAC +SOBC ，即20.齐次线性方程组 （分数：4.00）A.(A) t=-2，且|B|=0B.(B) t=-2，且|B|0C.(C) t=1，且|B|0D.(D) t=1，且|B|=0 解析：解析 21.若曲线 y=k-x2与 （分数：4.00）A.(A) 1B.(B) 2C.(C) 3 D.(D) 4解析：解析 先求两直线的切线斜率，分别为-2x 和 ，令22.把四封不同的信投入三个不同的邮箱，且每个邮箱至少投一封信，共有( )种投法（分数
20、：4.00）A.(A) 12B.(B) 21C.(C) 36 D.(D) 42解析：解析 有个信箱至少要投两封信，所以答案为23.设 ，当 x0 时，与 f(x)等价的无穷小量是( ) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 ，有 k=6， ，即24.设函数 ，则=( ) （分数：4.00）A.(A) -1B.(B) 0C.(C) 1 D.(D) 2解析：解析 ，而-1x1 时 f(x)为奇函数，故 ，又 ，所以25.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为 1/4的等差数列，则|m-n|=( )（分数：4.00）A.(A) 2B.(B) 1C.(C) D.(D) 解析：解析 假设四个根分别为 a，b，c，d则有 ，已知四个根为首项为 的等差数列，所以末项应为 ，从而可得中间两项分别为，m，n 分别为从而等差数列为所以|m-n|=选(C)
