1、工程硕士(GCT)数学-49 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B在每小题给出的四个选项中，只有(总题数：25，分数：100.00)1.已知 是第三象限的角，且有 则 sin2=( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.2.如果关于 x 的一元二次方程 kx2-6x+9=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )。（分数：4.00）A.k1B.k0C.k1 且 k0D.k13.圆锥的侧面展开图是一个半径为 18cm，圆心角为 240的扇形，则它的体积是 ( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)的定义域是-1,0， 的定义域是( )。 （分
2、数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在0,2上连续，并且对任意的 x0,1都有 f(1-x)=-f(1+x)，则 （分数：4.00）A.1B.0C.-1D.A、B、C 都不正确6. （分数：4.00）A.B.C.D.7. （分数：4.00）A.B.C.D.8.在由 1、2、3、4、5 构成的各位数字不同的三位数中，任取一个恰是偶数的概率为 ( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.9.半球内有一内接正方体，则该半球的全面积与正方体的全面积之比为( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.10.设a n是正数数列，其前 n，项的和为 Sn，且满足：对一切 nZ +，a n与 2 的等
3、差中项等于 Sn与 2 的等比中项，则a n的通项公式为( )。（分数：4.00）A.an=n2+nB.an=n2-nC.an=3n-1D.an=4n-211.设 A 为三阶方阵，有特征值 1=1， 2=-1， 3=-2，其对应特征向量分别为 1、 2、 3，记P=(2 2,-3 3,4 1)，则 P-1AP 等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.12.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则下列各项中正确的是( )。（分数：4.00）A.当 f(为奇函数时，F(必为偶函数B.当 f(为偶函数时，F(必为奇函数C.当 f(为周期函数时，F(必为周期函数D.当 f(为单调
4、增函数时，F(必为单调增函数13.给出三个等式：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)f(y)。则下列函数中不满足其中任何一个等式的函数是( )。（分数：4.00）A.x2B.2xC.sinxD.lgx14.已知 sin+sin=1，cos+cos=0，那么 cos2+cos2 等于( )。（分数：4.00）A.0B.1C.-1D.115.设 4 阶矩阵 A=(,r2,r3,r4)，B=(,r2,r3,r4)，其中 ,r2,r3,r4 均为四维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，则行列式|A+B|=( )。（分数：4.00）A.5B.4C
5、.50D.4016.，则 F(x)=( )。 CF(x)=arctanx DF(x)=2arctanx （分数：4.00）A.B.C.D.17.则 n 的最小值为( )。 （分数：4.00）A.7B.8C.9D.1018.若函数 y=1-2cosx-2sin2x 的值域为a，b，则 b2+4a 的值为( )。（分数：4.00）A.1B.2C.3D.419. （分数：4.00）A.k=-1 时，r(=1B.k=3 时，r(=3C.k-1 且 k3 时，r(=4D.以上答案均不正确20.直线 ax-by=0 与圆 x2+y2-ax+by=0(a,b0)的位置关系是( )。（分数：4.00）A.相交
6、B.相切C.相离D.视 a,b 的值而定21.有无穷多解，则 a=( )。 （分数：4.00）A.2B.1C.-2D.1 或-222.设 f(x)在0,2上连续，且 f(x)+f(2-x)0， ( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.23. （分数：4.00）A.B.C.D.24.向量组 a1=(1,-1,2,4)T，a 2=(0,3,1,2)T，a 3=(3,0,7,14)T，a 4=(1,-2,2,0)T， a 5=(2,1,5,10)T的极大线性无关组不能是( )。（分数：4.00）A.a1,a2,a4B.a2,a3,a4C.a1,a4,a5D.a1,a3,a525.指数方程组 （分
7、数：4.00）A.有一组B.有两组C.有无穷多组D.不存在工程硕士(GCT)数学-49 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B在每小题给出的四个选项中，只有(总题数：25，分数：100.00)1.已知 是第三象限的角，且有 则 sin2=( )。 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 ，知 2(2k+1)22(2k+1)+。 于是有 sin20，排除 B 项和 D 项。又由 ， 得2.如果关于 x 的一元二次方程 kx2-6x+9=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )。（分数：4.00）A.k1B.k0C.k1 且 k0 D.k1解析：解析 因
8、为方程是一元二次方程，所以 k0，又因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足故由题意，得 故正确答案为 C。3.圆锥的侧面展开图是一个半径为 18cm，圆心角为 240的扇形，则它的体积是 ( )。 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 ，即圆锥底面周长=2rcm=24cm，底面半径 r=12cm，圆锥的母线长=18cm，高。 所以圆锥的体积为 故正确答案为 D。4.设 f(x)的定义域是-1,0， 的定义域是( )。 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 f(x)定义域是-1,0有 及-1sinx0，即 2k-1x2k(k 是整数)。 联立式和式解得。 故正确答案为
9、 C。5.设 f(x)在0,2上连续，并且对任意的 x0,1都有 f(1-x)=-f(1+x)，则 （分数：4.00）A.1B.0 C.-1D.A、B、C 都不正确解析：解析 。因此 又因为 f(1-sin(-t)=f(1+sint)=-f(1-sint)，上式最后一步利用了题设条件 f(1-x)=-f(1+x)。所以 f(1-sint)是奇函数，奇函数在对称区间上的积分为零，即6. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 7. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 f(x)在不是分段点处是初等函数，因此，只需讨论在分段点 x=1 处的情形，要使 f(x)在x=1 处可导，必
10、须使 f(x)在 x=1 处连续，即 也就是 ，所以 a=0。要使 f(x)在 x=1 处可导，必须使 ，而 因此 b=1。 故正确答案为 B。8.在由 1、2、3、4、5 构成的各位数字不同的三位数中，任取一个恰是偶数的概率为 ( )。 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据题意，由 1、2、3、4、5 构成各位数字不同的三位数共有 543=60 个，其中为偶数的只能是第三位取 2 和 4，它们分别都有 43 个，故总数共有 243=24 个，所以任取一个是偶数的概率为 故正确答案为 A。9.半球内有一内接正方体，则该半球的全面积与正方体的全面积之比为( )。 （分数：4.00
11、）A. B.C.D.解析：解析 设正方体棱长为 x，球半径为 R，则 10.设a n是正数数列，其前 n，项的和为 Sn，且满足：对一切 nZ +，a n与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比中项，则a n的通项公式为( )。（分数：4.00）A.an=n2+nB.an=n2-nC.an=3n-1D.an=4n-2 解析：解析 此题可用数学归纳法来证明 D 成立。当 n=1 时，a 1=2。设 n=k 时有 ak=4k-2，代入 ，解得 Sk=2k2， S k+1=2k2+ak+1，对 n=k+1，由11.设 A 为三阶方阵，有特征值 1=1， 2=-1， 3=-2，其对应特征向量分别为
12、1、 2、 3，记P=(2 2,-3 3,4 1)，则 P-1AP 等于( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因 2=2 2， 3=-3 3， 1：412 仍为特性值 2， 3， 1对应的特征向量，故12.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则下列各项中正确的是( )。（分数：4.00）A.当 f(为奇函数时，F(必为偶函数 B.当 f(为偶函数时，F(必为奇函数C.当 f(为周期函数时，F(必为周期函数D.当 f(为单调增函数时，F(必为单调增函数解析：解析 对于 B：f(x)=x 2， 不是奇函数。对于 C：f(x)=cosx+1 是周期函数，但 F(x
13、)=sinx+x 不是周期函数。对于 D：f(x)=x 为单调增函数，但 并不是单调函数。对于 A：设 f(x)=-f(-x)，f(x)的全体原函数 F(x)可以表示为 ，则13.给出三个等式：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)f(y)。则下列函数中不满足其中任何一个等式的函数是( )。（分数：4.00）A.x2B.2xC.sinx D.lgx解析：解析 比较这四个答案，观察验证即可得出 C 为正确答案。14.已知 sin+sin=1，cos+cos=0，那么 cos2+cos2 等于( )。（分数：4.00）A.0B.1 C.-1D.1解析
14、：解析 由已知有 ，平方相加得 1=2-2sin,得15.设 4 阶矩阵 A=(,r2,r3,r4)，B=(,r2,r3,r4)，其中 ,r2,r3,r4 均为四维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，则行列式|A+B|=( )。（分数：4.00）A.5B.4C.50D.40 解析：解析 |A+B|=|+,2r 2,2r3,2r4|=8|+,r 2,r3,r4|=8|,r 2,r3,r4|+|,r 2,r3,r4|=84+1=40。16.，则 F(x)=( )。 CF(x)=arctanx DF(x)=2arctanx （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 17.则 n 的最小
15、值为( )。 （分数：4.00）A.7 B.8C.9D.10解析：解析 18.若函数 y=1-2cosx-2sin2x 的值域为a，b，则 b2+4a 的值为( )。（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 ，cosx=-1 时，y max=3=b。所以有19. （分数：4.00）A.k=-1 时，r(=1B.k=3 时，r(=3C.k-1 且 k3 时，r(=4D.以上答案均不正确 解析：解析 故 k3 且 k-1 时，|A|0，r(A)=4，故 C 项正确。 20.直线 ax-by=0 与圆 x2+y2-ax+by=0(a,b0)的位置关系是( )。（分数：4.00）A.相交
16、B.相切 C.相离D.视 a,b 的值而定解析：解析 圆方程为 为半径的圆，圆心到直线的距离为 21.有无穷多解，则 a=( )。 （分数：4.00）A.2B.1C.-2 D.1 或-2解析：解析 化增广矩阵为阶梯形 由题设，必有 a=1 或 a=-2。 当 a=1 时， ，无解，与题意不符。 当 a=-2 时，方程组有无穷多解，故 a=-2。22.设 f(x)在0,2上连续，且 f(x)+f(2-x)0， ( )。 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 作变量替换，令 t=2-x，dt=-dx。 故23. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由绝对值非负这一特征可知|b-1|0。 与|b-1|互为相反数，可知 ,b=1。故 24.向量组 a1=(1,-1,2,4)T，a 2=(0,3,1,2)T，a 3=(3,0,7,14)T，a 4=(1,-2,2,0)T， a 5=(2,1,5,10)T的极大线性无关组不能是( )。（分数：4.00）A.a1,a2,a4B.a2,a3,a4C.a1,a4,a5D.a1,a3,a5 解析：解析 对(a 1a2a3a4a5)作初等行变换，有25.指数方程组 （分数：4.00）A.有一组 B.有两组C.有无穷多组D.不存在解析：解析 两个方程分别取对数，得
