1、工程硕士(GCT)数学-46 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、B在每小题给出的四个选项中,只有(总题数:25,分数:100.00)1. (分数:4.00)A.0B.nC.-nD.2n2. (分数:4.00)A.B.C.D.3.等腰三角形一腰所在的直线 l1的方程是 x-2y=0,底边所在直线 l2的方程是 x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,则这腰所在直线 l3的方程为( )。(分数:4.00)A.2x-y+4=0B.2x+2y=0C.2x+y+4=0D.2x-2y+4=04. (分数:4.00)A.-6B.-9C.-18D.185.一抛物线以 y 轴为对称轴,
2、且过 点及原点,一直线 l 经过 点,则直线 l 被抛物线截得的线段的长度为( )。 (分数:4.00)A.B.C.D.6.函数 f(x)=sin(x+)cos(x+)(0)以 2 为最小正周期,且在 x=2 处取得最大值,则 的一个值是( )。 (分数:4.00)A.B.C.D.7.设 A 为 4 阶矩阵,且|A|=2,把 A 按列分块为 A=(A1,A2,A3,A4),其中 Aj(j=1,2,3,4)是 A 的第 j 列,则|-A2,-A1,-A4,-A3|=( )。(分数:4.00)A.-2B.2C.1D.08.其中 a,b 为常数,则 a,b 为( )。 (分数:4.00)A.a=1,
3、b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-19.若 x=a2-bc,y=b 2-ac,z=c 2-ab,a,b,c 是不完全相等的任意实数,则 x,y,z ( )。(分数:4.00)A.至少有一个大于 0B.都大于 0C.至少有一个小于 0D.都不小于 010.用数学归纳法证明不等式 的过程中,由“k”推导“k+1”时,不等式左边增加了( )。 (分数:4.00)A.B.C.D.11.齐次线性方程组 (分数:4.00)A.=-1 且|B|=0B.=-1 且|B|0C.=3 且,|B|=0D.=3 且|B|012.A 为 Mn 矩阵,且 mn,Ax=0 是 Ax=b 的导
4、出组,则下述结论正确的是( )。(分数:4.00)A.Ax=b 必有无穷多组解B.Ax=0 必有无穷多组解C.Ax=0 只有零解D.Ax=b 必无解13.已知关于 x 的一元二次方程 8x2+(m+1)x+m-7=0 有两个负数根,那么实数 m 的取值范围是( )。(分数:4.00)A.m7B.m7C.m1D.m114.设三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 (分数:4.00)A.1B.-1C.2D.-215.一批产品共有 100 件,其中 90 件是合格品,10 件是次品,从这批产品中任取 3 件,求其中有次品的概率为( )。(分数:4.00)A.0.7265B.0.2476
5、8C.0.2735D.0.742516.长方体的全面积为 11,12 条棱长度之和为 24,则该长方体的一条对角线的长度为 ( )。 (分数:4.00)A.B.C.D.17. (分数:4.00)A.m=5,n=4B.m=5,n=5C.m=4,n=5D.m=4,n=418.光线经过点 P(2,3)射在直线 x+y+1=0 上,反射后经过点 Q(3,-2),反射线所在直线的方程是( )。(分数:4.00)A.7x-y-11=0B.x-7y-17=0C.5x+y-13=0D.7x+5y+13=019.下列函数中,存在反函数的是( )。 (分数:4.00)A.B.C.D.20.设函数 f(x)在 x=
6、2 点处连续, 处切线的斜率为( )。 (分数:4.00)A.B.C.D.21.设 A,B 为 3 阶矩阵,且满足方程 A-1BA=6A+BA, 则 B=( )。(分数:4.00)A.B.C.D.22.一元二次方程 x2-x-3=0 的两个根的倒数和等于( )。(分数:4.00)A.B.C.D.23.复数 z=1+cos+i sin(2)的模为( )。 (分数:4.00)A.B.C.D.24. (分数:4.00)A.(-,-5)1,3B.(-,-5)(1,3)C.(-5,3)D.(-,8)25.设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则下列命题 (1) (ab)c-(ca)b=0
7、(2) |a|-|b|a-b| (3) (bc)a-(ca)b 不与 c 垂直 (4) (3a+2b)(3a-2b)=9|a| 2-4|b|2 中,是真命题的有( )。(分数:4.00)A.(1),(2)B.(2),(3)C.(3),(4)D.(2),(4)工程硕士(GCT)数学-46 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、B在每小题给出的四个选项中,只有(总题数:25,分数:100.00)1. (分数:4.00)A.0 B.nC.-nD.2n解析:解析 2. (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 3.等腰三角形一腰所在的直线 l1的方程是 x-2y=0,底边所在直
8、线 l2的方程是 x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,则这腰所在直线 l3的方程为( )。(分数:4.00)A.2x-y+4=0 B.2x+2y=0C.2x+y+4=0D.2x-2y+4=0解析:解析 设 l1,l2,l3的斜率分别为 k1,k2,k3,l1到 l2的角是 1,l2到 l3的角是 2,则, k 2=-1,故有因为 1= 2,所以 tan 1=tan 2=-3。因为 l1,l2,l3所围成的三角形是等腰三角形,即有又直线 l3经过点(-2,0),所以直线 l3的方程为 y=2(x+2),即 2x-y+4=0,故正确答案为 A。4. (分数:4.00)A.-6B.-9C.-1
9、8 D.18解析:解析 根据行列式的性质,有5.一抛物线以 y 轴为对称轴,且过 点及原点,一直线 l 经过 点,则直线 l 被抛物线截得的线段的长度为( )。 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 直线 l 过 两点,其方程为:设抛物线方程为 y=ax2,过。求两线交点故两点间的距离故正确答案为 B。6.函数 f(x)=sin(x+)cos(x+)(0)以 2 为最小正周期,且在 x=2 处取得最大值,则 的一个值是( )。 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 7.设 A 为 4 阶矩阵,且|A|=2,把 A 按列分块为 A=(A1,A2,A3,A4),其中 Aj(j=
10、1,2,3,4)是 A 的第 j 列,则|-A2,-A1,-A4,-A3|=( )。(分数:4.00)A.-2B.2 C.1D.0解析:解析 利用行列式的性质有|-A2,-A1,-A4,-A3|=(-1)4|A2,A1,A4,A3|=|A2,A1,A4,A3|=-|A1,A2,A4,A3|=|A 1,A2,A3,A4|=|A|=2故正确答案为 B。8.其中 a,b 为常数,则 a,b 为( )。 (分数:4.00)A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1解析:解析 由已知条件有9.若 x=a2-bc,y=b 2-ac,z=c 2-ab,a,b,c 是不
11、完全相等的任意实数,则 x,y,z ( )。(分数:4.00)A.至少有一个大于 0 B.都大于 0C.至少有一个小于 0D.都不小于 0解析:解析 解法一: 因为 a,b,c 不全相等,所以有 10.用数学归纳法证明不等式 的过程中,由“k”推导“k+1”时,不等式左边增加了( )。 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 不等式左边分母从 n+1 连续变化到 2n,共有 n 项,n=k 时,分母从 k+1 变化到 2k;n=k+1时,分母从 k+2 变化到 2k+2,即前面减少一项,后面增加两项,故正确答案为 B。11.齐次线性方程组 (分数:4.00)A.=-1 且|B|=0 B
12、.=-1 且|B|0C.=3 且,|B|=0D.=3 且|B|0解析:解析 12.A 为 Mn 矩阵,且 mn,Ax=0 是 Ax=b 的导出组,则下述结论正确的是( )。(分数:4.00)A.Ax=b 必有无穷多组解B.Ax=0 必有无穷多组解 C.Ax=0 只有零解D.Ax=b 必无解解析:解析 由 mn 可得 Ax=0 中方程个数小于未知量个数(即 r(A)n),所以 Ax=0 存在非零解,从而Ax=0 必有无穷多组解。 Ax=b 有解13.已知关于 x 的一元二次方程 8x2+(m+1)x+m-7=0 有两个负数根,那么实数 m 的取值范围是( )。(分数:4.00)A.m7 B.m7
13、C.m1D.m1解析:解析 设方程的两根为 x1和 x2,14.设三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 (分数:4.00)A.1B.-1 C.2D.-2解析:解析 15.一批产品共有 100 件,其中 90 件是合格品,10 件是次品,从这批产品中任取 3 件,求其中有次品的概率为( )。(分数:4.00)A.0.7265B.0.24768C.0.2735 D.0.7425解析:解析 设 A=有次品,A i=有 i 件次品,i=1,2,3,故 A=A1A 2A 3,并且 A1、A 2、A 3,是两两互斥的,由概率的古典定义有16.长方体的全面积为 11,12 条棱长度之和为 2
14、4,则该长方体的一条对角线的长度为 ( )。 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 设长方体的棱长为 a、b、c,则 4(a+b+c)=24,2(ab+bc+ac)=11。 故17. (分数:4.00)A.m=5,n=4B.m=5,n=5C.m=4,n=5D.m=4,n=4 解析:解析 P 2=PP=E,因此当 m,n 均为偶数时,P mAPn=EAE=A,故正确答案为 D。18.光线经过点 P(2,3)射在直线 x+y+1=0 上,反射后经过点 Q(3,-2),反射线所在直线的方程是( )。(分数:4.00)A.7x-y-11=0B.x-7y-17=0 C.5x+y-13=0D.7
15、x+5y+13=0解析:解析 因入射角等于反射角,所以入射线所在直线与反射线所在直线关于直线 x+y+1=0 对称,P关于 x+y+1=0 的对称点 P在反射线所在直线上,容易求得 P(-4,-3)。反射线所在直线过点 P(-4,-3)和Q(3,-2),其方程为 x-7y-17=0。 故正确答案为 B。19.下列函数中,存在反函数的是( )。 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 f 1(x)在 上是增函数,在 上是减函数。函数 f1不是 到其值域的一一对应,即在中,会有两个自变量的值对应同一个函数值,所以 f1(x)不存在反函数。同理,f 2(x)在 上是增函数,在 上是减函数,不
16、存在反函数。f3(x)的图像是抛物线的一段该抛物线的对称轴为 x=2,在 ,f 3(x)是单调递减的,存在反函数。同理,f 4(x)对应的抛物线的对称轴为 x=-1,所以 f4(x)在 上是减函数,而在20.设函数 f(x)在 x=2 点处连续, 处切线的斜率为( )。 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 将极限等式变形为 21.设 A,B 为 3 阶矩阵,且满足方程 A-1BA=6A+BA, 则 B=( )。(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 对于矩阵方程应先化简,不要急于带入已知数据,由于 A 可逆,用 A-1右乘方程的两端,有 A-1B=6E+B。进而得22.一元
17、二次方程 x2-x-3=0 的两个根的倒数和等于( )。(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 设方程的两根为 x1,x2,23.复数 z=1+cos+i sin(2)的模为( )。 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 24. (分数:4.00)A.(-,-5)1,3 B.(-,-5)(1,3)C.(-5,3)D.(-,8)解析:解析 直接对不等式求解显然很麻烦,我们用“根排序法”会很轻松。对原不等式作同解变形25.设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则下列命题 (1) (ab)c-(ca)b=0 (2) |a|-|b|a-b| (3) (bc)a-(ca)b 不与 c 垂直 (4) (3a+2b)(3a-2b)=9|a| 2-4|b|2 中,是真命题的有( )。(分数:4.00)A.(1),(2)B.(2),(3)C.(3),(4)D.(2),(4) 解析:解析 (1) 中左边是 c-b 的形式,因为 c 和 b 不共线,不会是零向量。(2) 中 a,b 不共线,|a|,|b|,|a-b|刮可组成三角形的 3 条边,不等式成立。(3) 中式子与向量 c 的内积为零,它们是相互垂直的向量。(4) 中由向量内积运算,知其成立,故正确答案为 D。