1、工程硕士(GCT)数学-46 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B在每小题给出的四个选项中，只有(总题数：25，分数：100.00)1. （分数：4.00）A.0B.nC.-nD.2n2. （分数：4.00）A.B.C.D.3.等腰三角形一腰所在的直线 l1的方程是 x-2y=0，底边所在直线 l2的方程是 x+y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，则这腰所在直线 l3的方程为( )。（分数：4.00）A.2x-y+4=0B.2x+2y=0C.2x+y+4=0D.2x-2y+4=04. （分数：4.00）A.-6B.-9C.-18D.185.一抛物线以 y 轴为对称轴，
2、且过 点及原点，一直线 l 经过 点，则直线 l 被抛物线截得的线段的长度为( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.6.函数 f(x)=sin(x+)cos(x+)(0)以 2 为最小正周期，且在 x=2 处取得最大值，则 的一个值是( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为 4 阶矩阵，且|A|=2，把 A 按列分块为 A=(A1,A2,A3,A4)，其中 Aj(j=1,2,3,4)是 A 的第 j 列，则|-A2,-A1,-A4,-A3|=( )。（分数：4.00）A.-2B.2C.1D.08.其中 a，b 为常数，则 a,b 为( )。 （分数：4.00）A.a=1，
3、b=1B.a=-1，b=1C.a=1，b=-1D.a=-1，b=-19.若 x=a2-bc，y=b 2-ac，z=c 2-ab,a,b,c 是不完全相等的任意实数，则 x,y,z ( )。（分数：4.00）A.至少有一个大于 0B.都大于 0C.至少有一个小于 0D.都不小于 010.用数学归纳法证明不等式 的过程中，由“k”推导“k+1”时，不等式左边增加了( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.11.齐次线性方程组 （分数：4.00）A.=-1 且|B|=0B.=-1 且|B|0C.=3 且，|B|=0D.=3 且|B|012.A 为 Mn 矩阵，且 mn,Ax=0 是 Ax=b 的导
4、出组，则下述结论正确的是( )。（分数：4.00）A.Ax=b 必有无穷多组解B.Ax=0 必有无穷多组解C.Ax=0 只有零解D.Ax=b 必无解13.已知关于 x 的一元二次方程 8x2+(m+1)x+m-7=0 有两个负数根，那么实数 m 的取值范围是( )。（分数：4.00）A.m7B.m7C.m1D.m114.设三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 （分数：4.00）A.1B.-1C.2D.-215.一批产品共有 100 件，其中 90 件是合格品，10 件是次品，从这批产品中任取 3 件，求其中有次品的概率为( )。（分数：4.00）A.0.7265B.0.2476
5、8C.0.2735D.0.742516.长方体的全面积为 11，12 条棱长度之和为 24，则该长方体的一条对角线的长度为 ( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.17. （分数：4.00）A.m=5，n=4B.m=5，n=5C.m=4，n=5D.m=4，n=418.光线经过点 P(2,3)射在直线 x+y+1=0 上，反射后经过点 Q(3,-2)，反射线所在直线的方程是( )。（分数：4.00）A.7x-y-11=0B.x-7y-17=0C.5x+y-13=0D.7x+5y+13=019.下列函数中，存在反函数的是( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.20.设函数 f(x)在 x=
6、2 点处连续， 处切线的斜率为( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.21.设 A，B 为 3 阶矩阵，且满足方程 A-1BA=6A+BA， 则 B=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.22.一元二次方程 x2-x-3=0 的两个根的倒数和等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.23.复数 z=1+cos+i sin(2)的模为( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.24. （分数：4.00）A.(-,-5)1,3B.(-,-5)(1,3)C.(-5,3)D.(-,8)25.设 a、b、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题 (1) (ab)c-(ca)b=0
7、(2) |a|-|b|a-b| (3) (bc)a-(ca)b 不与 c 垂直 (4) (3a+2b)(3a-2b)=9|a| 2-4|b|2 中，是真命题的有( )。（分数：4.00）A.(1),(2)B.(2),(3)C.(3),(4)D.(2),(4)工程硕士(GCT)数学-46 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B在每小题给出的四个选项中，只有(总题数：25，分数：100.00)1. （分数：4.00）A.0 B.nC.-nD.2n解析：解析 2. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 3.等腰三角形一腰所在的直线 l1的方程是 x-2y=0，底边所在直
8、线 l2的方程是 x+y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，则这腰所在直线 l3的方程为( )。（分数：4.00）A.2x-y+4=0 B.2x+2y=0C.2x+y+4=0D.2x-2y+4=0解析：解析 设 l1,l2,l3的斜率分别为 k1,k2,k3,l1到 l2的角是 1,l2到 l3的角是 2，则， k 2=-1，故有因为 1= 2，所以 tan 1=tan 2=-3。因为 l1,l2,l3所围成的三角形是等腰三角形，即有又直线 l3经过点(-2,0)，所以直线 l3的方程为 y=2(x+2)，即 2x-y+4=0，故正确答案为 A。4. （分数：4.00）A.-6B.-9C.-1
9、8 D.18解析：解析 根据行列式的性质，有5.一抛物线以 y 轴为对称轴，且过 点及原点，一直线 l 经过 点，则直线 l 被抛物线截得的线段的长度为( )。 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 直线 l 过 两点，其方程为：设抛物线方程为 y=ax2，过。求两线交点故两点间的距离故正确答案为 B。6.函数 f(x)=sin(x+)cos(x+)(0)以 2 为最小正周期，且在 x=2 处取得最大值，则 的一个值是( )。 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 7.设 A 为 4 阶矩阵，且|A|=2，把 A 按列分块为 A=(A1,A2,A3,A4)，其中 Aj(j=
10、1,2,3,4)是 A 的第 j 列，则|-A2,-A1,-A4,-A3|=( )。（分数：4.00）A.-2B.2 C.1D.0解析：解析 利用行列式的性质有|-A2,-A1,-A4,-A3|=(-1)4|A2,A1,A4,A3|=|A2,A1,A4,A3|=-|A1,A2,A4,A3|=|A 1,A2,A3,A4|=|A|=2故正确答案为 B。8.其中 a，b 为常数，则 a,b 为( )。 （分数：4.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=1C.a=1，b=-1 D.a=-1，b=-1解析：解析 由已知条件有9.若 x=a2-bc，y=b 2-ac，z=c 2-ab,a,b,c 是不
11、完全相等的任意实数，则 x,y,z ( )。（分数：4.00）A.至少有一个大于 0 B.都大于 0C.至少有一个小于 0D.都不小于 0解析：解析 解法一： 因为 a，b，c 不全相等，所以有 10.用数学归纳法证明不等式 的过程中，由“k”推导“k+1”时，不等式左边增加了( )。 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 不等式左边分母从 n+1 连续变化到 2n，共有 n 项，n=k 时，分母从 k+1 变化到 2k；n=k+1时，分母从 k+2 变化到 2k+2，即前面减少一项，后面增加两项，故正确答案为 B。11.齐次线性方程组 （分数：4.00）A.=-1 且|B|=0 B
12、.=-1 且|B|0C.=3 且，|B|=0D.=3 且|B|0解析：解析 12.A 为 Mn 矩阵，且 mn,Ax=0 是 Ax=b 的导出组，则下述结论正确的是( )。（分数：4.00）A.Ax=b 必有无穷多组解B.Ax=0 必有无穷多组解 C.Ax=0 只有零解D.Ax=b 必无解解析：解析 由 mn 可得 Ax=0 中方程个数小于未知量个数(即 r(A)n)，所以 Ax=0 存在非零解，从而Ax=0 必有无穷多组解。 Ax=b 有解13.已知关于 x 的一元二次方程 8x2+(m+1)x+m-7=0 有两个负数根，那么实数 m 的取值范围是( )。（分数：4.00）A.m7 B.m7
13、C.m1D.m1解析：解析 设方程的两根为 x1和 x2，14.设三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 （分数：4.00）A.1B.-1 C.2D.-2解析：解析 15.一批产品共有 100 件，其中 90 件是合格品，10 件是次品，从这批产品中任取 3 件，求其中有次品的概率为( )。（分数：4.00）A.0.7265B.0.24768C.0.2735 D.0.7425解析：解析 设 A=有次品，A i=有 i 件次品，i=1，2，3，故 A=A1A 2A 3，并且 A1、A 2、A 3，是两两互斥的，由概率的古典定义有16.长方体的全面积为 11，12 条棱长度之和为 2
14、4，则该长方体的一条对角线的长度为 ( )。 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设长方体的棱长为 a、b、c，则 4(a+b+c)=24，2(ab+bc+ac)=11。 故17. （分数：4.00）A.m=5，n=4B.m=5，n=5C.m=4，n=5D.m=4，n=4 解析：解析 P 2=PP=E，因此当 m，n 均为偶数时，P mAPn=EAE=A，故正确答案为 D。18.光线经过点 P(2,3)射在直线 x+y+1=0 上，反射后经过点 Q(3,-2)，反射线所在直线的方程是( )。（分数：4.00）A.7x-y-11=0B.x-7y-17=0 C.5x+y-13=0D.7
15、x+5y+13=0解析：解析 因入射角等于反射角，所以入射线所在直线与反射线所在直线关于直线 x+y+1=0 对称，P关于 x+y+1=0 的对称点 P在反射线所在直线上，容易求得 P(-4,-3)。反射线所在直线过点 P(-4,-3)和Q(3,-2)，其方程为 x-7y-17=0。 故正确答案为 B。19.下列函数中，存在反函数的是( )。 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 f 1(x)在 上是增函数，在 上是减函数。函数 f1不是 到其值域的一一对应，即在中，会有两个自变量的值对应同一个函数值，所以 f1(x)不存在反函数。同理，f 2(x)在 上是增函数，在 上是减函数，不
16、存在反函数。f3(x)的图像是抛物线的一段该抛物线的对称轴为 x=2，在 ，f 3(x)是单调递减的，存在反函数。同理，f 4(x)对应的抛物线的对称轴为 x=-1，所以 f4(x)在 上是减函数，而在20.设函数 f(x)在 x=2 点处连续， 处切线的斜率为( )。 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 将极限等式变形为 21.设 A，B 为 3 阶矩阵，且满足方程 A-1BA=6A+BA， 则 B=( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 对于矩阵方程应先化简，不要急于带入已知数据，由于 A 可逆，用 A-1右乘方程的两端，有 A-1B=6E+B。进而得22.一元
17、二次方程 x2-x-3=0 的两个根的倒数和等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设方程的两根为 x1,x2，23.复数 z=1+cos+i sin(2)的模为( )。 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 24. （分数：4.00）A.(-,-5)1,3 B.(-,-5)(1,3)C.(-5,3)D.(-,8)解析：解析 直接对不等式求解显然很麻烦，我们用“根排序法”会很轻松。对原不等式作同解变形25.设 a、b、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题 (1) (ab)c-(ca)b=0 (2) |a|-|b|a-b| (3) (bc)a-(ca)b 不与 c 垂直 (4) (3a+2b)(3a-2b)=9|a| 2-4|b|2 中，是真命题的有( )。（分数：4.00）A.(1),(2)B.(2),(3)C.(3),(4)D.(2),(4) 解析：解析 (1) 中左边是 c-b 的形式，因为 c 和 b 不共线，不会是零向量。(2) 中 a,b 不共线，|a|,|b|,|a-b|刮可组成三角形的 3 条边，不等式成立。(3) 中式子与向量 c 的内积为零，它们是相互垂直的向量。(4) 中由向量内积运算，知其成立，故正确答案为 D。
