1、工程硕士(GCT)数学-41 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.计算 的值为_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.路旁一条平行小路上，有一个行人与一个骑自行车的人同时向南行进，行人速度为每小时 3.6km，骑车人速度为每小时 10.8km，这时有一列火车从他们的后方过来，火车通过行人用 22s，通过骑车人用 26s，问这列火车的车身总长是_m。(忽略行人和骑车人在火车相遇中走过的距离)A280 B224 C226 D286（分数：4.00）A.B.C.D.3.一只船顺流而行的航速为 30km/h，已知顺
2、水航行 3h和逆水航行 5h的航程相等，则此船顺水漂流 1h的航程为_km。A4 B6 C8 D10（分数：4.00）A.B.C.D.4.三名工人甲、乙和丙分别加工 200个零件，他们同时开始工作，当乙加工 200个零件的任务全部完成时，甲才加工了 160个，丙还有 48个没有加工，当甲加工 200个零件的任务全部完成时，丙还有_个零件没有加工。A10 B20 C30 D40（分数：4.00）A.B.C.D.5.园林工人要在周长 300m的圆形花坛边等距离栽树。他们先沿着花坛的边每隔 3m挖一坑，当挖完 30个坑时，突然接到通知：改为每隔 5m栽一棵树，这样，他们还要挖_个坑才能完成任务。A5
3、5 B54 C53 D52（分数：4.00）A.B.C.D.6.设复数 z满足|z+i|+|z-i|=2，则|z+i+1|的最小值为_。A1 B C2 D （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y=x2-2x+3的顶点是(b，c)，则 ad等于_。A3 B2 C1 D-2（分数：4.00）A.B.C.D.8.如图所示，在长方形内有四条线段，把长方形分成若干块。已知有三块图形的面积分别是13，35，49。那么图中阴影部分的面积是_。（分数：4.00）A.B.C.D.9.已知两圆 x2+y2=10和(x-1) 2+(y-3)2=20相交于 A，B 两点，则
4、直线 AB的方程是_。A3x-y=0 Bx-3y=0 C3x+y=0 Dx+3y=0（分数：4.00）A.B.C.D.10.甲、乙、丙 3位同学选修课程，从 4门课程中，甲选修 2门，乙、丙各选修 3门，则不同的选修方案共有_。A36 种 B48 种 C96 种 D192 种（分数：4.00）A.B.C.D.11. （分数：4.00）A.B.C.D.12.从 5张 100元，3 张 200元，2 张 300元的奥运预赛门票中任取 3张，则所取 3张中至少有 2张价格相同的概率为_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.13.设 P是双曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.14.用
5、 10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被 3、5 整除，这个数最小是 m，最大是 n，则 n-m等于_。A360 B345 C330 D375（分数：4.00）A.B.C.D.15.若 f(sinx)=3-cos2x，则 f(cosx)=_。A3-cos2x B3-sin2x C3+cos2x D3+sin2x（分数：4.00）A.B.C.D.16.已知曲线 的一条切线的斜率为 （分数：4.00）A.B.C.D.17.当 x+时， （分数：4.00）A.B.C.D.18.曲线 y=lnx与 x轴及直线 x= ，x=e 围成图形的面积是_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.1
6、9.函数 f(x)图形如图所示，它的不可导点为_。（分数：4.00）A.B.C.D.20.设 ，当 x0 时，与 f(x)等价的无穷小量是_。A Bx 4 C2x 5 D （分数：4.00）A.B.C.D.21.若 AB-A-B=E， （分数：4.00）A.B.C.D.22.设 1， 2， 3， 4都是 n维向量，判断下列命题是否成立。如果 1， 2， 3线性无关， 4不能用 1， 2， 3线性表示，则 1， 2， 3， 4线性无关；如果 1， 2线性无关， 3， 4都不能用 1， 2线性表示，则 1， 2， 3， 4线性无关；如果存在 n阶矩阵 A，使得 A 1，A 2，A 3，A 4线性无
7、关，则 1， 2， 3， 4线性无关；如果 1=a 1， 2=A 2， 3=a 3， 4=A 4，其中 A可逆， 1， 2， 3， 4线性无关，则 1， 2， 3， 4线性无关；其中成立的为_。A都成立 B C D E（分数：4.00）A.B.C.D.E.23.线性方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.24.已知 ，A *是 A的伴随矩阵，则(A *)-1=_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.25.矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-41 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.计
8、算 的值为_。A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 若只有一项，即 ；若为两项 ，以此类推，2.路旁一条平行小路上，有一个行人与一个骑自行车的人同时向南行进，行人速度为每小时 3.6km，骑车人速度为每小时 10.8km，这时有一列火车从他们的后方过来，火车通过行人用 22s，通过骑车人用 26s，问这列火车的车身总长是_m。(忽略行人和骑车人在火车相遇中走过的距离)A280 B224 C226 D286（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 行人的速度为 1m/s，骑车人速度为 3m/s，设火车车长为 l，速度为 v，则 ，解得3.一只船顺流而行的航速为 3
9、0km/h，已知顺水航行 3h和逆水航行 5h的航程相等，则此船顺水漂流 1h的航程为_km。A4 B6 C8 D10（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设水流速度为 x，则船在静水中的速度为 30-x，根据题意，有 303=(30-2x)54.三名工人甲、乙和丙分别加工 200个零件，他们同时开始工作，当乙加工 200个零件的任务全部完成时，甲才加工了 160个，丙还有 48个没有加工，当甲加工 200个零件的任务全部完成时，丙还有_个零件没有加工。A10 B20 C30 D40（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设甲加工的速度是每小时 x个，乙的加工速度是每小时 y
10、个，根据题意有5.园林工人要在周长 300m的圆形花坛边等距离栽树。他们先沿着花坛的边每隔 3m挖一坑，当挖完 30个坑时，突然接到通知：改为每隔 5m栽一棵树，这样，他们还要挖_个坑才能完成任务。A55 B54 C53 D52（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 显然原来每隔 15m处挖的坑还可以使用，90m 中这样的坑有 6个，在这 90m中还需要挖 12个；总共剩下 210m，这样需要挖 42个，故还需要挖 54个，选 B。6.设复数 z满足|z+i|+|z-i|=2，则|z+i+1|的最小值为_。A1 B C2 D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 |z+i|+
11、|z-i|=2 表示以(0，-1)、(0，1)为端点的线段，|z+i+1|表示圆心为(-1，-1)的圆，故当 r=1时|z+i+1|取最小值，选 A。7.已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y=x2-2x+3的顶点是(b，c)，则 ad等于_。A3 B2 C1 D-2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 y=x 2-2x+3的顶是(1，2)，所以 ad=2，选 B。8.如图所示，在长方形内有四条线段，把长方形分成若干块。已知有三块图形的面积分别是13，35，49。那么图中阴影部分的面积是_。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 如图所示，设 SEHG =a，S FHN
12、 =b，S BGC =C，S CND =d，阴影部分面积为 x，则有 ，两方程相加，得 x=97，选 A。9.已知两圆 x2+y2=10和(x-1) 2+(y-3)2=20相交于 A，B 两点，则直线 AB的方程是_。A3x-y=0 Bx-3y=0 C3x+y=0 Dx+3y=0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 相交直线方程是(x-1) 2+(y-3)2-(x2+y2)=20-1010.甲、乙、丙 3位同学选修课程，从 4门课程中，甲选修 2门，乙、丙各选修 3门，则不同的选修方案共有_。A36 种 B48 种 C96 种 D192 种（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解
13、析 11. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 ，k=6 时为常数项，为12.从 5张 100元，3 张 200元，2 张 300元的奥运预赛门票中任取 3张，则所取 3张中至少有 2张价格相同的概率为_。A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 分为两张相同的和三张相同的，两张相同的可以是 100元的，也可以是 200元 300元的，故概率为 ；三张相同的可以使 100元的或 200元的，概率为 ，故至少有两张价格相同的概率为13.设 P是双曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由渐近线方程 得 a=2，从而|PF 2|=|PF1|=414.
14、用 10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被 3、5 整除，这个数最小是 m，最大是 n，则 n-m等于_。A360 B345 C330 D375（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 10 以内质数有：2、3、5、7；同时能被 5整除，个位上数只能是 5；又能被 3整除，这个三位数各数位之和也必须是 3的倍数，所以只能用 3和 7。故可以得到这个数最小 m是 375，最大 n是735，所以 n-m=360，选 A。15.若 f(sinx)=3-cos2x，则 f(cosx)=_。A3-cos2x B3-sin2x C3+cos2x D3+sin2x（分数：4.00）A.B.C. D
15、.解析：解析 f(sinx)=3-cos2x=3-(1-2sin 2x)=2sin2x+2，则 f(x)=2x2+2，故 f(x)=2x2+2，从而有 f(cosx)=2cos2x+2=3+cos2x，选 C。16.已知曲线 的一条切线的斜率为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 令17.当 x+时， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 18.曲线 y=lnx与 x轴及直线 x= ，x=e 围成图形的面积是_。A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 如图所示，面积为 ，选 B。19.函数 f(x)图形如图所示，它的不可导点为_。（分数：4.00）
16、A.B.C.D. 解析：解析 显然左右导数不相等的点是 x0，x 2，x 4，x 6，故这些点是不可导点，选 D。20.设 ，当 x0 时，与 f(x)等价的无穷小量是_。A Bx 4 C2x 5 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 21.若 AB-A-B=E， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 (A-E)B=A+E，而 A-E可逆，并且有|A-E|B|=|A+E| |B|=22.设 1， 2， 3， 4都是 n维向量，判断下列命题是否成立。如果 1， 2， 3线性无关， 4不能用 1， 2， 3线性表示，则 1， 2， 3， 4线性无关；如果 1， 2线性无关，
17、 3， 4都不能用 1， 2线性表示，则 1， 2， 3， 4线性无关；如果存在 n阶矩阵 A，使得 A 1，A 2，A 3，A 4线性无关，则 1， 2， 3， 4线性无关；如果 1=a 1， 2=A 2， 3=a 3， 4=A 4，其中 A可逆， 1， 2， 3， 4线性无关，则 1， 2， 3， 4线性无关；其中成立的为_。A都成立 B C D E（分数：4.00）A.B. C.D.E.解析：解析 若 3， 4成比例时命题不正确，选 B。23.线性方程组 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 方程变形为 ，则24.已知 ，A *是 A的伴随矩阵，则(A *)-1=_。A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 知， ，而|A|=2，故25.矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 解方程组(A-I)X=
