1、工程硕士(GCT)数学-35 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.花果山景区某一景点改造工程要限期完成，甲工程队单独做可提前 1 天完成，乙工程队单独做要误期 6天，现由两工程队合做 4 天后，余下的由乙工程队单独做，正好如期完成，若设工程期限为 x 天，则下面所列方程正确的是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.2.关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是( )。Am1 Bm1 Cm-1 Dm-1（分数：4.00）A.B.C.D.3.关于 x 的方程 k2x2+(2k-1)x+1=0 有实数根，则下列说法正确的是(
2、 )。A当 时方程两根互为相反数 B当 k=0 时方程的根是 x=-1C当 k=1 时方程两根互为倒数 D当 （分数：4.00）A.B.C.D.4.不等式 （分数：4.00）A.B.C.D.5.在二项式 （分数：4.00）A.B.C.D.6.某厂的产品中有 4%的废品，在 100 件合格品中有 75 件为一等品，在该厂中任取一件产品是一等品的概率是( )。A0.56 B0.72 C0.45 D0.83（分数：4.00）A.B.C.D.7. 2，1， 2成等比数列，而 成等差数列 ( )。（分数：4.00）A.B.C.D.8. 化简后等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.9.设坐标原点为
3、 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A，B 两点， ( )。（分数：4.00）A.B.C.D.10.若一个长方体的表面积是 22cm2，所有棱长之和为 24cm，则长方体的体对角线长为( )cm。（分数：4.00）A.B.C.D.11.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AB=8cm，BC=10cm，C=120，则 BC 边上的高 AH 为( )cm。（分数：4.00）A.B.C.D.12.如图所示，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥，在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为 A1、A 2、A 3，则该三棱锥的体积为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.13.若双曲线
4、经过点 ，且它的两条渐近线的方程是 ，则双曲线方程是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.14.双曲线 的离心率 ，则实数 m 的值是( )。A9 B9 （分数：4.00）A.B.C.D.15. ( )。A （分数：4.00）A.B.C.D.16.设函数 f(x)在区间(a，b)内有二阶导数，且 f“(x)0，则 f(x)在(a，b)内( )。A单调减少 B单调增加C先单调增加，然后单调减少 D上述 A、B、C 都有可能（分数：4.00）A.B.C.D.17.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.18.若曲线 y=ax2与 曲线相切，则 a=( )。（分数：4.00
5、）A.B.C.D.19.设 （分数：4.00）A.B.C.D.20.设 f(x)在0，1上连续，且满足 （分数：4.00）A.B.C.D.21.方程 （分数：4.00）A.B.C.D.22.设 A、B 均是 n 阶矩阵，则(A+B) 2=A2+2AB+B2的充分必要条件是( )。AA=E BB=O CAB=BA DA=B（分数：4.00）A.B.C.D.23.下列向量组中，线性无关的向量组是( )。A(2，0，1)，(0，2，3)，(0，0，0) B(-1，2，3)，(2，-4，-6)，(5，3，7)C(1，2)，(2，3)，(5，6)D(1，1，1，-1)，(0，1，0，2)，(0，0，3，
6、5)（分数：4.00）A.B.C.D.24.已知 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，若 AXA-BXB=AXB-BXA+C，则 x=( )。A(A 2-B2)C B(A+B)(A-B)C(A-B) -1(CA+B)-1 D(A+B) -1C(A-B)-1（分数：4.00）A.B.C.D.25.齐次方程组 的基础解系是( )。A(-3，0，1，0) T，(2，-3，0，1) TBk 1(1，-2，1，0) T+k2(2，-3，0，1)C （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-35 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.花果山景区某一景点改造工程要
7、限期完成，甲工程队单独做可提前 1 天完成，乙工程队单独做要误期 6天，现由两工程队合做 4 天后，余下的由乙工程队单独做，正好如期完成，若设工程期限为 x 天，则下面所列方程正确的是( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 甲工程队单独做需 x-1 天完成，乙工程队单独做需 x+6 天完成，甲共做了 4 天，乙共做了x 天，依题意，得2.关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是( )。Am1 Bm1 Cm-1 Dm-1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 提示：=4(m-2) 2-4m20，即 m1。3.关于 x 的
8、方程 k2x2+(2k-1)x+1=0 有实数根，则下列说法正确的是( )。A当 时方程两根互为相反数 B当 k=0 时方程的根是 x=-1C当 k=1 时方程两根互为倒数 D当 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 提示：=(2k-1) 2-4k2=-4k+10，故4.不等式 （分数：4.00）A. B.C. D. 解析：5.在二项式 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 前 3 项系数分别是 ，由条件得 ，即 n2-9n+8=0，解得 n=8(n=1 舍去)，通项公式为当 r=0，4，8 时，6.某厂的产品中有 4%的废品，在 100 件合格品中有 75 件为一等品，在
9、该厂中任取一件产品是一等品的概率是( )。A0.56 B0.72 C0.45 D0.83（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 A=任取一件产品是合格品)，B=(任取一件产品是一等品)，显然， ，7. 2，1， 2成等比数列，而 成等差数列 ( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由题设有当 =1 时，+=2，有当 =-1 时，+=-2，有8. 化简后等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 原式9.设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A，B 两点， ( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 解法一：由抛物线方程可知
10、抛物线的焦点为 ，取直线 ABx 轴，则有 和 ，因此， ，从而排除 A、C、D 得正确答案为 B。解法二：依题设可知抛物线的焦点为 ，且直线 AB 的方程可写为 x=my+ ，常数 mR，设A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1，y 2是二次方程 y2-2my-1=0 的两个根。所以 y1y2=-1，y 1+y2=2m从而因为所以10.若一个长方体的表面积是 22cm2，所有棱长之和为 24cm，则长方体的体对角线长为( )cm。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设长方体相邻的 3 个棱长分别为 a，b，C，根据题意有又因(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab
11、+2bc+2ac，故a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)=(36-22)cm=14cm则长方体对角线长11.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AB=8cm，BC=10cm，C=120，则 BC 边上的高 AH 为( )cm。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 得，ABCD，B=180-C=180-120=60因 AHBC 于点 H，故在 RtABH 中，AHB=90。，B=60，AB=8Cm因此 AH=ABsinB=8sin60Cm=12.如图所示，用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥，在这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为 A1、A 2
12、、A 3，则该三棱锥的体积为( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设由一点出发 3 条垂直的棱分别为 a，b，c，则有因此13.若双曲线经过点 ，且它的两条渐近线的方程是 ，则双曲线方程是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由两条渐近线 可设双曲线方程为将14.双曲线 的离心率 ，则实数 m 的值是( )。A9 B9 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 该方程的曲线为双曲线，要求 m-1 和 m+1 同号，即(m-1)(m+1)0，得 m1 或 m-1。当 m1 时，a 2=m-1，b 2=m+1。所以 C2=a2+b2=2m，解方程 ，得 m
13、=9。同理，当 m-1 时，a 2=-m-1，b 2=-m+1，C 2=-2m，解方程15. ( )。A （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 属于16.设函数 f(x)在区间(a，b)内有二阶导数，且 f“(x)0，则 f(x)在(a，b)内( )。A单调减少 B单调增加C先单调增加，然后单调减少 D上述 A、B、C 都有可能（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 f(x)在(a，b)内有 f“(x)0，说明 y=f(x)的图形是向上凸的，于是在(a，b)内曲线的形状可能是单调增凸，或单调增凸，然后单调减凹，因此 A，B，C 都有可能，故选 D。17.设 f(x)为连
14、续函数，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 。又因 f(x)是连续函数，故有18.若曲线 y=ax2与 曲线相切，则 a=( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设切点坐标为(x 0，ax 20)，此点在两条曲线上，故有又两曲线的切线斜率相等，有联立式、式求解，得19.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 20.设 f(x)在0，1上连续，且满足 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 两边作定积分得故21.方程 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题实际为解三阶行列式 f(x)，把该行列式第 1 列乘以-1 分别加到第
15、2、第 3 列上，得22.设 A、B 均是 n 阶矩阵，则(A+B) 2=A2+2AB+B2的充分必要条件是( )。AA=E BB=O CAB=BA DA=B（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 矩阵运算与代数运算的差异主要有两点，即不满足交换律与消去律。换句话说，一般地，23.下列向量组中，线性无关的向量组是( )。A(2，0，1)，(0，2，3)，(0，0，0) B(-1，2，3)，(2，-4，-6)，(5，3，7)C(1，2)，(2，3)，(5，6)D(1，1，1，-1)，(0，1，0，2)，(0，0，3，5)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 向量组中含有零向
16、量，因此这组向量必线性相关；B 向量组中前两个向量对应分量成比例，因此 B 向量组线性相关；C 向量组中所含向量个数大于向量的维数，这组向量必线性相关。由此排除法，D 向量组线性无关。也可直接判断 D 向量组为阶梯形向量组，此向量组秩为 3，与向量个数相等，因此，这组向量线性无关。故选 D。24.已知 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，若 AXA-BXB=AXB-BXA+C，则 x=( )。A(A 2-B2)C B(A+B)(A-B)C(A-B) -1(CA+B)-1 D(A+B) -1C(A-B)-1（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由已知条件有AXA-AXB+BXA-BXB=CA(A-B)+BX(A-B)=C(A+B)X(A-B)=C因 C 可逆，由行列式乘法公式知 A+B、X、A-B 均可逆，那么左乘(A+B) -1，右乘(A-B) -1得X=(A+B)-1C(A-B)-1故 D 为正确答案。25.齐次方程组 的基础解系是( )。A(-3，0，1，0) T，(2，-3，0，1) TBk 1(1，-2，1，0) T+k2(2，-3，0，1)C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 对系数矩阵作初等行变换，有
