1、工程硕士(GCT)数学-34 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.（分数：4.00）A.B.C.D.2.实数 a，b 满足 ab0，集合 A=0，a，b，B=x|x=uv，u，vA，则集合 B 的子集共有( )个A2 B4 C8 D16（分数：4.00）A.B.C.D.3.两个码头相距 198km，如果一艘客轮顺流而下行完全程需要 6h，逆流而上行完全程需要 9h，那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别是( )km/hA27.5 和 5.5 B27.5 和 11 C26.4 和 5.5 D26.4 和 11（分数：4.00）A.B.C.D.4.要使方程 3x2+(m-5
2、)x+m2-m-2=0 的两个实根分别满足 0x 11 和 1x 22，那么，实数 m 的取值范围是( )A-2m-1 B-4m-1 C-4m-2 D-3m1（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 p 为质数，方程 x2-px-580p=0 的两根均为整数，则 p 属于范围是( )A(0，10) B(10，20) C(20，30) D(30，40)（分数：4.00）A.B.C.D.6.若复数 z 满足 ，z 1=1+2i，则|z 1-z|的最大值是( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设圆柱体的底半径和高之比为 1:2，若体积增大到原来的 8 倍，底半径和高的比值仍为 1:2，则底半径
3、增大到原来的( )A4 倍 B3 倍 C2.5 倍 D2 倍（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 ，利用推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得 f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.9.平面内有 4 个红点、6 个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任何三点不共线，过这 10 个点中任意两点确定的直线中，过红点的直线有( )条A27 B28 C29 D30（分数：4.00）A.B.C.D.10.在共有 10 个座位的小会议室随机地坐上 6 个与会者，那么指定的 4 个座位被坐满的概率为( )（分数：4.00）A.B.C
4、.D.11.直线 ax-by=0 与圆 x2+y2-ax+by=0(a，b0)的位置关系是( )A相交 B相切 C相离 D由 a，b 的值而定（分数：4.00）A.B.C.D.12.如图，有一矩形纸片 ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将AED以 DE 为折痕向右折叠，AE 与 BC 交于点 F，则CEF 的面积为( )（分数：4.00）A.B.C.D.13.双曲线 的离心率 ，则实数 m 的值是( )（分数：4.00）A.B.C.D.14.在区间0+)内，方程 （分数：4.00）A.B.C.D.15.函数 f(x)在a，b内有定义，其导
5、数 f(x)的图形如右图所示，则( )（分数：4.00）A.B.C.D.16.设两条抛物线 和 所围成的图形面积为 An，则 （分数：4.00）A.B.C.D.17.设 x0， ，则 y=( )（分数：4.00）A.B.C.D.18.方程 （分数：4.00）A.B.C.D.19.设 f(x)在0，2上连续，并且对任意的 x0，1都有 f(1-x)=-f(1+x)，则 （分数：4.00）A.B.C.D.20.设 （分数：4.00）A.B.C.D.21.设 （分数：4.00）A.B.C.D.22.A 为 mn 矩阵，且 mn，Ax=0 是 Ax=b 的导出组，则下述正确的是( )AAx=b 必有无
6、穷多解 BAx=0 必有无穷多解CAx=0 只有零解 DAx=b 必无解（分数：4.00）A.B.C.D.23.a=2 是向量组 1 1=(1，1，-1，1)T T， 2=(1，0，0，0) T，3 3=(1，2，2，a) T线性无关的( )A充分但非必要条件 B必要但非充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件（分数：4.00）A.B.C.D.24.已知向量 =(-1，1，k) T是矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.25.已知三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-34 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.（分数：4.00）A.B.C
7、.D. 解析：解析 原式=2.实数 a，b 满足 ab0，集合 A=0，a，b，B=x|x=uv，u，vA，则集合 B 的子集共有( )个A2 B4 C8 D16（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意，知 B=0，ab，a 2，b 2所以集合 B 的子集个数为 24=16故选 D3.两个码头相距 198km，如果一艘客轮顺流而下行完全程需要 6h，逆流而上行完全程需要 9h，那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别是( )km/hA27.5 和 5.5 B27.5 和 11 C26.4 和 5.5 D26.4 和 11（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 两个码头相距
8、 198km，客轮顺流而行要 6h，逆流而行需要 9h，因此顺流速度为 ，逆流速度为 顺流速度是客轮的航速加上水流速度，逆流速度是客轮的航速减去水流速度，因此航速为4.要使方程 3x2+(m-5)x+m2-m-2=0 的两个实根分别满足 0x 11 和 1x 22，那么，实数 m 的取值范围是( )A-2m-1 B-4m-1 C-4m-2 D-3m1（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 如右图所示，设 f(x)=3x2+(m-5)x+m2-m-2，则 f(x)开口向上，与 x 轴交于(x 1，0)和(x 2，0)两点，有不等式组从而得 m2-m-20；m 2-40；m 2+m0故选
9、A5.设 p 为质数，方程 x2-px-580p=0 的两根均为整数，则 p 属于范围是( )A(0，10) B(10，20) C(20，30) D(30，40)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 根据题意，有6.若复数 z 满足 ，z 1=1+2i，则|z 1-z|的最大值是( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由已知可得 ，即|z+1| 21，即|z+1|1，那么 z 在复平面上的对应点就在以(-1，0)为圆心，以 1 为半径的圆内(包括圆周)，而|z 1-z|表示点 z1(1，2)到上述圆内一点的距离，显然其最大值应为7.设圆柱体的底半径和高之比为 1:2，若
10、体积增大到原来的 8 倍，底半径和高的比值仍为 1:2，则底半径增大到原来的( )A4 倍 B3 倍 C2.5 倍 D2 倍（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设圆柱的底面半径为 r，高为 H，则 h=2r，体积 V=r 2h=2r 3由题意，有 ，即8.设 ，利用推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得 f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 S=f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)，则 S=f(6)+f(5)+f(0)+f(-4)+f(-5)2S=f(6)+f(-5)+f(5)+f(
11、-4)+f(-5)+f(6)=S=f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)=9.平面内有 4 个红点、6 个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任何三点不共线，过这 10 个点中任意两点确定的直线中，过红点的直线有( )条A27 B28 C29 D30（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 平面内任两点均可连成一线，故直线按照题意进行，可进行分类考虑1)只取一个红点和一个蓝点连线，共有 条2)取两个红点连成的直线，共有10.在共有 10 个座位的小会议室随机地坐上 6 个与会者，那么指定的 4 个座位被坐满的概率为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析
12、10 个座位中座 6 个人，有 种做法，指定的 4 个座位被坐满有 种可能于是11.直线 ax-by=0 与圆 x2+y2-ax+by=0(a，b0)的位置关系是( )A相交 B相切 C相离 D由 a，b 的值而定（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由圆 x2+y2-ax+by=0(a，b0)，知圆心坐标为 ，半径 r=则圆心到直线 ax-by=0 的距离12.如图，有一矩形纸片 ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将AED以 DE 为折痕向右折叠，AE 与 BC 交于点 F，则CEF 的面积为( )（分数：4.00）A.B.C
13、. D.解析：解析 因为 AB=10，AD=6，所以 DB=4。那么对于第三个图形而言有：AB=2又ABFADE，所以根据相似三角形的比例关系有：即 BF=2，FC=4所以13.双曲线 的离心率 ，则实数 m 的值是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 该方程的曲线为双曲线，所以(m-1)(m+1)0，得 m1 或 m-1当 m1 时，a 2=m-1，b 2=m+1，所以 c2=a2+b2=2m解方程 ，得 m=9同理，当 m-1 时，a 2=-m-1，b 2=-m+1，c 2=-2m解方程14.在区间0+)内，方程 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 ，当 x
14、1 时，f(x)0，所以只需讨论在0，1上的情形f(0)=-10，f(1)=1+sin10，f(x)在0，1上连续，由零点存在定理，f(x)=0 在(0，1)内至少有一个实根又当 x(0，1)时， ，说明 f(x)在(0，1)内是单调增加的因此 f(x)=0 在(0，1)内只有唯一的实根，从而15.函数 f(x)在a，b内有定义，其导数 f(x)的图形如右图所示，则( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 在 x1处，f(x)由单调递减变为单调递增，因此曲线 f(x)由凸变凹，于是(x 1，f(x 1)是曲线的拐点；在 x2处，f(x 2)的符号由负变为正，因此 x2是 f(x)的
15、极小值点故选 D16.设两条抛物线 和 所围成的图形面积为 An，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 先求两条曲线交点的横坐标，解得又因曲线所围成的图形关于 y 轴对称，所以于是17.设 x0， ，则 y=( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 18.方程 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 ，则由零点存在定理得 F(x)=0 至少有一个根又 ，当 x(-，+)时，19.设 f(x)在0，2上连续，并且对任意的 x0，1都有 f(1-x)=-f(1+x)，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令 ，则当 x=0 时， ，当 x= 时，
16、因此又因为 f(1-sin(-t)=f(1+sint)=-f(1-sint)，上式最后一步利用了题设条件 f(1-x)=-f(1+x)所以f(1-sint)是奇函数，奇函数在对称区间上的积分为零，即20.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 ，所以 x=0 是 f(x)的垂直渐近线21.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 22.A 为 mn 矩阵，且 mn，Ax=0 是 Ax=b 的导出组，则下述正确的是( )AAx=b 必有无穷多解 BAx=0 必有无穷多解CAx=0 只有零解 DAx=b 必无解（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 mn 可
17、得 Ax=0 中方程个数小于未知量个数(即 r(A)n)，所以 Ax=0 存在非零解，从而Ax=0 必有无穷多组解Ax=b 有解23.a=2 是向量组 1 1=(1，1，-1，1)T T， 2=(1，0，0，0) T，3 3=(1，2，2，a) T线性无关的( )A充分但非必要条件 B必要但非充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 1， 2， 3线性无关 线性方程组 只有零解 r( 1， 2， 3)=324.已知向量 =(-1，1，k) T是矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 是 所对应的特征值，则由此得 ，解此方程组得25.已知三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 非齐次线性方程组 AX= 有两个不同的解，即它有无穷多解AX= 有无穷多解的充要条件是：所以所以当 a=-2 时，
