1、工程硕士(GCT)数学-34 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)1.(分数:4.00)A.B.C.D.2.实数 a,b 满足 ab0,集合 A=0,a,b,B=x|x=uv,u,vA,则集合 B 的子集共有( )个A2 B4 C8 D16(分数:4.00)A.B.C.D.3.两个码头相距 198km,如果一艘客轮顺流而下行完全程需要 6h,逆流而上行完全程需要 9h,那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别是( )km/hA27.5 和 5.5 B27.5 和 11 C26.4 和 5.5 D26.4 和 11(分数:4.00)A.B.C.D.4.要使方程 3x2+(m-5
2、)x+m2-m-2=0 的两个实根分别满足 0x 11 和 1x 22,那么,实数 m 的取值范围是( )A-2m-1 B-4m-1 C-4m-2 D-3m1(分数:4.00)A.B.C.D.5.设 p 为质数,方程 x2-px-580p=0 的两根均为整数,则 p 属于范围是( )A(0,10) B(10,20) C(20,30) D(30,40)(分数:4.00)A.B.C.D.6.若复数 z 满足 ,z 1=1+2i,则|z 1-z|的最大值是( )(分数:4.00)A.B.C.D.7.设圆柱体的底半径和高之比为 1:2,若体积增大到原来的 8 倍,底半径和高的比值仍为 1:2,则底半径
3、增大到原来的( )A4 倍 B3 倍 C2.5 倍 D2 倍(分数:4.00)A.B.C.D.8.设 ,利用推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得 f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为( )(分数:4.00)A.B.C.D.9.平面内有 4 个红点、6 个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任何三点不共线,过这 10 个点中任意两点确定的直线中,过红点的直线有( )条A27 B28 C29 D30(分数:4.00)A.B.C.D.10.在共有 10 个座位的小会议室随机地坐上 6 个与会者,那么指定的 4 个座位被坐满的概率为( )(分数:4.00)A.B.C
4、.D.11.直线 ax-by=0 与圆 x2+y2-ax+by=0(a,b0)的位置关系是( )A相交 B相切 C相离 D由 a,b 的值而定(分数:4.00)A.B.C.D.12.如图,有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使 AD 边落在 AB 边上,折痕为 AE,再将AED以 DE 为折痕向右折叠,AE 与 BC 交于点 F,则CEF 的面积为( )(分数:4.00)A.B.C.D.13.双曲线 的离心率 ,则实数 m 的值是( )(分数:4.00)A.B.C.D.14.在区间0+)内,方程 (分数:4.00)A.B.C.D.15.函数 f(x)在a,b内有定义,其导
5、数 f(x)的图形如右图所示,则( )(分数:4.00)A.B.C.D.16.设两条抛物线 和 所围成的图形面积为 An,则 (分数:4.00)A.B.C.D.17.设 x0, ,则 y=( )(分数:4.00)A.B.C.D.18.方程 (分数:4.00)A.B.C.D.19.设 f(x)在0,2上连续,并且对任意的 x0,1都有 f(1-x)=-f(1+x),则 (分数:4.00)A.B.C.D.20.设 (分数:4.00)A.B.C.D.21.设 (分数:4.00)A.B.C.D.22.A 为 mn 矩阵,且 mn,Ax=0 是 Ax=b 的导出组,则下述正确的是( )AAx=b 必有无
6、穷多解 BAx=0 必有无穷多解CAx=0 只有零解 DAx=b 必无解(分数:4.00)A.B.C.D.23.a=2 是向量组 1 1=(1,1,-1,1)T T, 2=(1,0,0,0) T,3 3=(1,2,2,a) T线性无关的( )A充分但非必要条件 B必要但非充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(分数:4.00)A.B.C.D.24.已知向量 =(-1,1,k) T是矩阵 (分数:4.00)A.B.C.D.25.已知三阶矩阵 (分数:4.00)A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-34 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)1.(分数:4.00)A.B.C
7、.D. 解析:解析 原式=2.实数 a,b 满足 ab0,集合 A=0,a,b,B=x|x=uv,u,vA,则集合 B 的子集共有( )个A2 B4 C8 D16(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由题意,知 B=0,ab,a 2,b 2所以集合 B 的子集个数为 24=16故选 D3.两个码头相距 198km,如果一艘客轮顺流而下行完全程需要 6h,逆流而上行完全程需要 9h,那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别是( )km/hA27.5 和 5.5 B27.5 和 11 C26.4 和 5.5 D26.4 和 11(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 两个码头相距
8、 198km,客轮顺流而行要 6h,逆流而行需要 9h,因此顺流速度为 ,逆流速度为 顺流速度是客轮的航速加上水流速度,逆流速度是客轮的航速减去水流速度,因此航速为4.要使方程 3x2+(m-5)x+m2-m-2=0 的两个实根分别满足 0x 11 和 1x 22,那么,实数 m 的取值范围是( )A-2m-1 B-4m-1 C-4m-2 D-3m1(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 如右图所示,设 f(x)=3x2+(m-5)x+m2-m-2,则 f(x)开口向上,与 x 轴交于(x 1,0)和(x 2,0)两点,有不等式组从而得 m2-m-20;m 2-40;m 2+m0故选
9、A5.设 p 为质数,方程 x2-px-580p=0 的两根均为整数,则 p 属于范围是( )A(0,10) B(10,20) C(20,30) D(30,40)(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 根据题意,有6.若复数 z 满足 ,z 1=1+2i,则|z 1-z|的最大值是( )(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 由已知可得 ,即|z+1| 21,即|z+1|1,那么 z 在复平面上的对应点就在以(-1,0)为圆心,以 1 为半径的圆内(包括圆周),而|z 1-z|表示点 z1(1,2)到上述圆内一点的距离,显然其最大值应为7.设圆柱体的底半径和高之比为 1:2,若
10、体积增大到原来的 8 倍,底半径和高的比值仍为 1:2,则底半径增大到原来的( )A4 倍 B3 倍 C2.5 倍 D2 倍(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 设圆柱的底面半径为 r,高为 H,则 h=2r,体积 V=r 2h=2r 3由题意,有 ,即8.设 ,利用推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得 f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 设 S=f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6),则 S=f(6)+f(5)+f(0)+f(-4)+f(-5)2S=f(6)+f(-5)+f(5)+f(
11、-4)+f(-5)+f(6)=S=f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)=9.平面内有 4 个红点、6 个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任何三点不共线,过这 10 个点中任意两点确定的直线中,过红点的直线有( )条A27 B28 C29 D30(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 平面内任两点均可连成一线,故直线按照题意进行,可进行分类考虑1)只取一个红点和一个蓝点连线,共有 条2)取两个红点连成的直线,共有10.在共有 10 个座位的小会议室随机地坐上 6 个与会者,那么指定的 4 个座位被坐满的概率为( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析
12、10 个座位中座 6 个人,有 种做法,指定的 4 个座位被坐满有 种可能于是11.直线 ax-by=0 与圆 x2+y2-ax+by=0(a,b0)的位置关系是( )A相交 B相切 C相离 D由 a,b 的值而定(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 由圆 x2+y2-ax+by=0(a,b0),知圆心坐标为 ,半径 r=则圆心到直线 ax-by=0 的距离12.如图,有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使 AD 边落在 AB 边上,折痕为 AE,再将AED以 DE 为折痕向右折叠,AE 与 BC 交于点 F,则CEF 的面积为( )(分数:4.00)A.B.C
13、. D.解析:解析 因为 AB=10,AD=6,所以 DB=4。那么对于第三个图形而言有:AB=2又ABFADE,所以根据相似三角形的比例关系有:即 BF=2,FC=4所以13.双曲线 的离心率 ,则实数 m 的值是( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 该方程的曲线为双曲线,所以(m-1)(m+1)0,得 m1 或 m-1当 m1 时,a 2=m-1,b 2=m+1,所以 c2=a2+b2=2m解方程 ,得 m=9同理,当 m-1 时,a 2=-m-1,b 2=-m+1,c 2=-2m解方程14.在区间0+)内,方程 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 设 ,当 x
14、1 时,f(x)0,所以只需讨论在0,1上的情形f(0)=-10,f(1)=1+sin10,f(x)在0,1上连续,由零点存在定理,f(x)=0 在(0,1)内至少有一个实根又当 x(0,1)时, ,说明 f(x)在(0,1)内是单调增加的因此 f(x)=0 在(0,1)内只有唯一的实根,从而15.函数 f(x)在a,b内有定义,其导数 f(x)的图形如右图所示,则( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 在 x1处,f(x)由单调递减变为单调递增,因此曲线 f(x)由凸变凹,于是(x 1,f(x 1)是曲线的拐点;在 x2处,f(x 2)的符号由负变为正,因此 x2是 f(x)的
15、极小值点故选 D16.设两条抛物线 和 所围成的图形面积为 An,则 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 先求两条曲线交点的横坐标,解得又因曲线所围成的图形关于 y 轴对称,所以于是17.设 x0, ,则 y=( )(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 18.方程 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 设 ,则由零点存在定理得 F(x)=0 至少有一个根又 ,当 x(-,+)时,19.设 f(x)在0,2上连续,并且对任意的 x0,1都有 f(1-x)=-f(1+x),则 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 令 ,则当 x=0 时, ,当 x= 时,
16、因此又因为 f(1-sin(-t)=f(1+sint)=-f(1-sint),上式最后一步利用了题设条件 f(1-x)=-f(1+x)所以f(1-sint)是奇函数,奇函数在对称区间上的积分为零,即20.设 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 因为 ,所以 x=0 是 f(x)的垂直渐近线21.设 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 22.A 为 mn 矩阵,且 mn,Ax=0 是 Ax=b 的导出组,则下述正确的是( )AAx=b 必有无穷多解 BAx=0 必有无穷多解CAx=0 只有零解 DAx=b 必无解(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 由 mn 可
17、得 Ax=0 中方程个数小于未知量个数(即 r(A)n),所以 Ax=0 存在非零解,从而Ax=0 必有无穷多组解Ax=b 有解23.a=2 是向量组 1 1=(1,1,-1,1)T T, 2=(1,0,0,0) T,3 3=(1,2,2,a) T线性无关的( )A充分但非必要条件 B必要但非充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 1, 2, 3线性无关 线性方程组 只有零解 r( 1, 2, 3)=324.已知向量 =(-1,1,k) T是矩阵 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 设 是 所对应的特征值,则由此得 ,解此方程组得25.已知三阶矩阵 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 非齐次线性方程组 AX= 有两个不同的解,即它有无穷多解AX= 有无穷多解的充要条件是:所以所以当 a=-2 时,