1、工程硕士(GCT)数学-33 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.曲线 与曲线 有公切线，则 a=( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.某种考试要在指定的三门课程中随机选取两门，两门都及格者为考试通过若某人对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6和 0.9，则此人考试通过的概率是( )（分数：4.00）A.0.3B.0.45C.0.54D.0.433.若(4x 2-8xy+3y-9)2+|5x+3|=0，则 25(8xy-3y)+190的值是( )（分数：4.00）A.0B.1C.2D.-14.已知二次函数
2、 y=ax2-2ax+b的图像与 x轴的一个交点是 A(3,0)点，直线 y=-x+b经过点（分数：4.00）A.该二次函数的表达式为( )Ay=-x 2+2x+3B.y=x2-2x+3C.y=-x2+2x-3D.y=x2-2x-35.设向量组 1, 2, 3线性无关，且 1能被 1, 2, 3线性表出，而 2不能被 1, 2, 3线性表出则( )（分数：4.00）A. 1, 2, 1线性相关B. 1, 2, 2线性相关C. 1, 2, 1, 2线性相关D. 1, 2, 3, 1+ 2线性无关6.设 f(x)在(-,+)内有定义，且 （分数：4.00）A.B.C.D.7.若 2a2+3a-b=
3、4，则 （分数：4.00）A.B.C.D.8.函数 的最大值是( )（分数：4.00）A.B.C.D.9.一批零件共 1100个，如果甲先做 5天后，乙加入合做，再做 8天正好完成，如果乙先做 5天后，甲加入合做，再做 9天也恰好完成，则甲、乙两人每天各做的零件数分别是( )（分数：4.00）A.60,40B.60,60C.40,40D.40,6010.一个圆柱形的饮料瓶如题 15图所示，其容积为 300mL现瓶内装有一些饮料该瓶正放时，饮料高度为 20cm，若该瓶倒放时，空余部分的高度为 5cm，瓶内现有饮料的体积为( )cm 3（分数：4.00）A.B.C.D.11.三阶矩阵 A,B满足
4、A2B+AB-A=E其中 ，则（分数：4.00）A.B.C.D.12.不等式 （分数：4.00）A.B.C.D.13.设 （分数：4.00）A.B.C.D.14.设函数 f(x)为可导函数，且 f(x)严格单调递增，则 （分数：4.00）A.B.C.D.15.当 c0 时， =( )（分数：4.00）A.B.C.D.16.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.17.i是虚数单位，6R，已知 Re(b+i)=0，Im(b+i) 20，则 b=( )（分数：4.00）A.B.C.D.18.对于齐次线性方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.19.过点 A(7,2)作圆 x2+y2+2x-
5、4y-95=0的弦，其中弦长为整数的共有( )（分数：4.00）A.8条B.9条C.16条D.18条20.设 0a1，函数 f(x)=loga(a2x-2ax-2)，则 f(x)0 的充分必要条件是 x( )（分数：4.00）A.(-,0)B.(0,+)C.(-,log a3)D.(loga3,+)21.设在a,b上 f(x)0，且在(a,b)内 f(x)0，f(x)0，记 I1=(b-a)f(b)，I 2= （分数：4.00）A.B.C.D.22.如果 a1,a2,an为正数的等差数列，且公差 d0，则( )（分数：4.00）_23.已知双曲线 (a0,b0)右焦点为 F，右准线 l与两条渐
6、近线分别交于 P和 Q点若PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 e=( )（分数：4.00）A.B.C.D.24.在 500m长的大街两侧从起点到终点每隔 25m栽一棵树现有 A、B 两种树苗，若要求 A、B 两种树苗相间且 A树苗要在大街两端，则需要 A、B 两种树苗的棵数分别为( )（分数：4.00）A.22,20B.20,22C.11,10D.10,1125.如图，矩形 ABCD中，由 8个面积均为 1的小正方形组成的 L型模板如图放置，则矩形 ABCD 的周长为( )（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-33 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一
7、、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.曲线 与曲线 有公切线，则 a=( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：*解此方程组得*故应选 C2.某种考试要在指定的三门课程中随机选取两门，两门都及格者为考试通过若某人对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6和 0.9，则此人考试通过的概率是( )（分数：4.00）A.0.3B.0.45C.0.54D.0.43 解析：记考试及格率为 0.5,0.6和 0.9的课程分别为 A、B、C该考生选定 A、B 课程考试通过的概率为 0.50.6=0.3，选定 B、C 课程考试通过的概率为 0.60.9=0.54，选定 A、C 课程
8、考试通过的概率为 0.50.9=0.45，该考生选取 A、B 或 A、C 或 B、C 课程的概率均为*故该考生考试通过的概率为*故应选 D3.若(4x 2-8xy+3y-9)2+|5x+3|=0，则 25(8xy-3y)+190的值是( )（分数：4.00）A.0B.1 C.2D.-1解析：由(4x 2-8xy+3y-9)2+|5x+3|=0，可知5x+3=0， 即*4x2-8xy+3y-9=0，即 8xy-3y=4x2-9=*于是 25(8xy-3y)+190=25*+190=1故应选 B4.已知二次函数 y=ax2-2ax+b的图像与 x轴的一个交点是 A(3,0)点，直线 y=-x+b经
9、过点（分数：4.00）A.该二次函数的表达式为( )Ay=-x 2+2x+3 B.y=x2-2x+3C.y=-x2+2x-3D.y=x2-2x-3解析：因为直线 y=-x+b过点 A(3,0)，所以 b=3将点 A(3,0)的坐标代入 y=ax2-2ax+6得 9a-6a+3=0，解得 a=-1所以二次函数解析式为 y=-x2+2x+3故选(A)5.设向量组 1, 2, 3线性无关，且 1能被 1, 2, 3线性表出，而 2不能被 1, 2, 3线性表出则( )（分数：4.00）A. 1, 2, 1线性相关B. 1, 2, 2线性相关C. 1, 2, 1, 2线性相关D. 1, 2, 3, 1
10、+ 2线性无关 解析：因 1, 2, 3线性无关，而 1能被 1, 2, 3线性表出设 1=k1 1+k2 2+k3 3对下面的矩阵施行初等列变换*则有 r(A)=r(B)(初等变换不改变矩阵的秩)因已知 1, 2, 3线性无关， 2不能被 1, 2, 3线性表出，故 1, 2, 3, 2线性无关，即 r(B)=4，从而 r(A)=r( 1, 2, 3, 1+ 2)=4即 1, 2, 3, 1+ 2线性无关正确的选择应为 D6.设 f(x)在(-,+)内有定义，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*故应选 C7.若 2a2+3a-b=4，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：
11、*故选 C另解：特殊值代入法取 a=1，b=1，则 2a2+3a-b=4，且*8.函数 的最大值是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：*当且仅当*，即 x=2时等号成立所以对一切非零的*最小值为 8，f(x)最大值为*综上，f(x)在(-,+)上的最大值为*故选 B9.一批零件共 1100个，如果甲先做 5天后，乙加入合做，再做 8天正好完成，如果乙先做 5天后，甲加入合做，再做 9天也恰好完成，则甲、乙两人每天各做的零件数分别是( )（分数：4.00）A.60,40 B.60,60C.40,40D.40,60解析：设甲、乙每天各做的零件数分别为 x,y，则*求得 x=60,y=4
12、0故应选 A10.一个圆柱形的饮料瓶如题 15图所示，其容积为 300mL现瓶内装有一些饮料该瓶正放时，饮料高度为 20cm，若该瓶倒放时，空余部分的高度为 5cm，瓶内现有饮料的体积为( )cm 3（分数：4.00）A.B.C. D.解析：设圆柱形瓶的底面积为 S(cm2)如题 15图(1)瓶内现有饮料的体积为 20S(cm3)由图(2)瓶内空余部分的体积为 5S(cm3)*瓶的体积 V=饮料体积+空余体积=20S+5S=25S=300(cm 3)故 S=*=12(cm2)故瓶内饮料体积为 20S=2012=240(cm3)故应选 C11.三阶矩阵 A,B满足 A2B+AB-A=E其中 ，则
13、（分数：4.00）A.B. C.D.解析：题意要求矩阵 B，故由已知 A2B+AB-A=E，先把上等式左边的 B提出来，得(A2+A)B=A+E对此式两边比较后进一步得(A+E)AB=A+E (*)*容易判断，|A+E|=120，故 A+E可逆(*)式两边左乘(A+E) -1，得 AB=E从而得*故正确答案应为 B12.不等式 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：将原不等式写成*如题 10图所示，在坐标系作直线 y=2-x和双曲线*的图象(后者是*图象向左平移一个单位)图上可见双曲线在直线上方时，自变量 x的变化范围是(-1, 0)(1,+)故选 A13.设 （分数：4.00）A. B.
14、C.D.解析：利用积分中值定理和重要极限可得*当 n+时，+，因此*故正确选项为 A14.设函数 f(x)为可导函数，且 f(x)严格单调递增，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*对于任意 x(a,6，在a,x上利用拉格朗日中值定理有 f(x)-f(a)=f()(x-a)，(a,x)由f(x)严格单调递增，有 f()f()，因此*所以 F(x)在(a,b内严格单调增加，故应选 C15.当 c0 时， =( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：在*中令 lnx=t，x=e，*故正确选项为 C16.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于已知 AB，故 A与召
15、有相同的特征值。由|E-A|=*知矩阵 A至少有一个特征值 1=2*知矩阵 B的特征值为 1=t, 2=-1, 3=3这样可知 t=2即 B的特征值与 A的特征值相等它们的三个特征值均为 1=21, 2=-1, 3=3这样得到|A|=|B|= 1 2 3=2(-1)3=-6故应选 C17.i是虚数单位，6R，已知 Re(b+i)=0，Im(b+i) 20，则 b=( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：b 是实数(b+i) 2=b2-1+2bi，由 Re(b+i)2=0，即得 b2-1=0，解出 b=1或 b=-1，再由 Im(b+i)20，即得 2b0，所以 b=1故应选 B18.对
16、于齐次线性方程组 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：这是一个三个方程三个未知数的齐次方程组，由系数矩阵的行列式来判断它的解比较方便设Ax=0*即 =0 或 =-1 或 =1 时，Ax=0 有非零解|A|0 时，即 0 且 1 时，Ax=0 只有零解由此得到题中(1)(2)(3)均正确，(4)不正确故正确的选择应为 C19.过点 A(7,2)作圆 x2+y2+2x-4y-95=0的弦，其中弦长为整数的共有( )（分数：4.00）A.8条B.9条C.16条 D.18条解析：圆方程写成(x+1) 2+(y-2)2=100圆心为(-1,2)，半径 r=10(7,2)代入方程左边得(7+1)2+
17、(2-2)2=64100所以 A在圆内过 A最长的弦为过 A的直径，弦长为 20，最短的弦为过 A与最长弦(直径)垂直的弦，其弦长为*，所以弦长 L满足：12L20L可以取的整数值为 12,13,19,20共 9个整数其中过 A弦长为 12和 20各有 1条弦，由对称性，弦为 13,19的弦各有 2条所以弦长为整数的弦共有 16条故选 C20.设 0a1，函数 f(x)=loga(a2x-2ax-2)，则 f(x)0 的充分必要条件是 x( )（分数：4.00）A.(-,0)B.(0,+)C.(-,log a3) D.(loga3,+)解析：因为 0a1，所以*右边的不等式可写成 a2x-2a
18、x-30，即(a x-3)(ax+1)0因对一切 xR 有 ax+10，所以有 ax3，即xlog a3故选 C21.设在a,b上 f(x)0，且在(a,b)内 f(x)0，f(x)0，记 I1=(b-a)f(b)，I 2= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：由题设在(a,b)内 f(x)0,f(x)0，可得在(a,b)内函数 f(x)单调增加，曲线 f(x)是凸的如题 21图所示曲线*为 f(x)图形*如题 21图，记矩形 ABCD的面积为 S1，梯形 ABCE的面积为 S2，曲线*，直线 AE，直线 BC及直线 AB所围曲边梯形面积为 S3，根据定积分的几何意义，I 1=-S1，I
19、 2=-S2，I 3=-S3，因 S1S 3S 2，所以I1I 3I 2故应选 C22.如果 a1,a2,an为正数的等差数列，且公差 d0，则( )（分数：4.00）_解析：a n23.已知双曲线 (a0,b0)右焦点为 F，右准线 l与两条渐近线分别交于 P和 Q点若PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 e=( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：如题 13图所示，双曲的右焦点 F(c,0)，右准线 l：*与两条渐近线*的交点分别是*如果PQF 是直角三角形，有*即得*因为 c2-a2=b2，即得 a=b从而*离心率*故选 A24.在 500m长的大街两侧从起点到终点每隔 25m栽一棵树现有 A、B 两种树苗，若要求 A、B 两种树苗相间且 A树苗要在大街两端，则需要 A、B 两种树苗的棵数分别为( )（分数：4.00）A.22,20 B.20,22C.11,10D.10,11解析：每侧共需栽树*+1=21(棵)，A 树比 B树多 1棵故每侧需 11棵 A树，10 棵 B树，两侧共需 22棵 A树，20 棵 B树故应选 A25.如图，矩形 ABCD中，由 8个面积均为 1的小正方形组成的 L型模板如图放置，则矩形 ABCD 的周长为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：设BAE=，则 AB=4cos，BC=4sin+4cos*故选 D*
