1、工程硕士(GCT)数学-32 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.购买商品 A，B，C。第一次各买 2 件，共 11.4 元；第二次购买。4 商 r 品 4 件，B 商品 3 件，C 商品 2件，共 14.8 元；第三次购买 A 商品 5 件，B 商品 4 件，C 商品 2 件，共 17.5 元。则 1 件 A 商品的价格是( )。A0.70 元 B0.75 元 C0.80 元 D0.85 元（分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 2+-1=0， 2+-1=0，且 ，则 + 的值为( )。A2 B-2 C-1 D0（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 x1，x 2
2、是关于 x 的方程 x2-(m-1)x-m=0(m0)的两个根，且满足 （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为 9 和 12 两部分，则腰长和底边长分别为( )。A6，9 B8，5C5，9 或 8，6 D6，9 或 8，5（分数：4.00）A.B.C.D.5.在等差数列中，已知公差 （分数：4.00）A.B.C.D.6.若甲以 10 发 8 中，乙以 10 发 6 中，丙以 10 发 7 中的命中率打靶，3 人各射击一次，则 3 人中只有 1人命中的概率为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.7.在(1+x)+(1+x) 2+(1+x)3+(1+x)
3、10的展开式中，x 6的系数为( )。A300 B310 C320 D330（分数：4.00）A.B.C.D.8.若 cot=3，则 的值是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.9.如图所示，三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是边长为 a 的正三角形，棱 AA1和底面边 AB、AC 均成 45角，则A1A 和 BC 的距离为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.10.双曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.11.设动点 P 在直线 x=1 上，O 为坐标原点，以 OP 为直角边，点 O 为直角顶点作等腰直角三角形 OPQ，则Q 的轨迹是( )。A圆 B两条平行直线 C抛物线 D双曲线
4、（分数：4.00）A.B.C.D.12.直线 y=kx+1(kR)与椭圆(或圆) （分数：4.00）A.B.C.D.13.点 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D.14.已知 ，则 f(x)=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.15.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.16.设周期函数 f(x)的周期为 6，且 f(x)可导， （分数：4.00）A.B.C.D.17.设 （分数：4.00）A.B.C.D.18.星形线 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为( )。（分数：4.00）A.B.C.D.19.求 （分数：4.00）A.B.C.D.20.已知 3 阶行列式
5、（分数：4.00）A.B.C.D.21.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.22.已知 AP=PB，其中（分数：4.00）A.B.C.D.23.设（分数：4.00）A.B.C.D.24.已知齐次线性方程组 Ax=0，A 为 mn 阶矩阵，则方程组 Ax=0 没有非零解的充分条件是( )。AA 的行向量组线性无关 BA 的行向量组线性相关CA 的列向量组线性无关 DA 的列向量组线性相关（分数：4.00）A.B.C.D.25.三阶矩阵 A 满足|3A+2E|=0，|-5A+E|=0，|2A+5E|=0，则 A 的 3 个特征值是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学
6、-32 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.购买商品 A，B，C。第一次各买 2 件，共 11.4 元；第二次购买。4 商 r 品 4 件，B 商品 3 件，C 商品 2件，共 14.8 元；第三次购买 A 商品 5 件，B 商品 4 件，C 商品 2 件，共 17.5 元。则 1 件 A 商品的价格是( )。A0.70 元 B0.75 元 C0.80 元 D0.85 元（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由题意可知，第二次比第一次多买 2 件 A 商品，1 件 B 商品，第三次比第二次多买 1 件 A商品，1 件 B 商品，其差价刚好为 A 商品的单价，即(1
7、4.8-11.4)-(17.5-14.8)=3.4-2.7=0.70故选 A。2.已知 2+-1=0， 2+-1=0，且 ，则 + 的值为( )。A2 B-2 C-1 D0（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 提示：， 可看作是方程 x2+x-1=0 的两个根。3.设 x1，x 2是关于 x 的方程 x2-(m-1)x-m=0(m0)的两个根，且满足 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为=-(m-1) 2+4m=(m+1)20，所以对于任意实数 m，方程恒有两个实数根 x1，x 2，又因为 x1+x2=m-1，x 1x2=-m，且，n0故4.已知等腰三角形一腰上的中线
8、将它的周长分为 9 和 12 两部分，则腰长和底边长分别为( )。A6，9 B8，5C5，9 或 8，6 D6，9 或 8，5（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 如图所示，AB=AC，BD 是中线，BD 将ABC 的周长分为 AB+AD 和 BC+CD 两个部分，分别为9 和 12，由于未指明哪一部分为 9(或 12)，因此有如下两种情况：AB+AD=9，BC+CD=12；AB+AD=12，BC+CD=9，进而求得 AB=6，BC=9，或 AB=8，BC=5。故 D 为正确答案。5.在等差数列中，已知公差 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 a1+a2+a100=x
9、，则有a2+a4+a100=x=60 a1+a3+a99=60 式一式，有d+d+d=x=12050d=x-1206.若甲以 10 发 8 中，乙以 10 发 6 中，丙以 10 发 7 中的命中率打靶，3 人各射击一次，则 3 人中只有 1人命中的概率为( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 记“甲命中”为事件 A，“乙命中”为事件 B，“丙命中”为事件 C，则“3 人中只有 1 人命中”为事件 是相斥事件，且 A，B， 均为相互独立事件，故所求概率为7.在(1+x)+(1+x) 2+(1+x)3+(1+x)10的展开式中，x 6的系数为( )。A300 B310 C320
10、D330（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 以排列与组合的思考方法得展开式中 x6项的系数为C06+C17+C28+C39+C410=330又因(1+x)，(1+x) 2，(1+x) 10。是以(1+x)为首项，(1+x)为公比的等比数列，其和为则分子 x7项的系数 C711=330，故选 D。8.若 cot=3，则 的值是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 Cot=3，则9.如图所示，三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是边长为 a 的正三角形，棱 AA1和底面边 AB、AC 均成 45角，则A1A 和 BC 的距离为( )。（分数：4.00）A. B.C.D.
11、解析：解析 点 A 到平面 BCC1B1的距离即为所求， 点 4 到 EE1的距离为10.双曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 ABF 2的周长为 C=|AF2|+|AB|+|BF2|，又|AF 2|-|AF2|=2a，|BF 2|-|BF1|=2a，故C=m+4a+|AF|+|BF1|=4a+2m。故 C 为正确答案。11.设动点 P 在直线 x=1 上，O 为坐标原点，以 OP 为直角边，点 O 为直角顶点作等腰直角三角形 OPQ，则Q 的轨迹是( )。A圆 B两条平行直线 C抛物线 D双曲线（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 P(1，t)，Q(x，y)，
12、则12.直线 y=kx+1(kR)与椭圆(或圆) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由13.点 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于14.已知 ，则 f(x)=( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 分式极限存在，分母以 0 为极限，必有分子以 0 为极限，则 B、D 不正确。将 代入等式15.函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 f(x)在 x=1 处无定义，所以不选 D。16.设周期函数 f(x)的周期为 6，且 f(x)可导， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 17.设 （分数：4.00）A.B.
13、 C.D.解析：解析 令 ，则当 x=0 时，u=-1，于是把 x=0，u=1 代入上式，得18.星形线 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于图形的对称性，只要算出第一象限部分绕 x 轴旋转所得旋转体积的 2 倍，即得所求体积。19.求 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 原式20.已知 3 阶行列式 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 用行列式性质作恒等变形，有21.已知 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因 P，Q 均为三阶方阵，又 PQ=O，故 r(P)+r(Q)3。当 t=6 时，
14、r(Q)=1，于是 r(P)2，当 t6 时，r(Q)=2，于是 r(P)1。又 r(P)1(P 为三阶非零方阵)，故 r(P)=1，故选 C。22.已知 AP=PB，其中（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因 P 可逆，且 故有由于 A2=PBP-1PBP-1=PB2p-1，可见 A5=PB5p-1=PBP-1=A，则23.设（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由24.已知齐次线性方程组 Ax=0，A 为 mn 阶矩阵，则方程组 Ax=0 没有非零解的充分条件是( )。AA 的行向量组线性无关 BA 的行向量组线性相关CA 的列向量组线性无关 DA 的列向量组线性相关（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 线性方程组 Ax=0 仅有零解的充要条件是 r(A)=n，即 A 的列向量组线性无关，故选 C。25.三阶矩阵 A 满足|3A+2E|=0，|-5A+E|=0，|2A+5E|=0，则 A 的 3 个特征值是( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 根据 A 满足的 3 个等式知，至少有一个满足下列三式3+2=0-5+1=02+5=0即有 ，A 的 3 个特征值为
