1、工程硕士(GCT)数学-32 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)1.购买商品 A,B,C。第一次各买 2 件,共 11.4 元;第二次购买。4 商 r 品 4 件,B 商品 3 件,C 商品 2件,共 14.8 元;第三次购买 A 商品 5 件,B 商品 4 件,C 商品 2 件,共 17.5 元。则 1 件 A 商品的价格是( )。A0.70 元 B0.75 元 C0.80 元 D0.85 元(分数:4.00)A.B.C.D.2.已知 2+-1=0, 2+-1=0,且 ,则 + 的值为( )。A2 B-2 C-1 D0(分数:4.00)A.B.C.D.3.设 x1,x 2
2、是关于 x 的方程 x2-(m-1)x-m=0(m0)的两个根,且满足 (分数:4.00)A.B.C.D.4.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为 9 和 12 两部分,则腰长和底边长分别为( )。A6,9 B8,5C5,9 或 8,6 D6,9 或 8,5(分数:4.00)A.B.C.D.5.在等差数列中,已知公差 (分数:4.00)A.B.C.D.6.若甲以 10 发 8 中,乙以 10 发 6 中,丙以 10 发 7 中的命中率打靶,3 人各射击一次,则 3 人中只有 1人命中的概率为( )。(分数:4.00)A.B.C.D.7.在(1+x)+(1+x) 2+(1+x)3+(1+x)
3、10的展开式中,x 6的系数为( )。A300 B310 C320 D330(分数:4.00)A.B.C.D.8.若 cot=3,则 的值是( )。(分数:4.00)A.B.C.D.9.如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是边长为 a 的正三角形,棱 AA1和底面边 AB、AC 均成 45角,则A1A 和 BC 的距离为( )。(分数:4.00)A.B.C.D.10.双曲线 (分数:4.00)A.B.C.D.11.设动点 P 在直线 x=1 上,O 为坐标原点,以 OP 为直角边,点 O 为直角顶点作等腰直角三角形 OPQ,则Q 的轨迹是( )。A圆 B两条平行直线 C抛物线 D双曲线
4、(分数:4.00)A.B.C.D.12.直线 y=kx+1(kR)与椭圆(或圆) (分数:4.00)A.B.C.D.13.点 x=0 是函数 (分数:4.00)A.B.C.D.14.已知 ,则 f(x)=( )。(分数:4.00)A.B.C.D.15.函数 (分数:4.00)A.B.C.D.16.设周期函数 f(x)的周期为 6,且 f(x)可导, (分数:4.00)A.B.C.D.17.设 (分数:4.00)A.B.C.D.18.星形线 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为( )。(分数:4.00)A.B.C.D.19.求 (分数:4.00)A.B.C.D.20.已知 3 阶行列式
5、(分数:4.00)A.B.C.D.21.已知 (分数:4.00)A.B.C.D.22.已知 AP=PB,其中(分数:4.00)A.B.C.D.23.设(分数:4.00)A.B.C.D.24.已知齐次线性方程组 Ax=0,A 为 mn 阶矩阵,则方程组 Ax=0 没有非零解的充分条件是( )。AA 的行向量组线性无关 BA 的行向量组线性相关CA 的列向量组线性无关 DA 的列向量组线性相关(分数:4.00)A.B.C.D.25.三阶矩阵 A 满足|3A+2E|=0,|-5A+E|=0,|2A+5E|=0,则 A 的 3 个特征值是( )。(分数:4.00)A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学
6、-32 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)1.购买商品 A,B,C。第一次各买 2 件,共 11.4 元;第二次购买。4 商 r 品 4 件,B 商品 3 件,C 商品 2件,共 14.8 元;第三次购买 A 商品 5 件,B 商品 4 件,C 商品 2 件,共 17.5 元。则 1 件 A 商品的价格是( )。A0.70 元 B0.75 元 C0.80 元 D0.85 元(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 由题意可知,第二次比第一次多买 2 件 A 商品,1 件 B 商品,第三次比第二次多买 1 件 A商品,1 件 B 商品,其差价刚好为 A 商品的单价,即(1
7、4.8-11.4)-(17.5-14.8)=3.4-2.7=0.70故选 A。2.已知 2+-1=0, 2+-1=0,且 ,则 + 的值为( )。A2 B-2 C-1 D0(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 提示:, 可看作是方程 x2+x-1=0 的两个根。3.设 x1,x 2是关于 x 的方程 x2-(m-1)x-m=0(m0)的两个根,且满足 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 因为=-(m-1) 2+4m=(m+1)20,所以对于任意实数 m,方程恒有两个实数根 x1,x 2,又因为 x1+x2=m-1,x 1x2=-m,且,n0故4.已知等腰三角形一腰上的中线
8、将它的周长分为 9 和 12 两部分,则腰长和底边长分别为( )。A6,9 B8,5C5,9 或 8,6 D6,9 或 8,5(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 如图所示,AB=AC,BD 是中线,BD 将ABC 的周长分为 AB+AD 和 BC+CD 两个部分,分别为9 和 12,由于未指明哪一部分为 9(或 12),因此有如下两种情况:AB+AD=9,BC+CD=12;AB+AD=12,BC+CD=9,进而求得 AB=6,BC=9,或 AB=8,BC=5。故 D 为正确答案。5.在等差数列中,已知公差 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 设 a1+a2+a100=x
9、,则有a2+a4+a100=x=60 a1+a3+a99=60 式一式,有d+d+d=x=12050d=x-1206.若甲以 10 发 8 中,乙以 10 发 6 中,丙以 10 发 7 中的命中率打靶,3 人各射击一次,则 3 人中只有 1人命中的概率为( )。(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 记“甲命中”为事件 A,“乙命中”为事件 B,“丙命中”为事件 C,则“3 人中只有 1 人命中”为事件 是相斥事件,且 A,B, 均为相互独立事件,故所求概率为7.在(1+x)+(1+x) 2+(1+x)3+(1+x)10的展开式中,x 6的系数为( )。A300 B310 C320
10、D330(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 以排列与组合的思考方法得展开式中 x6项的系数为C06+C17+C28+C39+C410=330又因(1+x),(1+x) 2,(1+x) 10。是以(1+x)为首项,(1+x)为公比的等比数列,其和为则分子 x7项的系数 C711=330,故选 D。8.若 cot=3,则 的值是( )。(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 Cot=3,则9.如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是边长为 a 的正三角形,棱 AA1和底面边 AB、AC 均成 45角,则A1A 和 BC 的距离为( )。(分数:4.00)A. B.C.D.
11、解析:解析 点 A 到平面 BCC1B1的距离即为所求, 点 4 到 EE1的距离为10.双曲线 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 ABF 2的周长为 C=|AF2|+|AB|+|BF2|,又|AF 2|-|AF2|=2a,|BF 2|-|BF1|=2a,故C=m+4a+|AF|+|BF1|=4a+2m。故 C 为正确答案。11.设动点 P 在直线 x=1 上,O 为坐标原点,以 OP 为直角边,点 O 为直角顶点作等腰直角三角形 OPQ,则Q 的轨迹是( )。A圆 B两条平行直线 C抛物线 D双曲线(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 设 P(1,t),Q(x,y),
12、则12.直线 y=kx+1(kR)与椭圆(或圆) (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 由13.点 x=0 是函数 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由于14.已知 ,则 f(x)=( )。(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 分式极限存在,分母以 0 为极限,必有分子以 0 为极限,则 B、D 不正确。将 代入等式15.函数 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 f(x)在 x=1 处无定义,所以不选 D。16.设周期函数 f(x)的周期为 6,且 f(x)可导, (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 17.设 (分数:4.00)A.B.
13、 C.D.解析:解析 令 ,则当 x=0 时,u=-1,于是把 x=0,u=1 代入上式,得18.星形线 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为( )。(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 由于图形的对称性,只要算出第一象限部分绕 x 轴旋转所得旋转体积的 2 倍,即得所求体积。19.求 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 原式20.已知 3 阶行列式 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 用行列式性质作恒等变形,有21.已知 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 因 P,Q 均为三阶方阵,又 PQ=O,故 r(P)+r(Q)3。当 t=6 时,
14、r(Q)=1,于是 r(P)2,当 t6 时,r(Q)=2,于是 r(P)1。又 r(P)1(P 为三阶非零方阵),故 r(P)=1,故选 C。22.已知 AP=PB,其中(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 因 P 可逆,且 故有由于 A2=PBP-1PBP-1=PB2p-1,可见 A5=PB5p-1=PBP-1=A,则23.设(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 由24.已知齐次线性方程组 Ax=0,A 为 mn 阶矩阵,则方程组 Ax=0 没有非零解的充分条件是( )。AA 的行向量组线性无关 BA 的行向量组线性相关CA 的列向量组线性无关 DA 的列向量组线性相关(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 线性方程组 Ax=0 仅有零解的充要条件是 r(A)=n,即 A 的列向量组线性无关,故选 C。25.三阶矩阵 A 满足|3A+2E|=0,|-5A+E|=0,|2A+5E|=0,则 A 的 3 个特征值是( )。(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 根据 A 满足的 3 个等式知,至少有一个满足下列三式3+2=0-5+1=02+5=0即有 ,A 的 3 个特征值为