1、工程硕士(GCT)数学-20 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市。某校甲、乙两班师生前往校区参加植树活动，已知甲班每天比乙班少种 10棵树，甲班利 150棵树所用的天数比乙班利 120棵所用的天数多 2天，则甲、乙两班每天各植树( )棵。A20、30 B30、40 C30、35 D25、40（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 x1和 x2是方程 2x2-4x+5=0的两个根，则|x 1x2|=( )。A0 B C （分
2、数：4.00）A.B.C.D.3.设方程(1gx) 2+(1+1g5)1gx+1g5=0的两个根是 和 ，则 =( )。A （分数：4.00）A.B.C.D.4.若(a m+1b n+2)(a 2n-1b 2m)=a5b3，则 m+n的值为( )。A1 B2 C3 D-3（分数：4.00）A.B.C.D.5.“复数 a+bi(a，bR)为纯虚数”是“a=0”的( )。A充分但非必要条件 B必要但非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件（分数：4.00）A.B.C.D.6.在 （分数：4.00）A.B.C.D.7.将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格中，每格填一个数
3、字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8. 的定义域为( )。A2，3) B(2，3)C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.等比数列 an中，若 a4a7=-512，a 3+a8=124，且公比 kZ(整数集合)，则 a10=( )。A B512 C D （分数：4.00）A.B.C.D.10.若 ，则 a的取值范围是( )。A0，2 B （分数：4.00）A.B.C.D.11.已知 ， 为锐角，且 ，则 +=( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.12.设直线(m+2)x+(m 2-3m)y+4=0与
4、 4x+2(m-3)y+7=0平行，则 m的值是( )。A2 B3 C （分数：4.00）A.B.C.D.13.若双曲线经过点 ，且它的两条渐近线的方程是 ，则双曲线方程是( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.14.双曲线 的离心率 ，则实数 m的值是( )。A9 B9 C D （分数：4.00）A.B.C.D.15.棱长均为 4的正三棱柱 ABC-A1B1C1中，M 为 A1B1的中点，则点 M到 BC的距离为( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.16.设 （分数：4.00）A.B.C.D.17.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A.B.C
5、.D.18.若曲线 y=ax2与曲线 相切，则 a=( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.19.已知 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则方程 f(x)=0有( )。A分别位于区间(1，2)、(2，3)、(3，4)内的三个实根Bx 1=1，x 2=2，x 3=3，x 4=4四个实根C分别位于(0，1)、(1，2)、(2，3)、(3，4)内的四个实根D分别位于(1，2)、(1，3)、(1，4)内的三个实根（分数：4.00）A.B.C.D.20.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 X轴所围图形的面积可表示为( )。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.2
6、1.曲线 y=1-x2(0x1)、x 轴、y 轴所围平面区域被曲线 y=ax2(a0)分成面积相等的两部分，在 a=( )。A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C.D.22.设 A、B 均是 n阶矩阵，则(A+B) 2=A2+2AB+B2的充分必要条件是( )。AA=E BB=0 CAB=BA DA=B（分数：4.00）A.B.C.D.23.下列向量组中，线性无关的向量组是( )。A(2，0，1)，(0，2，3)，(0，0，0)B(-1，2，3)，(2，-4，-6)，(5，3，7)C(1，2)，(2，3)，(5，6)D(1，1，1，-1)，(0，1，0，2)，(0，0，3，5)（分
7、数：4.00）A.B.C.D.24.向量 a1=(1，4，2) T，a 2=(2，7，3) T，a 3=(0，1，a) T可以表示任一个三维向量，在 a( )A-1 B0 C1 D （分数：4.00）A.B.C.D.25.矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-20 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市。某校甲、乙两班师生前往校区参加植树活动，已知甲班每天比乙班少种 10棵树，甲班利 150棵树所用的天数
8、比乙班利 120棵所用的天数多 2天，则甲、乙两班每天各植树( )棵。A20、30 B30、40 C30、35 D25、40（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设甲班每天植树 x棵，那么乙班每天植树 x+10棵，依题意得2.设 x1和 x2是方程 2x2-4x+5=0的两个根，则|x 1x2|=( )。A0 B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 判别式=16-425=-24所以 X1和 X2是一对共轭复根，Xl 叫 2是复数。这时根与系数的关系仍然成立，(x 1-x2)2=(x1+x2)-4x1x2=3.设方程(1gx) 2+(1+1g5)1gx+1g5=0的两个
9、根是 和 ，则 =( )。A （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 方程用 y=lgx换元，得到 y的一个一元二次方程，它的根 y1=lga，y 2=lg。由根与系数的关系得 y1+y2=-(1+lg5)，即得4.若(a m+1b n+2)(a 2n-1b 2m)=a5b3，则 m+n的值为( )。A1 B2 C3 D-3（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题应用单项式乘以单项式的法则和同底数幂的乘法性质进行计算，由(a m+1b n+2)(a 2n-1b 2m)=a5b3，得 am+2n.b2m+n+2=a5b3。因此有5.“复数 a+bi(a，bR)为纯虚数”是“a
10、=0”的( )。A充分但非必要条件 B必要但非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为在 a=0时，a+bi 可以为实数，因此 A为正确答案。6.在 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 的展开式中，一般项为，所以 x5系数为7.将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是( )。A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 先填第 1格，有 3种不同的填法：当第 1格填写的数字为 i(2i4)时，第 2步填写第 i格，因为这时剩下的
11、 3个数字中没有一个是 i，故有 3种不同的填法；由于剩下的两个数字填入两个空格只有一种填法，因而所求概率为8. 的定义域为( )。A2，3) B(2，3)C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 原式可化为不等式组因此有 即可知定义域为9.等比数列 an中，若 a4a7=-512，a 3+a8=124，且公比 kZ(整数集合)，则 a10=( )。A B512 C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于a n)是等比数列，故 a3a8=a4a7=-51210.若 ，则 a的取值范围是( )。A0，2 B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 ，有11
12、.已知 ， 为锐角，且 ，则 +=( )。A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因 ， 均是锐角，其正弦和余弦值都是正的，有故正确答案为 B。如果用公式 sin(+)=sincos+cossin，则得到 的值有两种可能，还要进一步分析。事实上，如果用计算器计算12.设直线(m+2)x+(m 2-3m)y+4=0与 4x+2(m-3)y+7=0平行，则 m的值是( )。A2 B3 C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意，有 ，当 m3 时，原等式为13.若双曲线经过点 ，且它的两条渐近线的方程是 ，则双曲线方程是( )。A B C D （分数：4.0
13、0）A.B.C. D.解析：解析 由两条渐近线 可设双曲线方程为将(6，14.双曲线 的离心率 ，则实数 m的值是( )。A9 B9 C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 该方程的曲线为双曲线，要求 m-1和 m+1同号，即(m-1)(m+1)0 得 m1 或的 m-1。当 m1 时， 。解方程 ，得。m=9同理，当时 m-1， 。解方程15.棱长均为 4的正三棱柱 ABC-A1B1C1中，M 为 A1B1的中点，则点 M到 BC的距离为( )。A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 点 M到 BC的距离为16.设 （分数：4.00）A.B.C. D.
14、解析：解析 要使 f(x)+g(x)(-+)在内连续，只要在 x=0和 x=1处连续，即使下列等式成立17.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 。又因 f(x)是连续函数，故有 。18.若曲线 y=ax2与曲线 相切，则 a=( )。A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设切点坐标为 ，此点在两条曲线上，故有又两曲线的切线斜率相等，有联立式求解，得19.已知 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则方程 f(x)=0有( )。A分别位于区间(1，2)、(2，3)、(3，4)内的三个实根Bx 1=1，x 2=2，
15、x 3=3，x 4=4四个实根C分别位于(0，1)、(1，2)、(2，3)、(3，4)内的四个实根D分别位于(1，2)、(1，3)、(1，4)内的三个实根（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 这是判断导数零点的问题，一般要利用罗尔中值定理。f(x)在1，2，2，3，3，4满足罗尔定理条件，所以在(1，2)，(2，3)，(3，4)区间内分别至少存在一点 ，使 f()=0，又 f(x)=0为实系数三次方程，最多有三个根，故 f(x)=0有分别位于(1，2)，(2，3)，(3，4)内的三个实根。故正确答案为 A。20.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 X轴所围图形的面积可表示为( )。A
16、BCD （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 已知曲线与 X轴的交点为 x=0，x=1 和 x=2，在区间(1，2)内 y0，于是曲线与 X轴所围成图形的面积为21.曲线 y=1-x2(0x1)、x 轴、y 轴所围平面区域被曲线 y=ax2(a0)分成面积相等的两部分，在 a=( )。A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 画草图如图所示，设两条抛物线的交点坐标为(x 0，y 0)，则 。解此方程得又因故正确答案为 C。注意， 这一步很关键。如果利用 A1=A2来求解 a，要复杂得多。22.设 A、B 均是 n阶矩阵，则(A+B) 2=A2+2AB+B2
17、的充分必要条件是( )。AA=E BB=0 CAB=BA DA=B（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 矩阵运算与代数运算的差异主要有两点，即不满足交换律与消去律。换句话说，一般地，23.下列向量组中，线性无关的向量组是( )。A(2，0，1)，(0，2，3)，(0，0，0)B(-1，2，3)，(2，-4，-6)，(5，3，7)C(1，2)，(2，3)，(5，6)D(1，1，1，-1)，(0，1，0，2)，(0，0，3，5)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 向量组中含有零向量，因此这组向量必线性相关；B 向量组中前两个向量对应分量成比例，因此 B向量组线性相关；C
18、向量组中所含向量个数大于向量的维数，这组向量必线性相关。由此排除法；D向量组线性无关。也可直接判断 D向量组为阶梯形向量组，此向量组秩为 3，与向量个数相等，因此，这组向量线性无关。故选 D。24.向量 a1=(1，4，2) T，a 2=(2，7，3) T，a 3=(0，1，a) T可以表示任一个三维向量，在 a( )A-1 B0 C1 D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 a 1，a 2，a 3可表示任一个 3维向量的充分必要条件是25.矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 i=a ii，知 1+ 2+ 3=0，故可排除 A、C 两项。对于 B项和 D项，因为所以 =0 不是 A的特征值，故排除 B项，正确答案为 D。注：这一类题解法较多，例如可以直接求出 A的特征值。又因
