1、工程硕士(GCT)数学-18 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.下列矩阵可对角化的为( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.从分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是 3的倍数的概率是( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.若 f(x)=x3+px2+qx+6含有一次因式 x-3和 x-1，则 pq=( )（分数：4.00）A.-66B.66C.-10D.104.已知 （分数：4.00）A.B.C
2、.D.5. （分数：4.00）A.B.C.D.6.已知函数 是(-，+)上的连续函数，则 ab=( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.若 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 1， 2是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1，A( 1+ 2)线性无关的充分必要条件是( )（分数：4.00）A. 10B. 20C. 1=0D. 2=09.某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件数支付工资，工人每做出一个合格零件能得到工资10元，每做出一个不合格的零件将被扣除 5元已知某人一天共做了 12个零件，得到工资 90元，那么他在这一天做了( )不合格零件（分数
3、：4.00）A.1B.2C.3D.410.若复数 z满足 ，则 z+z2的值等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.11.在 （分数：4.00）A.B.C.D.12.方程 （分数：4.00）A.B.C.D.13.下列不等式成立的是( )（分数：4.00）A.在(-，0)(0，+)内，B.在(-，0)内，C.在(-，0)(0，+)内，D.在(0，+)内，14.与直线 x+y-2=0和曲线 x2+y2-12x-12y+54=0都相切，且半径最小的圆的标准方程是( )（分数：4.00）A.(x-2)2+(y-2)2=2B.(x-2)2+(y+2)2=4C.(x-2)2+(y+2)2=2D.(x+
4、2)2+(y-2)2=415.已知曲线 y=x2+ax+b与曲线 2y=-1+xy3，且过点(1，-1)两切线垂直，则 a，b 分别为( )（分数：4.00）A.a=-1，b=-1B.a=-1，b 任意C.a=-3，b=-1D.a=-3，b 任意16.在等差数列 an)中，已知 a1=2，a 2+a3=13，则 a4+a5+a6等于( )（分数：4.00）A.40B.42C.43D.4417.有四个数，第一个数是 a2+b的值，第二个数比第一个数的 2倍少 a2，第三个数是第一个数与第二个数的差的 3倍，第四个数比第一个数多 2b，若第一个数的值是-2，求这四个数的和( )（分数：4.00）A
5、.-1B.-2C.-4D.-618.有甲乙两只蜗牛，它们爬树的速度相等开始，甲蜗牛爬树 12尺，然后乙蜗牛开始爬树，甲蜗牛爬到树顶，回过头来又往回爬到距离顶点 1/4树高处，恰好碰到乙蜗牛，则树高( )（分数：4.00）A.24尺B.20尺C.22尺D.26尺19.在ABC 中，已知 ，给出以下四个论断：tan Acot B=1； （分数：4.00）A.B.C.D.20.在 RtABC 中，已知 AB=6，AC=8，A=90如果把 RtABC 绕直线 AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为 S1；把 RtABC 绕直线 AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为 S2，那么 S1:S2等于( )（分
6、数：4.00）A.4:9B.3:4C.2:3D.5:1221.具有下列两个性质： 和 （分数：4.00）A.B.C.D.22.设 1， 2， 3均为 3维列向量，记矩阵 A=( 1， 2， 3)，B=( 1+ 2+ 3， 1+2 2+4 3， 1+3 2+9 3)，如果|A|=1，那么|B|=( )（分数：4.00）A.B.C.D.23.某校开设 9门课程供学生选修，其中 A，B，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修 4门，则每人有( )种不同选修方案（分数：4.00）A.75B.70C.60D.8024.设 a、b、c 都是正数，且 3a=4b=6c，那么必有( )（分
7、数：4.00）A.B.C.D.25.设 A为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，则( )（分数：4.00）A.交换 A*的第 1列与第 2列得 B*B.交换 A*的第 1行与第 2行得 B*C.交换 A*的第 1列与第 2列得-B *D.交换 A*的第 1行与第 2行得-B *工程硕士(GCT)数学-18 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.下列矩阵可对角化的为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 (A)选项，矩阵特征值为 O，特征向量为(
8、1，0，0) T，不能对角化；(B)选项，特征值和特征向量为-2、(-2，3，0，0) T，2、(5，1，1，0) T，1、(1，0，0，0) T，不能对角化；(C)选项，对称矩阵总可以对角化，正确；(D)选项，特征值和特征向量为-2、(0，0，1) T，1、(-1，2，4) T，不能对角化，选(C)2.从分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是 3的倍数的概率是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 组成的无重复数字两位数为*个，能被 3整除的有 1和 2一组的
9、，1 和 5一组的，2 和 4一组的，4 和 5一组的，共*个，故概率为*，选(D)3.若 f(x)=x3+px2+qx+6含有一次因式 x-3和 x-1，则 pq=( )（分数：4.00）A.-66B.66C.-10D.10 解析：解析 显然 x3+px2+qx+6=(x-1)(x-3)(x+2)=x3-2x2-5x+6，pq=10，选(D)4.已知 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 令*，则 f(x)=ex+Ae-x，所以*，从而 A=e2-e，即 f(x)=ex+e2-x-e1-x，选(A)5. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *选(A)6.已知函数 是(-
10、，+)上的连续函数，则 ab=( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *由于*，所以*，从而利用罗比达法则，*，即 a+*，选(A)7.若 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *是奇函数，所以 M=0；同理*，所以 PMN，选(D)8.设 1， 2是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1，A( 1+ 2)线性无关的充分必要条件是( )（分数：4.00）A. 10B. 20 C. 1=0D. 2=0解析：解析 方法一 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可令 k 1 1+k2A( 1+ 2)=0，则k1 1+k2 1 1+k
11、2 2 2=0， (k 1+k2 1) 1+k2 2 2=0由于 1， 2线性无关，于是有*当 20 时，显然有 k1=0，k 2=0，此时 1，A( 1+ 2)线性无关；反过来，若 1，A( 1+ 2)线性无关，则必然有 20，(否则， 1与 A( 1+ 2)= 1 1线性相关)，选(B)方法二 由于*可见 1，A( 1+ 2)线性无关的充要条件是*选(B)9.某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件数支付工资，工人每做出一个合格零件能得到工资10元，每做出一个不合格的零件将被扣除 5元已知某人一天共做了 12个零件，得到工资 90元，那么他在这一天做了( )不合格零件（分数：4.00
12、）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 设这个人做了 x个不合格的零件，则合格零件为 12-x，则 10(12-x)-5x=90，解得 x=2，选(B)10.若复数 z满足 ，则 z+z2的值等于( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *，则*选(C)11.在 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *，当 n=4时是常数项，即第 5项是常数项，选(D)12.方程 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 两边平方得 2xy+6y+1=0，可以看成*，为双曲线，选(A)13.下列不等式成立的是( )（分数：4.00）A.在(-，0)(0，+)内， B.在(-，0)内
13、，C.在(-，0)(0，+)内，D.在(0，+)内，解析：解析 令*，则*，即 f(x)在定义域内是单调递减函数，即*，选(A)14.与直线 x+y-2=0和曲线 x2+y2-12x-12y+54=0都相切，且半径最小的圆的标准方程是( )（分数：4.00）A.(x-2)2+(y-2)2=2 B.(x-2)2+(y+2)2=4C.(x-2)2+(y+2)2=2D.(x+2)2+(y-2)2=4解析：解析 显然满足条件的圆一定在点(6，6)到直线 x+y-2=0上的垂线段上，垂线的方程为 y=x，该直线与圆的交点为(3，3)、(9，9)，与另一直线的交点为(1，1)，所以所求的圆的圆心是(2，2
14、)，半径为*，即(x-2) 2+(y-2)2=2，选(A)15.已知曲线 y=x2+ax+b与曲线 2y=-1+xy3，且过点(1，-1)两切线垂直，则 a，b 分别为( )（分数：4.00）A.a=-1，b=-1B.a=-1，b 任意C.a=-3，b=-1D.a=-3，b 任意 解析：解析 曲线 y=x2+ax+b切线的斜率为 y=2x+a，在(1，-1)有 y|x=1=2+a；曲线 2y=-1+xy3的切线斜率为*，在(1，-1)有 y|x=1=1，从而有(2+a)1=-1*=-3，b 为任意值，选(D)16.在等差数列 an)中，已知 a1=2，a 2+a3=13，则 a4+a5+a6等
15、于( )（分数：4.00）A.40B.42 C.43D.44解析：解析 显然此数列为 a1=2，d=3 的等差数列，则 a5=14，从而 a4+a5+a6=3a5=42，选(B)17.有四个数，第一个数是 a2+b的值，第二个数比第一个数的 2倍少 a2，第三个数是第一个数与第二个数的差的 3倍，第四个数比第一个数多 2b，若第一个数的值是-2，求这四个数的和( )（分数：4.00）A.-1B.-2C.-4D.-6 解析：解析 根据题意，第一个数为 a2+b，第二个数为 a2+2b，第三个数为-3b，第四个数为 a2+3b，所以(a 2+b)+(a2+2b)+(-3b)+(a2+3b)=3(a
16、2+b)=-6，选(D)18.有甲乙两只蜗牛，它们爬树的速度相等开始，甲蜗牛爬树 12尺，然后乙蜗牛开始爬树，甲蜗牛爬到树顶，回过头来又往回爬到距离顶点 1/4树高处，恰好碰到乙蜗牛，则树高( )（分数：4.00）A.24尺 B.20尺C.22尺D.26尺解析：解析 设树高为 x，则*，解得 x=24，选(A)19.在ABC 中，已知 ，给出以下四个论断：tan Acot B=1； （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由*知，*，即*，所以*，是直角tan Acot B=1，tan Acot B=*错误；由于 sin A+sin B=cos B+sin B=*，即*，正确；sin
17、2A+cos2B=1，sin 2*，错误；cos 2A+cos2B=*，正确，故选(B)20.在 RtABC 中，已知 AB=6，AC=8，A=90如果把 RtABC 绕直线 AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为 S1；把 RtABC 绕直线 AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为 S2，那么 S1:S2等于( )（分数：4.00）A.4:9B.3:4C.2:3 D.5:12解析：解析 S 1=r 1(r1+l)，S 2=r 2(r2+l)，其中 r1=6、r 2=8、l=10，所以*=*，选(C)21.具有下列两个性质： 和 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由*可知道，f(x
18、)是二次多项式，而*=*，则 f(x)=x2+2x-3，选(B)22.设 1， 2， 3均为 3维列向量，记矩阵 A=( 1， 2， 3)，B=( 1+ 2+ 3， 1+2 2+4 3， 1+3 2+9 3)，如果|A|=1，那么|B|=( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 将 B写成用 A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可由题设，有 B=( 1+ 2+ 3， 1+2 2+4 3， 1+3 2+9 3)=*，于是有*，选(C)23.某校开设 9门课程供学生选修，其中 A，B，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修 4门，则每人有( )种
19、不同选修方案（分数：4.00）A.75 B.70C.60D.80解析：解析 分两种情况，选 A，B，C 其中的一门，有*种；不从 A，B，C 中选，有*=15 种，共60+15=75种方案，选(A)24.设 a、b、c 都是正数，且 3a=4b=6c，那么必有( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *(用 b表示 a、c)，所以选(B)25.设 A为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，则( )（分数：4.00）A.交换 A*的第 1列与第 2列得 B*B.交换 A*的第 1行与第 2行得 B*C.交换 A*的第 1列与第 2列得-B * D.交换 A*的第 1行与第 2行得-B *解析：解析 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可由题设，存在初等矩阵 E12(交换 n阶单位矩阵的第 1行与第 2行所得)，使得 E 12A=B，于是 *，即A*E12=-B*，选(C)
