1、工程硕士(GCT)数学-171 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1. _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 对任意的正整数都成立，则 a n =_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.甲、乙两台车床 3h共生产某种零件 210个两台车床同时生产这种零件，在相同时间内甲车床生产了666个，乙车床生产了 594个甲、乙两台车床每小时生产的零件个数分别为_（分数：4.00）A.33，37B.37，33C.99，111D.111，994.一列火车通过一座长为 600m的桥梁用了 15s，经
2、过一根电杆用了 5s，此列火车的长度为_m（分数：4.00）A.150B.200C.300D.4005.设 1 是底面直径与高均为 2R的圆柱体， 2 是 1 的内切球体，K 1 是 1 与 2 的体积之比，K 2 是 1 与 2 的表面积之比，则 K 1 ，K 2 的值分别是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.从 5位男教师和 4位女教师中选出 3人担任班主任，这 3位教师中男、女教师都有的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列 4个式子中，对一切非零实数 x都成立的是_ A Blnx 2 =2ln|x| Carcsin(sinx)=x D
3、 （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 a1，不等式 的解集是_ A(1，+) B C(a，+) D （分数：4.00）A.B.C.D.9.已知 x0，y0，且 x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.410.如下图所示，AB 是圆 O的直径，延长 AB至 C，使 AB=2BC，且 BC=2，CD 是圆 O的切线，切点为 D，连接 AD，则_ A BCD=4，DAB=30 C （分数：4.00）A.B.C.D.11.下列四个选项的数中最大的是_ A(ln2) 2 Bln(ln2) C （分数：4.00）A.B.C.D.12.AB
4、C 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c已知 则B 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.13.已知 ，函数 则下列命题为真命题的是_ A对一切 ，f(x)在(0，+)是增函数 B对一切 ，f(x)在(0，+)是减函数 C存在一个 ，使 f(x)是偶函数 D存在一个 （分数：4.00）A.B.C.D.14.椭圆 的焦点为 F 1 ，F 2 点 P在椭圆上若线段 PF 1 的中点在 y轴上，则 （分数：4.00）A.8B.7C.6D.515.如下图所示，长方形 ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为 54cm 2 ，OB 的长为 9cm，OD 的长为16cm，此长方形的
5、面积为_cm 2 （分数：4.00）A.300B.192C.150D.9616.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|x|)，若要使 F(x)在 x=0处可导，则必有_（分数：4.00）A.f(0)=0B.f(0)=1C.f“(0)=0D.f“(0)=117.设 （分数：4.00）A.B.C.D.18.函数 f(x)在a，b内有定义，其导数 f“(x)的图形如下图所示，则_ （分数：4.00）A.x1，x2 都是极值点B.(x1，f(x1)，(x2，f(x2)都是拐点C.x1是极值点，(x2，f(x2)是拐点D.(x1，f(x1)是拐点，x2 是极值点19.设 f(x)是连续函数，且 令
6、 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.420.设 则必有_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.21.已知抛物线 y=px 2 +x(其中 p0)在第一象限内与直线 x+y=5相切，则此抛物线与 x轴所围的面积S=_ A4 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.22.设 A，B 为三阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A -1 +B|=2，则|A+B -1 |=_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.23.已知向量 =(-1，1，k) T 是矩阵 （分数：4.00）A.-2B.-1C.0D.124.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零向量 (1)如果 r( 1
7、 ， 2 ， 3 )=3，则 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 (2)如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 (3)如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 2r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )3 (4)如果 r( 1 + 2 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，则 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 上述命题中，正确命题的个数为_个（分数：4.00）A.1B.2C.3D.425.若 A，A*，B 都是 n阶非零矩阵，且 A*是 A的伴随矩阵，AB=0，则 r(B)=_（分数：4.00）A.1B.n-1CnD
8、.不能确定工程硕士(GCT)数学-171 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1. _ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 n(n+2)=(n+1)-1(n+1)+1=(n+1) 2 -1， 即 n(n+2)+1=(n+1) 2 ，所以 2.已知 对任意的正整数都成立，则 a n =_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 n=1时，由于 所以 当 n=2时，由于 所以 当 n=3时，由于 所以 归纳得 3.甲、乙两台车床 3h共生产某种零件 210个两台车床同时生产
9、这种零件，在相同时间内甲车床生产了666个，乙车床生产了 594个甲、乙两台车床每小时生产的零件个数分别为_（分数：4.00）A.33，37B.37，33 C.99，111D.111，99解析：解析 设甲车床生产 666个零件所用时间为 t(h)，则有 解得 t=18，从而 4.一列火车通过一座长为 600m的桥梁用了 15s，经过一根电杆用了 5s，此列火车的长度为_m（分数：4.00）A.150B.200C.300 D.400解析：解析 列车经过一根电杆用了 5s，这说明列车用 5s走过它自己的长度，同时列车用 15s走过它的全长再加 600m，因此列车走 600m要用 10s，5s 走
10、300m，因此列车长度为 300m 故选 C5.设 1 是底面直径与高均为 2R的圆柱体， 2 是 1 的内切球体，K 1 是 1 与 2 的体积之比，K 2 是 1 与 2 的表面积之比，则 K 1 ，K 2 的值分别是_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 记 j (j=1，2)的体积为 V j ，表面积为 S j ，则 V 1 =R 2 2R=2R 3 ， S 1 =2R2R+2R 2 =6R 2 ，S 2 =4R 2 由此得 6.从 5位男教师和 4位女教师中选出 3人担任班主任，这 3位教师中男、女教师都有的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.
11、B. C.D.解析：解析 从 9位教师中选 3位，共有 种不同选法其中二男一女和一男二女的选法共有 种所求概率为 故选 B 注意 若问 9位教师选 3位派到 3个班任班主任，则有 种不同派法其中男、女教师都有的派法有 7.下列 4个式子中，对一切非零实数 x都成立的是_ A Blnx 2 =2ln|x| Carcsin(sinx)=x D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 所以 A式子左端一定是非负数，而 sin|x|可以是负数，A 不对一切非零实数成立 由反正弦函数的性质，C 中式子只对 成立，例如， 时，sinx=-1，而 所以不能选 C。 D中式子左端 8.已知 a1，不等
12、式 的解集是_ A(1，+) B C(a，+) D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 1 设函数 两边平方得 x 2 -y 2 =1，此函数的图像是等轴双曲线在 x轴上方的部分(见下图)又设函数 y=a-x，其图像是与双曲线一条渐近线平行的直线，它与 y轴交于点(0，a)直线与双曲线交点为 P，其横坐标为 当 xx*时双曲线图像在直线图像上方 故选 B 解析 2 如果从代数式子来看，使根式 有意义，必须 x 2 -10，即|x|1若 xa，不等式自然成立若 xa，则不等式两边都大于零，同时平方得 x 2 -1a 2 -2ax+x 2 ，解得 而根据均值不等式有 且 所以解集为 9
13、.已知 x0，y0，且 x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.4 解析：解析 x，a，b，y 成等差数列，所以 x+y=a+bx，c，d，y 成等比数列，所以 xy=cd 因 x0，y0，由均值不等式有 10.如下图所示，AB 是圆 O的直径，延长 AB至 C，使 AB=2BC，且 BC=2，CD 是圆 O的切线，切点为 D，连接 AD，则_ A BCD=4，DAB=30 C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 AB=2BC，BC=2 得 OC=4，OB=2连结 OD，因为 ODCD，所以ODC 是直角三角形，所以
14、又因为 OC=2OD，所以圆心角DOB=60，所以圆周角 11.下列四个选项的数中最大的是_ A(ln2) 2 Bln(ln2) C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 函数 y=lnx为单调递增函数，对数的底 e2，所以 0ln21，故有 (ln2) 2 ln2， 12.ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c已知 则B 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由已知条件及正弦定理有 即 因为A+C=-B，所以 sin(A+C)=sinB，得到 而 sinB0，所以 于是 13.已知 ，函数 则下列命题为真命题的是_ A对一切 ，f(x)在
15、(0，+)是增函数 B对一切 ，f(x)在(0，+)是减函数 C存在一个 ，使 f(x)是偶函数 D存在一个 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 若取 a=0，则 f(x)=x 2 为偶函数，所以 C为真命题故选 C 注意 当 a=0时，f(x)=x 2 在(0，+)不是减函数，故 B为假命题 若取 a=1，则 当 时，f“(x)0，f(x)在(0，+)不是增函数，故 A为假命题 而对所有 14.椭圆 的焦点为 F 1 ，F 2 点 P在椭圆上若线段 PF 1 的中点在 y轴上，则 （分数：4.00）A.8B.7 C.6D.5解析：解析 因为 c 2 =a 2 -b 2 =12-3
16、=9，故 c=3所以 F 1 ，F 2 两点的坐标分别为(-3，0)，(3，0)PF 1 中点在 y轴上，故可设 P(3，y)代入椭圆方程，有 15.如下图所示，长方形 ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为 54cm 2 ，OB 的长为 9cm，OD 的长为16cm，此长方形的面积为_cm 2 （分数：4.00）A.300 B.192C.150D.96解析：解析 阴影部分直角三角形面积为 54cm 2 ，OB=9cm，因此 ABD 的面积等于 16.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|x|)，若要使 F(x)在 x=0处可导，则必有_（分数：4.00）A.f(0)=0 B.f(0)
17、=1C.f“(0)=0D.f“(0)=1解析：解析 要使 存在，必须 存在因 所以必须 故选 A 注意 (2)由 f(x)可导有 f(x)连续，所以 17.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 lnx=t，则 x=e t ， 因此 18.函数 f(x)在a，b内有定义，其导数 f“(x)的图形如下图所示，则_ （分数：4.00）A.x1，x2 都是极值点B.(x1，f(x1)，(x2，f(x2)都是拐点C.x1是极值点，(x2，f(x2)是拐点D.(x1，f(x1)是拐点，x2 是极值点 解析：解析 在 x 1 处，f(x)由单调递减变为单调递增，因此曲线 f(x)由凸变为凹
18、，于是(x 1 ，f(x 1 )是曲线的拐点；在 x 2 处，f“(x 2 )=0，f“(x)的符号由负变为正，因此 x 2 是 f(x)的极小值点 故选 D19.设 f(x)是连续函数，且 令 （分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 在 中，令 xt=u，则 且当 t=0时，u=0；当 t=1时，u=x于是 在上式中令 x=1，得 所以 20.设 则必有_ A B C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 在 中，令 a-x=t，则当 x=a时，t=0，当 时， 且 dx=-dt，因此有 所以有 21.已知抛物线 y=px 2 +x(其中 p0)在第一象限内与直线
19、x+y=5相切，则此抛物线与 x轴所围的面积S=_ A4 B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因直线 x+y=5与抛物线 y=px 2 +x相切，所以它们有唯一的公共点，由方程组 得 px 2 +2x-5=0，其判别式必等于零，即 =2 2 -4p(-5)=4+20p=0， 从而得 故 抛物线 开口向下而且与 x轴的交点横坐标为 x 1 =0，x 2 =5，因此，此抛物线与 x轴所围的面积为 22.设 A，B 为三阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A -1 +B|=2，则|A+B -1 |=_ A B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为|B|=2，所
20、以 从而 23.已知向量 =(-1，1，k) T 是矩阵 （分数：4.00）A.-2B.-1C.0D.1 解析：解析 设 是 所相应的特征值，则 A -1 =，于是 =2，即 由此得 解此方程组得 24.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零向量 (1)如果 r( 1 ， 2 ， 3 )=3，则 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 (2)如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 (3)如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 2r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )3 (4)如果 r( 1 + 2 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ，
21、 3 ， 4 )，则 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 上述命题中，正确命题的个数为_个（分数：4.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析 因 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维向量，所以有 r( 1 ， 2 ， 3 )3，r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )3 对于(1)，因 r( 1 ， 2 ， 3 )=3，则 1 ， 2 ， 3 线性无关又 1 ， 2 ， 3 ， 4 必线性相关，因此 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 对于(2)，由(1)可知如果 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，所以当 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出时
22、， 1 ， 2 ， 3 必线性相关 对于(3)，因 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非零向量，而 4 又不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，所以 r( 4 ， i )=2(i=1，2，3)，从而 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )2，于是有 2r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )3 对于(4)，因矩阵经过初等变换后不改变其秩，所以有 r( 1 + 2 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )，因而有 r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，这表明非齐次方程组 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 4 有解，从而 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 命题(1)，(2)，(3)，(4)都是正确的 故选 D25.若 A，A*，B 都是 n阶非零矩阵，且 A*是 A的伴随矩阵，AB=0，则 r(B)=_（分数：4.00）A.1 B.n-1CnD.不能确定解析：解析 因 B是非零 n阶矩阵，所以线性方程组 Ax=0有非零解，因而 r(A)n又因 A*是非零矩阵，所以 A存在 n-1阶非零子式，因而 r(A)=n-1 线性方程组 Ax=0的基础解系中含有线性无关的解向量的个数等于 n-r(A)=1矩阵 B为非零矩阵，它的每一列均为 Ax=0的解，因此 r(B)=1 故选 A
