1、工程硕士(GCT)数学-170 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1. _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.如果一直角梯形的周长是 54cm，两底之和与两腰之和的比是 2:1，两腰之比是 1:2，那么此梯形的面积为_cm 2 （分数：4.00）A.54B.108C.162D.2163.某道路一侧原有路灯 106盏，相邻两盏的距离为 36m现计划全部换为新型节能灯，两灯距离变为70m，共需新型节能灯_盏（分数：4.00）A.54B.55C.108D.1104.修整一条水渠，原计划由 16人修，每天工作 7.
2、5h，6 天可以完成任务由于特殊原因，现要求 4天完成，为此又增加了 2人，现在每天要工作的时间为_h（分数：4.00）A.7B.8C.9D.105.某单位招聘员工，报名表来自两个地区，各有 10份和 15份，其中女生的报名表分别有 3份和 7份今随机地选择一个地区，然后从该地区的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.在 （分数：4.00）A.-28B.-56C.28D.567.已知复数 z满足 则|1+z|=_ A0 B1 C （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知函数 f(x)是定义在 （分数：4.00）A.(-2，
3、0)(0，2)B.(-2，0)(2，+)C.(-，-2)(0，2)D.(-，-2)(2，+)9.若不等式 （分数：4.00）A.(-，0)B.(-，0C.(-，4)D.(0，4)10.在数列a n 中，a 1 =1，a 2 =2，且 a n+2 -a n =1+(-1) n (n3 且 （分数：4.00）A.2450B.2500C.2600D.275011.已知 则 sinx= A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.12.平面直角坐标系中向量的集合 A=a|a=(2，-1)+t(1，-1)，t ， B=b|b=(-1，2)+t(1，2)，t ， 则 AB=_ A(2，-1) B(-
4、1，2) C(2，-1)，(-1，2) D （分数：4.00）A.B.C.D.13.设 r0在圆 x 2 +y 2 =r 2 属第一象限部分的任意点作圆的切线，切线被两坐标轴截下的线段长度的最小值是_ Ar B C （分数：4.00）A.B.C.D.14.已知双曲线 C的中心在原点，它的一个焦点为 直线 y=x-1与 C交于不同的两点 M，N线段MN中点的横坐标为 则 C的方程为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.15.已知一个圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的全面积和圆锥的全面积之比等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.
5、C.D.16.设 f(x)的定义域是-1，0，则 的定义域是_ A B-1，0 C D （分数：4.00）A.B.C.D.17.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A.y=x-5B.y=2x-7C.y=x+5D.y=2x+718.在区间0，+)内，方程 （分数：4.00）A.无实根B.有且仅有一个实根C.有且仅有两个实根D.有无穷多个实根19.设 y=y(x)由方程 所确定，则 （分数：4.00）A.B.C.D.20.设 f(x)是连续函数，且满足方程 则 （分数：4.00）A.0B.1C.3D.421.抛物线 与其过点 P(-1，0)的切线及 x轴所围图形面积为_ A B C （分
6、数：4.00）A.B.C.D.22.如果 那么 （分数：4.00）A.-6B.-9C.-18D.1823.设 A为 mn矩阵，B 为 nm矩阵，I 为 m阶单位阵若 AB=I，则_（分数：4.00）A.A的秩为 m，B 的秩为 mB.A的秩为 m，B 的秩为 nC.A的秩为 n，B 的秩为 mD.A的秩为 n，B 的秩为 n24.A为 mn矩阵，且 mn，Ax=0 是 Ax=b的导出组，则下述结论正确的_（分数：4.00）A.Ax=b必有无穷多组解B.Ax=0必有无穷多组解C.Ax=0只有零解D.Ax=b必无解25.已知 A是 4阶矩阵，A*是 A的伴随矩阵若 A*的特征值是 1，-1，3，9
7、，则不可逆矩阵是_（分数：4.00）A.A-IB.A+IC.A+2ID.2A+I工程硕士(GCT)数学-170 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1. _ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 所以 2.如果一直角梯形的周长是 54cm，两底之和与两腰之和的比是 2:1，两腰之比是 1:2，那么此梯形的面积为_cm 2 （分数：4.00）A.54B.108 C.162D.216解析：解析 设该梯形的两腰中短的长为 a，两底中短的长为 b因为两腰之比是 1:2，所以另一腰长度为 2a如下图所示，另一
8、底长度为 又两底之和与两腰之和的比是 2:1，所以 即 从而得 已知该梯形周长为 54cm，因此 将 代入，解得 9a=54(cm)，a=6(cm) 该梯形面积为 3.某道路一侧原有路灯 106盏，相邻两盏的距离为 36m现计划全部换为新型节能灯，两灯距离变为70m，共需新型节能灯_盏（分数：4.00）A.54B.55 C.108D.110解析：解析 根据题意，该道路长度为 10536=3780(m)，于是所需新型节能灯数为 4.修整一条水渠，原计划由 16人修，每天工作 7.5h，6 天可以完成任务由于特殊原因，现要求 4天完成，为此又增加了 2人，现在每天要工作的时间为_h（分数：4.00
9、）A.7B.8C.9D.10 解析：解析 设每天要工作 x(h)，则 x满足 167.56=(16+2)x4， 解得 x=10h 故选 D5.某单位招聘员工，报名表来自两个地区，各有 10份和 15份，其中女生的报名表分别有 3份和 7份今随机地选择一个地区，然后从该地区的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设两个地区分别为甲、乙两地，选到甲地的概率为 从甲地的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的概率是 选到乙地的概率为 从乙地的报名表中抽出两份，抽到的两份都是女生报名表的概率是 所求概率为 6.在 （分
10、数：4.00）A.-28B.-56C.28 D.56解析：解析 的展开式中，一般项为 令 得 k=6，所以 x 5 的系数为 7.已知复数 z满足 则|1+z|=_ A0 B1 C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由原式，1-z=i+iz，得 故 所以 8.已知函数 f(x)是定义在 （分数：4.00）A.(-2，0)(0，2)B.(-2，0)(2，+) C.(-，-2)(0，2)D.(-，-2)(2，+)解析：解析 当 x0 时，解 f(x)=x 2 -6x，得 x(-2，0) 因为 f(x)是奇函数，所以当 x0 时，不等式 f(x)x 的解集为(2，+) 故不等式 f(x
11、)x 的解集为(-2，0)(2，+) 故选 B9.若不等式 （分数：4.00）A.(-，0) B.(-，0C.(-，4)D.(0，4)解析：解析 记 10.在数列a n 中，a 1 =1，a 2 =2，且 a n+2 -a n =1+(-1) n (n3 且 （分数：4.00）A.2450B.2500C.2600 D.2750解析：解析 据题设 a 1 =1，a 2 =2，a 3 -a 1 =0，a 4 -a 2 =2，a 99 -a 97 =0，a 100 -a 98 =2所以有 a 1 =a 3 =a 5 =a 99 =1(共 50项) 且 a 2 ，a 4 ，a 100 是一个首项为 2
12、，公差为 2的等差数列，于是 11.已知 则 sinx= A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 故 12.平面直角坐标系中向量的集合 A=a|a=(2，-1)+t(1，-1)，t ， B=b|b=(-1，2)+t(1，2)，t ， 则 AB=_ A(2，-1) B(-1，2) C(2，-1)，(-1，2) D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令平面向量 a的坐标即点 A的坐标，向量的集合与端点 A的集合一一对应题中的集合 A对应于直线 即直线 l 1 ：x+y-1=0 集合 B对应于直线 13.设 r0在圆 x 2 +y 2 =r 2 属第一象限
13、部分的任意点作圆的切线，切线被两坐标轴截下的线段长度的最小值是_ Ar B C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 如下图，设圆上任意点 P(x 0 ，y 0 )其中 x 0 0，y 0 0过 P切线与 OP垂直，切线斜率 切线方程为 即 x 0 x+yy 0 =r 2 切线与 x轴和 y轴分别交于点 利用平均值不等式，有 等号当且仅当 x 0 =y 0 时成立，此时 故选 D 也可利用圆的参数方程 x=rcos，y=rsin，有 当 14.已知双曲线 C的中心在原点，它的一个焦点为 直线 y=x-1与 C交于不同的两点 M，N线段MN中点的横坐标为 则 C的方程为_ A B C
14、D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因双曲线 C的中心在原点，焦点在 x轴，所以设 C： 由焦点坐标知 a 2 +b 2 =7将y=x-1代入 C的方程得 (b 2 -a 2 )x 2 +2a 2 x-a 2 -a 2 b 2 =0 设 M(x 1 ，y 1 )，N(x 2 ，y 2 )，则 而 MN中点横坐标为 15.已知一个圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的全面积和圆锥的全面积之比等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 下图所示为圆锥和圆柱剖面图的一半，设圆柱和圆锥底面半径分别为 r和 R由题设，有O
15、E=OC=r，OA=OB=R，BEDBOA，从而得 所以 R=2r，圆柱全面积 S 1 =2rr+r 2 +r 2 =4r 2 圆锥全面积 所以 16.设 f(x)的定义域是-1，0，则 的定义域是_ A B-1，0 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 f(x)的定义域是-1，0有 即 (1) 及-1sinx0，即 2k-1x2k(k 是整数) (2) 联立(1)式和(2)式解得 17.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A.y=x-5 B.y=2x-7C.y=x+5D.y=2x+7解析：解析 1 由 又因 f(x)是连续函数，故有 所以曲线 f(x)在 x=
16、2处的切线方程为 y-f(2)=f“(2)(x-2)， 即 y+3=x-2，亦即 y=x-5 故选 A 解析 2 作为选择题，可将 f(x)设为四个选项中的一个函数，这个函数满足题设条件即可 由题设 存在，且 ，所以分母的极限一定为 0，即 易观察到 C，D 中 所以不选 C和 D 只需在 A，B 中选择一个函数考查 是否等于 1即可作出选择，比如选择 A中函数 y=x-5，则 18.在区间0，+)内，方程 （分数：4.00）A.无实根B.有且仅有一个实根 C.有且仅有两个实根D.有无穷多个实根解析：解析 设 当 x1 时，f(x)0，所以只需讨论在0，1上的情形f(0)=-10，f(1)=1
17、+sin10，f(x)在0，1上连续，由零点存在定理，f(x)=0 在(0，1)内至少有一个实根 又当 x(0，1)时， 这说明 f(x)在(0，1)内是单调增加的，因此 f(x)=0在(0，1)内只有唯一的一个实根，从而 19.设 y=y(x)由方程 所确定，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 把 x=0代入 中，得 y=1 对方程两边关于 x求导，得 于是得 再对 x求导得 故 20.设 f(x)是连续函数，且满足方程 则 （分数：4.00）A.0B.1 C.3D.4解析：解析 在 中，令 x-t=u，则 dt=-du，而且当 t=0时，u=x；当 t=x时，u=0于是 这
18、样原方程可写为 对上式关于 x求导得 21.抛物线 与其过点 P(-1，0)的切线及 x轴所围图形面积为_ A B C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设切点坐标为 则切线方程为 将 x=-1，y=0 代入此切线方程，解得 x 0 =1，故切点为(1，1)参考下图有 故选 A 22.如果 那么 （分数：4.00）A.-6B.-9C.-18 D.18解析：解析 根据行列式的性质，有 23.设 A为 mn矩阵，B 为 nm矩阵，I 为 m阶单位阵若 AB=I，则_（分数：4.00）A.A的秩为 m，B 的秩为 m B.A的秩为 m，B 的秩为 nC.A的秩为 n，B 的秩为 mD.
19、A的秩为 n，B 的秩为 n解析：解析 因为 AB=I，所以 r(AB)=m由 r(AB)r(A)，r(AB)r(B)知 mr(A)m，mr(B)m，所以 r(A)=m，r(B)=m 故选 A24.A为 mn矩阵，且 mn，Ax=0 是 Ax=b的导出组，则下述结论正确的_（分数：4.00）A.Ax=b必有无穷多组解B.Ax=0必有无穷多组解 C.Ax=0只有零解D.Ax=b必无解解析：解析 由 mn 可得 Ax=0中方程个数小于未知量个数(即 r(A)n)，所以 Ax=0存在非零解，从而Ax=0必有无穷多组解 Ax=b有解 25.已知 A是 4阶矩阵，A*是 A的伴随矩阵若 A*的特征值是 1，-1，3，9，则不可逆矩阵是_（分数：4.00）A.A-IB.A+I C.A+2ID.2A+I解析：解析 由 A*的特征值是 1，-1，3，9 可得|A*|=-27又因|A*|=|A| n-1 ，所以|A| 3 =-27，即|A|=-3 根据性质：如果可逆矩阵 A的特征值是 ，其伴随矩阵 A*的特征值为 *，则有 所以 A有特征值-3，3，-1， 因此，A-I 的特征值为-4，2，-2， 因 A-I的特征值非零，所以 A-I可逆 A+I的特征值为-2，4，0，
