1、工程硕士(GCT)数学-168 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1. _ A B C20 D （分数：4.00）A.B.C.D.2.甲、乙两同学帮助学校图书馆清点一批图书，已知甲同学清点 200 本图书与乙同学清点 300 本图书所用的时间相同，且甲同学平均每分钟比乙同学少清点 10 本，则甲同学平均每分钟清点图书的数量是_本（分数：4.00）A.10B.20C.30D.403.一卡车从甲地驶向乙地，每小时行驶 60km另一卡车从乙地驶向甲地，每小时行驶 55km两车同时出发，在离中点 10km 处相遇，甲乙两地之间的距离为
2、_km（分数：4.00）A.115B.230C.345D.4604.若实数 a，b，c 满足 a+b+c=0，且 abc0，则 （分数：4.00）A.-2B.-1C.1D.25.已知复数 z 满足 （分数：4.00）A.1B.2C.4D.166.设某种证件的号码由 7 位数字组成，每个数字可以是数字 0，1，2，9 中的任一个数字，则证件号码由 7 个完全不同的数字组成的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 和 是二次方程 ax 2 +bx+c=0 的两个根，则 _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.
3、y=f(x)是定义在(-，+)上周期为 4 的函数，且 f(0)=3，f(1)=2，f(2)=4，f(3)=0，则 （分数：4.00）A.0B.4C.-4D.610.在 （分数：4.00）A.144B.216C.256D.51211.一圆的圆心在直线 y=-8 上该圆与坐标轴交于(3，0)和(9，0)点，则圆心到坐标原点的距离为_ A8 B C10 D （分数：4.00）A.B.C.D.12.设 tan 和 tan 是方程 的两个不等的实根，则 + 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.13.设 F 为抛物线 y 2 =2px(p0)的焦点，点 A，B 和 C 均在抛物线上
4、若 _ A3p B4p C （分数：4.00）A.B.C.D.14.已知椭圆的焦点为 F 1 与 F 2 ，两条准线与长轴所在直线交点分别为 M 与 N，若|MN|2|F 1 F 2 |，则椭圆离心率的取值范围为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.15.一个点到圆的最大距离是 12cm，最小距离是 8cm，则圆的半径是_cm（分数：4.00）A.2B.10C.2 或 10D.4 或 2016.设函数 y=f(x)由方程 xy+lny=1 确定，则 _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.17.f(x)为可导函数，它在 x=0 的某邻域内满足 f(1+x)-2f(
5、1-x)=3x+o(x)，其中 o(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小量，则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为_（分数：4.00）A.y=x+2B.y=x+1C.y=x-1D.y=x-218. _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.19.f(x)在(-，+)上连续，且 f(x)0，则 （分数：4.00）A.在(-，+)上单调增加B.在(-，+)上单调减少C.在(-，0)上单调增加，在(0，+)上单调减少D.在(-，0)上单调减少，在(0，+)上单调增加20.已知 xlnx 是 f(x)的一个原函数，且 则 a=_ A B C1 D （分数：4.00）A.B.C.D
6、.21.曲线 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成的面积可表示为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.22.若行列式 的元素 a 21 的代数余子式 A 21 =10，则 a 的值等于_ A0 B-3 C （分数：4.00）A.B.C.D.23.已知 A=B 2 -B，其中 （分数：4.00）A.0B.1C.n-1Dn24.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则必有_（分数：4.00）A.1，2，1 线性相关B.1，2，1 线性无关C.1，2，2 线性相关D.1，2，2
7、 线性无关25.设 A 是 n 阶方阵，且|A|0若 是 A 的一个特征值，则 A -1 +A*有一个特征值为_ A.(1+|A|) B. -1(1+|A|) C.(1+|A|) -1 D. -1(1+|A|)-1（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-168 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1. _ A B C20 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 2.甲、乙两同学帮助学校图书馆清点一批图书，已知甲同学清点 200 本图书与乙同学清点 300 本图书所用的时间相同，且甲同学平均每分钟比乙同
8、学少清点 10 本，则甲同学平均每分钟清点图书的数量是_本（分数：4.00）A.10B.20 C.30D.40解析：解析 设甲同学平均每分钟清点图书 x 本，则乙同学平均每分钟清点图书 x+10 本，依题意，得 3.一卡车从甲地驶向乙地，每小时行驶 60km另一卡车从乙地驶向甲地，每小时行驶 55km两车同时出发，在离中点 10km 处相遇，甲乙两地之间的距离为_km（分数：4.00）A.115B.230C.345D.460 解析：解析 相遇时从甲地开往乙地的卡车比从乙地驶向甲地的卡车多走 102=20km，两车速度相差5km/h，因此相遇时两车各走了 205=4(h)两车相向而行，各走 4h
9、 相遇，因此甲、乙两地之间距离为(60+55)4=460(km) 故选 D4.若实数 a，b，c 满足 a+b+c=0，且 abc0，则 （分数：4.00）A.-2 B.-1C.1D.2解析：解析 因为 a+b+c=0，abc0，所以实数 a，b，c 中有一个正数、两个负数不妨设 a0，则 5.已知复数 z 满足 （分数：4.00）A.1 B.2C.4D.16解析：解析 在 两边取模，得 即 6.设某种证件的号码由 7 位数字组成，每个数字可以是数字 0，1，2，9 中的任一个数字，则证件号码由 7 个完全不同的数字组成的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析
10、 所有不同号码的号码数目是 10 7 ，即基本事件的总数，其中 7 个数字完全不相同的排列数是 7.函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 函数 的定义域是1，+)，值域也是1，+)由 8.设 和 是二次方程 ax 2 +bx+c=0 的两个根，则 _ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由根与系数的关系知， 故 9.y=f(x)是定义在(-，+)上周期为 4 的函数，且 f(0)=3，f(1)=2，f(2)=4，f(3)=0，则 （分数：4.00）A.0B.4C.-4D.6 解析：解析 因-12=(-3)4+0，10=24+2，5=4+1，-1=(-
11、1)4+3，而 f(x)是周期为 4 的周期函数，所以 f(-12)=f(0)=3，f(10)=f(2)=4， f(5)=f(1)=2，f(-1)=f(3)=0 从而得 10.在 （分数：4.00）A.144B.216 C.256D.512解析：解析 这 5 个数成等比数列，设其公比为 q不妨设插入的 3 个数为 a，aq，则有 所以 a 为正数，且 11.一圆的圆心在直线 y=-8 上该圆与坐标轴交于(3，0)和(9，0)点，则圆心到坐标原点的距离为_ A8 B C10 D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 A(3，0)，B(9，0)AB 是圆的一条弦，圆心在此弦的垂直平分
12、线 x=6 上所以圆心坐标为(6，-8)，它到原点距离为 12.设 tan 和 tan 是方程 的两个不等的实根，则 + 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由二次方程根与系数的关系有 (*) tantan=4， (*) 所以 (*) 由条件可推出 +(-，)，似乎 A，B，C 都有可能但由(*)式知，tan 和 tan 同号，即 和 同属 或同属 后者和(*)式矛盾所以 13.设 F 为抛物线 y 2 =2px(p0)的焦点，点 A，B 和 C 均在抛物线上若 _ A3p B4p C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 抛物线 y 2 =2px
13、 的焦点为 准线方程为 设 A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，C(x C ，y C )，由 投影到 x 轴有 即 由抛物线的定义有 14.已知椭圆的焦点为 F 1 与 F 2 ，两条准线与长轴所在直线交点分别为 M 与 N，若|MN|2|F 1 F 2 |，则椭圆离心率的取值范围为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设椭圆为 则长轴在 x 轴，焦点为 F 1 (-c，0)，F 2 (c，0)，准线为 所以 |MN|2|F 1 F 2 |， 15.一个点到圆的最大距离是 12cm，最小距离是 8cm，则圆的半径是_cm（分数：4.00）A.2B.
14、10C.2 或 10 D.4 或 20解析：解析 点到圆的最小距离是 8cm，因此点不在圆周上，如下图所示当点在圆外时，圆直径等于点到圆的最大距离减去最小距离，因此圆直径为 12cm-8cm=4cm，半径为 2cm当点在圆内时，圆直径等于点到圆的最大距离加上最小距离，因此圆直径为 12cm+8cm=20cm，半径为 10cm，所以圆半径为 2cm 或10cm 故选 C 16.设函数 y=f(x)由方程 xy+lny=1 确定，则 _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 观察方程 xy+lny=1 可得当 x=1 时 y=1 对方程 xy+lny=1 两边对 x 求导
15、，得 把 x=1，y=1 代入其中得 而 17.f(x)为可导函数，它在 x=0 的某邻域内满足 f(1+x)-2f(1-x)=3x+o(x)，其中 o(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小量，则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为_（分数：4.00）A.y=x+2B.y=x+1C.y=x-1 D.y=x-2解析：解析 由 有 f(1)=0 另一方面 18. _ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 0x1，所以 令 f“(x)=0，得 而 f“(x)=2x，故 由取得极值的必要条件、充分条件及取得拐点的必要条件， 是 f(x)的极值点 19.f(x)在(-
16、，+)上连续，且 f(x)0，则 （分数：4.00）A.在(-，+)上单调增加 B.在(-，+)上单调减少C.在(-，0)上单调增加，在(0，+)上单调减少D.在(-，0)上单调减少，在(0，+)上单调增加解析：解析 因 f(x)0，当 x0 时， 所以 当 x0 时， 所以， 20.已知 xlnx 是 f(x)的一个原函数，且 则 a=_ A B C1 D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由题设(xlnx)“=f(x)，所以 即 所以 21.曲线 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成的面积可表示为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析
17、当 0x 或 2x3 时 y0；当 x2 时，y0所以 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴围成的面积为 22.若行列式 的元素 a 21 的代数余子式 A 21 =10，则 a 的值等于_ A0 B-3 C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 23.已知 A=B 2 -B，其中 （分数：4.00）A.0B.1 C.n-1Dn解析：解析 由于 A=B 2 -B=B(B-I)，而 r(B)=n，r(B-I)=1， 所以 r(A)=r(B-I)=1 故选 B24.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，向量 2 不能由 1 ， 2
18、 ， 3 线性表出，则必有_（分数：4.00）A.1，2，1 线性相关B.1，2，1 线性无关C.1，2，2 线性相关D.1，2，2 线性无关 解析：解析 1 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，只能断定向量组 1 ， 2 ， 3 ， 1 线性相关，不能确定 1 ， 2 ， 1 是否线性相关和线性无关例如 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，1，0) T ， 3 =(0，0，1) T ，当 1 =(0，0，2) T 时， 1 ， 2 ， 1 线性无关，当 1 =(2，0，0) T 时， 1 ， 2 ， 1 线性相关，因此不选 A 和 B 又设 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0
19、，1，0，0) T ， 3 =(0，0，1，0) T ， 2 =(0，0，0，1) T ，则 1 ， 2 ， 2 线性无关，因此不选 C，由排除法选 D 事实上，因 1 ， 2 ， 3 线性无关， 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，所以 1 ， 2 ， 3 ， 2 线性无关，从而部分组 1 ， 2 ， 2 线性无关 故选 D25.设 A 是 n 阶方阵，且|A|0若 是 A 的一个特征值，则 A -1 +A*有一个特征值为_ A.(1+|A|) B. -1(1+|A|) C.(1+|A|) -1 D. -1(1+|A|)-1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 是 A 的一个特征值，所以 是 A -1 的一个特征值又因为 A*=|A|A -1 ，所以 是 A*的一个特征值，从而矩阵 A -1 +A*有一个特征值为
