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    【考研类试卷】工程硕士(GCT)数学-112及答案解析.doc

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    【考研类试卷】工程硕士(GCT)数学-112及答案解析.doc

    1、工程硕士(GCT)数学-112 及答案解析(总分:94.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择(总题数:25,分数:94.00)1. (分数:1.00)A.B.C.D.2. (分数:4.00)A.B.C.D.3.计算(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 64 +1)+1= _ A.2128-1 B.2128 C.2128+1 D.2128+2(分数:4.00)A.B.C.D.4.48 支足球队,等分为 8 组进行初赛,每组中的各队之间都要比赛一场,初赛中比赛的总场数是 _ (分数:4.00)A.288B.240C.120D.485. (分数:4.00)A.B.C.D.6.设 (分数

    2、:4.00)A.无穷大量B.无穷小量C.常数D.极限不存在7. (分数:4.00)A.B.C.D.8.设 (分数:4.00)A.-6B.-6ln2C.6ln2D.69.若 (分数:4.00)A.a=3B.a3C.a=0D.a010.设 A、B 均是 n 阶矩阵,则(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充分必要条件是 _ 。(分数:4.00)A.A=EB.B=0C.AB=BAD.A=B11.由动点 P 向圆 x 2 +y 2 =2 引两条切线 PA,PB,切点分别为 A 和 B,且APB=60,则动点 P 轨迹为 _ 。(分数:4.00)A.椭圆B圆C.双曲线D.抛物线12.如图 31

    3、所示,正方形 ABCD 的面积为 1,E 和 F 分别是 AB 和 BC 的中点,则图中阴影部分面积为 _ (分数:4.00)A.B.C.D.13.若(a m+1 b n+2 )(a 2n-1 b 2m )=a 5 b 3 ,则 m+n 的值为 _ 。(分数:4.00)A.1B.2C.3D.-314.函数 y=x 2 +bx+cx0,+)是单调函数的充要条件是 _ 。(分数:4.00)A.b0B.b0C.b0D.b015.已知复数 z 的辐角主值 ,虚部 ,则 z 2 = _ (分数:4.00)A.B.C.D.16.某厂加工一批零件,甲车间加工这批零件的 20%,乙车间加工剩下的 25%,丙车

    4、间加工再余下的 40%,还剩 3600 个零件没有加工,这批零件一共有 _ (分数:4.00)A.9000 个B.9500C.9800 个D.10000 个17.如图,将边长分别为 的正方形纸片从左到右顺次摆放,其对应的正方形的中心依次为 A 1 ,A 2 ,A 3 ,若摆放前 n(n2)个正方形纸片,则图中被遮盖的线段(虚线部分)长度之和为 _ 。 (分数:4.00)A.B.C.D.18.若 a,b,c 成等比数列,a,x,b 和 b,y,c 都成等差数列,且 xy0,则 (分数:4.00)A.1B.2C.3D.419.若一个首项为正数的等差数列,前 3 项和与前 11 项和相等,则这个数列

    5、前 n 项和中最大的是 _ 。(分数:4.00)A.前 4 项和B.前 5 项和C.前 6 项和D.前 7 项和20.已知复数 z 满足 ,则|1+z|= _ A0 B1 C (分数:4.00)A.B.C.D.21. (分数:1.00)A.B.C.D.22.若函数 y=1-2cosx-2sin 2 x 的值域为a,b,则 b 2 +4a 的值为 _ 。(分数:4.00)A.1B.2C.3D.423.直线 ax-by=0 与圆 x 2 +y 2 -ax+by=0(a,b0)的位置关系是 _ (分数:4.00)A.相交B.相切C.相离D.由 a,b 的值而定24. (分数:4.00)A.B.C.D

    6、.25.甲、乙、丙 3 人合买一份礼物,他们商定按年龄比例分担费用若甲的年龄是乙的一半,丙的年龄为甲年龄的三分之一,而甲、乙共花费了 225 元,则这份礼物的售价是 _ 元(分数:4.00)A.250B.265C.270D.275工程硕士(GCT)数学-112 答案解析(总分:94.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择(总题数:25,分数:94.00)1. (分数:1.00)A. B.C.D.解析:2. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:3.计算(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 64 +1)+1= _ A.2128-1 B.2128 C.2128+1 D.2128+2

    7、(分数:4.00)A.B. C.D.解析:(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 64 +1)=(2 2 -1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 64 +1)=(2 4 -1)(2 4 +1)(2 64 +1)=2 128 -1。 可得 (2+1)(2 2 +1)(2 64 +1)=2 128 -1, (2+1)(2 2 +1)(2 64 +1)+1=2 128 故应选 B4.48 支足球队,等分为 8 组进行初赛,每组中的各队之间都要比赛一场,初赛中比赛的总场数是 _ (分数:4.00)A.288B.240C.120 D.48解析:分为 8 组,每组有 6 个球队,在每组中,要举

    8、行 5+4+3+2+1=15 场比赛,8 组,则要进行 158=120场比赛,选(C) 注意 不是任意两组比赛,因此在分组时不考虑排列组合5. (分数:4.00)A.B. C.D.解析:6.设 (分数:4.00)A.无穷大量B.无穷小量 C.常数D.极限不存在解析:解析 f(x+x)=f(x)+f“(x)x+0(x),y=f“(x)x+0(x),所以7. (分数:4.00)A.B. C.D.解析:,选(B)8.设 (分数:4.00)A.-6B.-6ln2C.6ln2D.6解析:解析 令 则当 x=0 时,u=-1,于是 把 x=0,u=-1 代入上式,得 9.若 (分数:4.00)A.a=3B

    9、.a3C.a=0D.a0 解析:由|E-A|=0,即 =(-2)(-3) 2 =0,求得 A 的三个特征值为 1 =2, 2 =入 3 =3 对于 A 的一重特征值 1 =2,矩阵 A 只有一个属于 1 的线性无关的特征向量 对于 A 的二重特征值 2 = 3 =3矩阵 A 可能有一个或两个属于 =3 的特征向量但 A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的而据题意,A 共有两个线性无关的特征向量因此对于 =3,矩阵 A 只可能有一个属于它的线性无关的特征向量 这样三元方程组(3E-A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解因此 r(3E-A)=2 10.设 A、B 均是 n 阶矩阵,则(A

    10、+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充分必要条件是 _ 。(分数:4.00)A.A=EB.B=0C.AB=BA D.A=B解析:解析 矩阵运算与代数运算的差异主要有两点,即不满足交换律与消去律。换句话说,一般地, 11.由动点 P 向圆 x 2 +y 2 =2 引两条切线 PA,PB,切点分别为 A 和 B,且APB=60,则动点 P 轨迹为 _ 。(分数:4.00)A.椭圆B圆 C.双曲线D.抛物线解析:解析 如题 11 图所示,圆半径为 ,直角PAO 中 ,APO=30,故 ,即动点 P 到原点距离为常数 ,其轨迹为圆 x 2 +y 2 =8。 故选(B)。 12.如图 31 所示,

    11、正方形 ABCD 的面积为 1,E 和 F 分别是 AB 和 BC 的中点,则图中阴影部分面积为 _ (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 因 E,F 分别为 AB,BC 的重点,所以 DE 和 DF 交 AC 于 M,N 等分 AC,故 S AMD =S DMN =S DNC (等底等高), , 13.若(a m+1 b n+2 )(a 2n-1 b 2m )=a 5 b 3 ,则 m+n 的值为 _ 。(分数:4.00)A.1B.2 C.3D.-3解析:解析 由(a m+1 b n+2 )(a 2n-1 b 2m )=a 5 b 3 得 a m+2n b 2m+n+2 =a 5

    12、b 3 14.函数 y=x 2 +bx+cx0,+)是单调函数的充要条件是 _ 。(分数:4.00)A.b0 B.b0C.b0D.b0解析:解析 函数 y=x 2 +bx+c 的图像是以直线 为对称轴的抛物线,故该函数在区间0, +)上是单调函数的充要条件为:函数图像的对称轴与 x 轴的交点不是区间(0,+)上的点,即 15.已知复数 z 的辐角主值 ,虚部 ,则 z 2 = _ (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 设 ,则 ,所以16.某厂加工一批零件,甲车间加工这批零件的 20%,乙车间加工剩下的 25%,丙车间加工再余下的 40%,还剩 3600 个零件没有加工,这批零件一共

    13、有 _ (分数:4.00)A.9000 个B.9500C.9800 个D.10000 个 解析:(1-25%)(1-40%)=0.8 0.6=0.36,总零件17.如图,将边长分别为 的正方形纸片从左到右顺次摆放,其对应的正方形的中心依次为 A 1 ,A 2 ,A 3 ,若摆放前 n(n2)个正方形纸片,则图中被遮盖的线段(虚线部分)长度之和为 _ 。 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:根据对称性,后一个正方形遮盖的线段长恰好是前一个正方形周长的 ,即其边长摆放前 n 个正方形纸片所遮盖的线段长度之和为 18.若 a,b,c 成等比数列,a,x,b 和 b,y,c 都成等差数列,且 x

    14、y0,则 (分数:4.00)A.1B.2 C.3D.4解析:显然有 b 2 =ac,a+b=2x,b+c=2y,则有 19.若一个首项为正数的等差数列,前 3 项和与前 11 项和相等,则这个数列前 n 项和中最大的是 _ 。(分数:4.00)A.前 4 项和B.前 5 项和C.前 6 项和D.前 7 项和 解析:解析 由 S 3 =S 11 得,a 4 +a 5 +a 11 =0 即(a 1 +3d)+(a 1 +4d)+(a 1 +10d)=0 8a 1 +52d=0 a 1 =-6.5d 可列出前 n 项和的表达式: 又因为 d0,故当 n=7 时,S n 取得最大值 20.已知复数 z

    15、 满足 ,则|1+z|= _ A0 B1 C (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 由原式,1-z=i+iz,得 故 ,所以 21. (分数:1.00)A.B. C.D.解析:22.若函数 y=1-2cosx-2sin 2 x 的值域为a,b,则 b 2 +4a 的值为 _ 。(分数:4.00)A.1B.2C.3 D.4解析:解析 23.直线 ax-by=0 与圆 x 2 +y 2 -ax+by=0(a,b0)的位置关系是 _ (分数:4.00)A.相交B.相切 C.相离D.由 a,b 的值而定解析:解析 由圆 x 2 +y 2 -ax+by=0(a,b0),知圆心坐标为 ,半径 r= 则圆心到直线 ax-by=0 的距离 24. (分数:4.00)A.B.C. D.解析:25.甲、乙、丙 3 人合买一份礼物,他们商定按年龄比例分担费用若甲的年龄是乙的一半,丙的年龄为甲年龄的三分之一,而甲、乙共花费了 225 元,则这份礼物的售价是 _ 元(分数:4.00)A.250 B.265C.270D.275解析:设甲的年龄为 x,则乙、丙的年龄为 2x 和 x/3,所以丙的年龄为甲乙之和的 x/9,所以丙出的钱应为 225/9=25 元,故物品的售价为 250 元,选(A)


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