1、工程硕士(GCT)数学-10 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.齐次线性方程组 AmnXn1=0 有非零解的充要条件是( )（分数：4.00）A.r()nB.r()nC.r()mD.r()m2.从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.若 A 为 n 阶矩阵，且 A3=0，则矩阵(E-A) -1=( )（分数：4.00）A.E-A+A2B.E+A+A2C.E+A-A2D.E-A-A2
2、4.将一个能被 4 整除的三位数 ABC 逆序排列之后得到一个新的三位数 CBA，已知 CBA 是 45 的倍数，那么ABC 最小可以是( )（分数：4.00）A.405B.504C.540D.4505.一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27，则公差 d 的值为( )（分数：4.00）A.3B.4C.5D.66.函数 y=ln(1+x2)的单调增加且图形为凹的区间是( )（分数：4.00）A.(-，-1)B.(-1，0)C.(0，1)D.(1，+)7.两个正整数甲数和乙数的最大公约数是 6，最小公倍数是 90如果甲数是 18，那么乙数是
3、 m，则 m 的各个数位之和为( )（分数：4.00）A.2B.3C.4D.58.复数 Z 满足条件|z+i|+|z-i|=4，与复数 Z 对应的点的图形是（分数：4.00）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线9.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.10.已知三个不等式：x 2-4x+30，x 2-6x+80，2x 2-9x+m0，要使满足和的所有 x 都满足，则实数 m 的取值范围是( )（分数：4.00）A.m9B.m9C.0m9D.m911.设 A 为 3 阶矩阵，已知 I+A，3I-A，I-3A 均不可逆，则 A 一定相似于矩阵( )（分数：4.00）A.B.C.D.12.关于 x
4、的方程 （分数：4.00）A.B.C.D.13.若对任意 xR，不等式|x|ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )（分数：4.00）A.a-1B.|a|1C.|a|1D.a114.已知(1+ax) 7的展开式中，所有项的系数和为 128，则 a=( )（分数：4.00）A.-1B.4C.1D.215.设向量组 1， 2， m的秩为 3，则( )（分数：4.00）A.任意三个向量线性无关B. 1， 2， m中无零向量C.任意四个向量线性相关D.任意两个向量线性无关16.设 ，则当 x=0 时，一定是无穷小量的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.17.一个班级数学测验的平均分为 80
5、分，其中两个新进来的学生成绩分别是 70 分和 60 分，若扣除这两个新来的学生得分，这个班的平均分可达到 81 分，则这个班(包含两名新来的学生)有( )名学生（分数：4.00）A.26B.28C.30D.3218.如图 65，已知边长为 8 的正方形 ABCD，E 为 AD 的中点，P 为 CE 的中点，BDP 的面积为( )（分数：4.00）A.B.C.D.19.在(-，)内函数 （分数：4.00）A.B.C.D.20.光线从点 A(3，3)射到 y 轴以后，冉反射剑点 B(1，0)，则这条光线从 A 到 B 经过的路线长度为( )（分数：4.00）A.5B.4C.3D.621.把 x0
6、 +时的无穷小量 = （分数：4.00）A.B.C.D.22.要得到函数 的图像，只需将函数 的图像上所有的点的( )（分数：4.00）A.B.C.D.23.一种细胞每三分钟分裂一次(一个分裂为两个)，把一个这种细胞放入一个容器内，恰好一小时充满容器；如果开始时把两个这种细胞放入该容器内，那么细胞充满容器的时间为( )（分数：4.00）A.57 分钟B.30 分钟C.27 分钟D.45 分钟24.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线 y=x-1 与其相交于 M，N 两点，MN 的中点的横坐标为 ，则该双曲线的方程为( )（分数：4.00）A.B.C.D.25.设 f(x)是连续可导函数，
7、且 f(2)=-1， ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-10 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.齐次线性方程组 AmnXn1=0 有非零解的充要条件是( )（分数：4.00）A.r()n B.r()nC.r()mD.r()m解析：解析 显然，mn 时，r(A)n 即可保证 AmnXn1=0 非零解；若 mn，则方程个数小于未知数个数，显然有非零解，选(A)2.从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率
8、为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 三张都不相同的取法有*，故至少两张价格相同的概率为*=*，选(D)3.若 A 为 n 阶矩阵，且 A3=0，则矩阵(E-A) -1=( )（分数：4.00）A.E-A+A2B.E+A+A2 C.E+A-A2D.E-A-A2解析：解析 由 E-A3=E*(E-A)(A2+A+E)=E，所以(E-A) -1=E+A+A2，选(B)4.将一个能被 4 整除的三位数 ABC 逆序排列之后得到一个新的三位数 CBA，已知 CBA 是 45 的倍数，那么ABC 最小可以是( )（分数：4.00）A.405B.504 C.540D.450解析：解析 验
9、证法，只有 B 选项符合题意，故选(B)。5.一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27，则公差 d 的值为( )（分数：4.00）A.3B.4C.5 D.6解析：解析 根据题意，有*，S 偶 =192，S 偶 -S 奇 =6d=30，所以 d=5，选(C)6.函数 y=ln(1+x2)的单调增加且图形为凹的区间是( )（分数：4.00）A.(-，-1)B.(-1，0)C.(0，1) D.(1，+)解析：解析 求导*时函数单调增加；*时，函数凹；取交集，得到：x(0，1)，选(C)7.两个正整数甲数和乙数的最大公约数是 6，最小公倍数是 9
10、0如果甲数是 18，那么乙数是 m，则 m 的各个数位之和为( )（分数：4.00）A.2B.3 C.4D.5解析：解析 根据结论：两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积则它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为 69=540，则乙数为 54018=30故乙的各个数之和为 3，所以选(B)8.复数 Z 满足条件|z+i|+|z-i|=4，与复数 Z 对应的点的图形是（分数：4.00）A.圆B.椭圆 C.双曲线D.抛物线解析：解析 满足|z+i|+|z-i|=4 的点表示焦点为(0，-1)、(0，1)，长半轴为 a=2 的椭圆，选(B)9.曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析
11、：解析 *，所以 x=0 是一条垂直渐近线；而 x=-1、x=2 不是垂直渐近线；*，所以*是一条水平渐近线，选(C)10.已知三个不等式：x 2-4x+30，x 2-6x+80，2x 2-9x+m0，要使满足和的所有 x 都满足，则实数 m 的取值范围是( )（分数：4.00）A.m9B.m9C.0m9D.m9 解析：解析 解得 1x3，解得 2x4，所以满足和的 z 的范围是 2x3，而的范围是*，故应有*，解得 m9，选(D)11.设 A 为 3 阶矩阵，已知 I+A，3I-A，I-3A 均不可逆，则 A 一定相似于矩阵( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 I+A，3I-
12、A，I-3A 均不可逆，A 的特征值为-1，*，3，选(D)12.关于 x 的方程 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据*，有 x2，即方程可化简为*=x，x=3，选(D)13.若对任意 xR，不等式|x|ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )（分数：4.00）A.a-1B.|a|1 C.|a|1D.a1解析：解析 若 x0，则 xax，即 a1；若 x0，则-xax，即 a-1，从而|a|1，选(B)14.已知(1+ax) 7的展开式中，所有项的系数和为 128，则 a=( )（分数：4.00）A.-1B.4C.1 D.2解析：解析 (1+az) 7=b7x7+b6x6
13、+b5x5+b1x+b0=128，令 x=1，(1+a) 7=128*a=1，选(C)15.设向量组 1， 2， m的秩为 3，则( )（分数：4.00）A.任意三个向量线性无关B. 1， 2， m中无零向量C.任意四个向量线性相关 D.任意两个向量线性无关解析：解析 A 选项，不一定是任意三个向量；B 选项，如(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)；D 选项，如(1，0，0)，(2，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)选(C)16.设 ，则当 x=0 时，一定是无穷小量的是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 A、D 选项明显不对B 选项，*；C
14、选项，若*，则*，不一定是无穷小量，选(B)17.一个班级数学测验的平均分为 80 分，其中两个新进来的学生成绩分别是 70 分和 60 分，若扣除这两个新来的学生得分，这个班的平均分可达到 81 分，则这个班(包含两名新来的学生)有( )名学生（分数：4.00）A.26B.28C.30D.32 解析：解析 设这个班有 x 人，则 80x=81(x-2)+70+60，解得 x=32，选(D)18.如图 65，已知边长为 8 的正方形 ABCD，E 为 AD 的中点，P 为 CE 的中点，BDP 的面积为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 连结 BE，BEC 的面积=*正方形
15、ABCD 的面积=*BPC 的面积=*BEC 的面积=16；CDE 的面积=*CDP 的面积=*CDE 的面积=*而ABD 的面积=*故BDP 的面积=正方形 ABCD 的面积-ABD 的面积-BPC 的面积-DPC 的面积=64-32-16-8=8(平方单位)，选(C)19.在(-，)内函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由函数*得 x=0，*，所以 x=0 为可去间断点；*，所以*为可去间断点故共 3 个，选(D)20.光线从点 A(3，3)射到 y 轴以后，冉反射剑点 B(1，0)，则这条光线从 A 到 B 经过的路线长度为( )（分数：4.00）A.5 B.4C.3D
16、.6解析：解析 A 关于 y 轴的对称点为 A(-3，3)，所以光走过的距离为 AB=*=5，选(A)21.把 x0 +时的无穷小量 = （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *， 是 的高阶无穷小；同理*， 是 的高阶无穷小，选(B)22.要得到函数 的图像，只需将函数 的图像上所有的点的( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *，显然*经过横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动*个单位长度即可，选(C)23.一种细胞每三分钟分裂一次(一个分裂为两个)，把一个这种细胞放入一个容器内，恰好一小时充满容器；如果开始时把两个这种细胞放入该容器内，那么细胞充
17、满容器的时间为( )（分数：4.00）A.57 分钟 B.30 分钟C.27 分钟D.45 分钟解析：解析 设放两个细胞充满容器的时间为 x，则*，解得 x=57，选(A)24.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线 y=x-1 与其相交于 M，N 两点，MN 的中点的横坐标为 ，则该双曲线的方程为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设双曲线方程为*，焦点为*，则有*；双曲线与 y=x-1 交点的中点横坐标为*，即若 x1和 x2是方程*的两个根，有*，从而解得 a2=3，b 2=5，选(B)25.设 f(x)是连续可导函数，且 f(2)=-1， ，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *，选(C)
