1、工程硕士(GCT)数学-109 及答案解析(总分：91.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择/B(总题数：25，分数：91.00)1.与直线 x+y-2=0 和曲线 x2+y2-12x-12y+54=0 都相切，且半径最小的圆的标准方程是( ) A. (x-2)2+(y-2)2=2 B. (x-2)2+(y+2)2=4 C. (x-2)2+(y+2)2=2 D. (x+2)2+(y-2)2=4（分数：4.00）A.B.C.D.2.方程 lg(x2+11x+8)-lg(x+1)=1 的解为U /U。 A.x=1 B.x=-2 C.x=1 或 x=-2 D.x=-1（分数：4.00）A.B.
2、C.D.3.长方体的全面积为 11，12 条棱长度之和为 24，则该长方体的一条对角线的长度为U /U。 AB （分数：4.00）A.B.C.D.4.一个长方形的对角线长为 （分数：4.00）A.B.C.D.5. （分数：4.00）A.B.C.D.6. （分数：4.00）A.B.C.D.7. （分数：1.00）A.B.C.D.8.已知 x1，x 2是方程 4x2-(3m-5)x-6m2=0 的两实根，且 （分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：1.00）A.B.C.D.11.f(x)在(-，+)上连续，且满足 则 为U /U （分数：4.00）
3、A.B.C.D.12.某公司聘请 6 名信息员，假定每个信息员提供的正确信息的概率均为 0.6，并按超过一半信息员提供的信息作为正确的决策，求公司能作出正确决策的概率U /U A. 0.046656 B. 0.186624 C. 0.31104 D. 0.54432（分数：4.00）A.B.C.D.13. （分数：1.00）A.B.C.D.14. （分数：4.00）A.B.C.D.15. （分数：4.00）A.B.C.D.16.设 是三维列向量， T是 的转置，若 （分数：4.00）A.B.C.D.17. （分数：4.00）A.B.C.D.18.下列不等式中成立的是U /U。 A.sin1si
4、n4 B.cos1cos4 C.tan1tan4 D.cot1cot4（分数：4.00）A.B.C.D.19.若甲以 10 发 8 中，乙以 10 发 6 中，丙以 10 发 7 中的命中率打靶，3 人各射击一次，则 3 人中只有 1人命中的概率为U /U。 （分数：4.00）A.B.C.D.20.对任意实数 x，恒有U /U （分数：4.00）A.B.C.D.21.设 （分数：4.00）A.B.C.D.22.矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.23. （分数：4.00）A.B.C.D.24.曲线 与直线 x=-2，x=2 及 x 轴所围成的平面图形的面积为U /U （分数：4.00）A.
5、B.C.D.25.若函数 （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-109 答案解析(总分：91.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择/B(总题数：25，分数：91.00)1.与直线 x+y-2=0 和曲线 x2+y2-12x-12y+54=0 都相切，且半径最小的圆的标准方程是( ) A. (x-2)2+(y-2)2=2 B. (x-2)2+(y+2)2=4 C. (x-2)2+(y+2)2=2 D. (x+2)2+(y-2)2=4（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 显然满足条件的圆一定在点(6，6)到直线 x+y-2=0 上的垂线段上，垂线的方程为 y=x
6、，该直线与圆的交点为(3，3)、(9，9)，与另一直线的交点为(1，1)，所以所求的圆的圆心是(2，2)，半径为*，即(x-2) 2+(y-2)2=2，选(A)2.方程 lg(x2+11x+8)-lg(x+1)=1 的解为U /U。 A.x=1 B.x=-2 C.x=1 或 x=-2 D.x=-1（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 原方程化为 lg(x2+11x+8)=lg10(x+1)由对数函数的单调性，得 x2+11x+8=10x+10，即 x2+x-2=0解得 x1=-2，x 2=1，再检验，x=-2 时lg(x+1)无意义，故方程的解为 x=1。故正确答案为 A。3.长方体
7、的全面积为 11，12 条棱长度之和为 24，则该长方体的一条对角线的长度为U /U。 AB （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设长方体的棱长为 a、b、c，则 4(a+b+c)=24，2(ab+bc+ac)=11。 故*。4.一个长方形的对角线长为 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设三棱长分别为 a，b，c，则根据题意有*，所以(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac*a+b+c=6，从而棱长之和为 4(a+b+c)=24选(B)5. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*6. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*7. （分数：
8、1.00）A.B.C.D. 解析：*8.已知 x1，x 2是方程 4x2-(3m-5)x-6m2=0 的两实根，且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：因为*所以 x1，x 20 又因*(依题意 m0)则*得*因为*所以解出*于是*整理得 m2-6m+5=0，则 m=1 或 5当 m=1 时，有 2x2+x-3=0；当 m=5 时，有 2x2-5x-75=0因为二者的判别式均大于零所以 m=1 或 m=5 为所求，选(D)9. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*10. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：*11.f(x)在(-，+)上连续，且满足 则 为U /U （分数：
9、4.00）A.B.C. D.解析：解析 对*两边求导，得 f(x)=2x3，则*=2x 2，所以*，选(C)12.某公司聘请 6 名信息员，假定每个信息员提供的正确信息的概率均为 0.6，并按超过一半信息员提供的信息作为正确的决策，求公司能作出正确决策的概率U /U A. 0.046656 B. 0.186624 C. 0.31104 D. 0.54432（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于每个信息员提供的信息相互独立，所以有三种情况，一种，有四个提供正确信息为*(0.6)4(0.4)2；第二种，有五个提供正确信息为*(0.6) 5(0.4)；第三种，六个都提供正确信息为*，故共有*
10、选(D)13. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*14. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*15. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*16.设 是三维列向量， T是 的转置，若 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *，所以 T=6，选(B)17. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*18.下列不等式中成立的是U /U。 A.sin1sin4 B.cos1cos4 C.tan1tan4 D.cot1cot4（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于*，而*，则 sin10，sin40，cos10，cos40，从而否定 A 和 B。 又t
11、an4=tan(4-)，cot4=cot(4-)，且 4-1，于是 tan(4-)tan1，从而否定 C。 cot(4 一 )cot1，故选 D。19.若甲以 10 发 8 中，乙以 10 发 6 中，丙以 10 发 7 中的命中率打靶，3 人各射击一次，则 3 人中只有 1人命中的概率为U /U。 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 记“甲命中”为事件 A，“乙命中”为事件 B，“丙命中”为事件 C，则“3 人中只有 1 人命中”为事件*是相斥事件，且 A，B，*均为相互独立事件，故所求概率为 * 故 B 为正确答案。20.对任意实数 x，恒有U /U （分数：4.00）A.B.
12、C. D.解析：取 x=1 代入 A 和 D 中，分别得出错误结论*，因此不选 A 和 D。取 x=-1 代入 B 中，得出错误结论 e0，因此不选 B；由排除法，选 C。事实上可以证明 C 是正确的设f(x)=e-x-1+x，x(-,+)令 f(x)=-e -x+1=0，得 x=0而 f(x)=e -x，故 f(0)=10所以 x=0 是惟一的极小值点，因此也是最小值点最小值为 f(0)=0，于是对一切 x，有 f(x)=ex-1+xf(0)=0，故选 C21.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 * 当 x0 时，F“(x)0；当 x0 时，F“(x)0； 所以曲线 F(x)
13、在(-，0)内是凸的；在(0，+)内是凹的故选 B22.矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 i=a ii，知 1+ 2+ 3=0，故可排除 A、C 两项。对于 B 项和 D 项，因为*所以 =0 不是 A 的特征值，故排除 B 项，正确答案为 D。注：这一类题解法较多，例如可以直接求出 A 的特征值。*又因*而 r(B)=1，知矩阵 B 的特征值是 3、0、0，从而可得矩阵 A 的特征值是 2，-1，-1。对于 B、D 两项用排除法时，只需对二者不同的特征值 1，0，2 之一作出判断。对特征值、特征向量的问题，应当抓住定义 Ax=x，也要会用a ii= i，|A|= i，以及若 r(A)=1，则|E-A|= n-(a ii) n-1等 3 个公式。23. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*24.曲线 与直线 x=-2，x=2 及 x 轴所围成的平面图形的面积为U /U （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 如图 69 所示，由于*在(-2，2)内是奇函数，所以*=*，选(A) *25.若函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因*于是*故选 A
