1、固体物理学 A 卷真题 2006 年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)1.从对称性看，晶体、准晶和非晶在原子排列上有什么特点?对于任何晶体，其允许的转动对称性只能是哪些?（分数：10.00）_2.晶体中的位错是几维缺陷?有几种基本类型?各有什么特点?（分数：10.00）_3.请写出布洛赫(Bloch) 定理，并简单地说出其物理意义。（分数：10.00）_4.在计算晶格比热时，爱因斯坦模型和德拜模型分别作了什么近似?（分数：10.00）_对于一个具有面心立方结构的金属，其晶格常数为 a，（分数：20.00）(1).写出其最近邻的原子个数及最近邻原子间距。（分数：5.00）_(
2、2).画出其(100) 面上的原子排列，由此得到一个二维的布拉菲(Bravais) 格子，在图中画出其基矢和原胞。（分数：5.00）_(3).写出这个二维布拉菲格子的倒格矢。（分数：5.00）_(4).画出第一布里渊区，并求出其面积。（分数：5.00）_一个边长为 a 的正方形金属薄膜，可以看作是一个二维的自由电子系统，其总电子数为 N。请求出：（分数：10.00）(1).该系统费米面的形状；（分数：5.00）_(2).费米波矢 kF与电子浓度 n 的关系。（分数：5.00）_电子在一维周期场中的势能函数为（分数：30.00）(1).画出此势能曲线，并求出势能平均值；（分数：7.50）_(2)
3、.请问满足什么条件时可用近自由电子近似?（分数：7.50）_(3).在近自由电子近似下，请用简并微扰法推导出禁带宽度的表达式；（分数：7.50）_(4).请求出晶体的第二个禁带宽度。（分数：7.50）_5.在能带论中，电子态密度的定义是什么?假设抛物线型的色散关系，请算出在一维、二维和三维下的电子态密度，并画出示意图。（分数：20.00）_对一理想的晶体外加一个恒定的均匀磁场 B(假设 B 不太大) 。磁场 B 方向平行于 z 轴方向。若电子具有抛物线形的能量色散关系，在半经典模型下(即把电子运动近似当作经典粒子来处理) ，（分数：30.00）(1).试推导出电子在真实空间中是怎样运动的；（分
4、数：10.00）_(2).试推导出电子在 k 空间中是怎样运动的；（分数：10.00）_(3).请问可以通过什么实验来确定电子的有效质量，怎么确定?（分数：10.00）_固体物理学 A 卷真题 2006 年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)1.从对称性看，晶体、准晶和非晶在原子排列上有什么特点?对于任何晶体，其允许的转动对称性只能是哪些?（分数：10.00）_正确答案：(从对称性看：在原子排列上，晶体具有长程的平移对称序(周期性) 和长程的取向序；准晶具有长程的取向序而缺乏长程的平移对称序；非晶则两者皆无。对于任何晶体，其允许的转动对称只能是：1，2，3，4，6 重转动对称。
5、)解析：2.晶体中的位错是几维缺陷?有几种基本类型?各有什么特点?（分数：10.00）_正确答案：(晶体中的位错是一维缺陷。有两种基本类型：刃位错和螺位错。刃位错线垂直于滑移方向，螺位错线平行于滑移方向。)解析：3.请写出布洛赫(Bloch) 定理，并简单地说出其物理意义。（分数：10.00）_正确答案：(Bloch 定理：对于周期性势场 ，其中 可取该晶体布拉菲(Bravais) 格子的任何格矢，其单电子薛定谔方程的本征函数为 ，其中 。其物理意义是：在周期势场的作用下，电子波函数不再是自由电子时的平面波，而是受到周期调幅的平面波。(或者回答为：在相距为 的两原胞的等同位置，电子出现的几率一
6、样，波函数相位变化 )解析：4.在计算晶格比热时，爱因斯坦模型和德拜模型分别作了什么近似?（分数：10.00）_正确答案：(在计算晶格比热时，爱因斯坦模型假设晶体中的各原子的振动可以看作是相互独立的，所有原子都具有相同的振动频率。德拜模型假设晶体是各向同性的连续介质，把格波视为弹性波。)解析：对于一个具有面心立方结构的金属，其晶格常数为 a，（分数：20.00）(1).写出其最近邻的原子个数及最近邻原子间距。（分数：5.00）_正确答案：(最近邻的原子个数为 12，最近邻原子间距为 )解析：(2).画出其(100) 面上的原子排列，由此得到一个二维的布拉菲(Bravais) 格子，在图中画出其
7、基矢和原胞。（分数：5.00）_正确答案：(100) 面的原子排列如下：基矢的表达式为： )解析：(3).写出这个二维布拉菲格子的倒格矢。（分数：5.00）_正确答案：(根据 ，得到 )解析：(4).画出第一布里渊区，并求出其面积。（分数：5.00）_正确答案：(第一布里渊区的面积： 。画图如下)解析：一个边长为 a 的正方形金属薄膜，可以看作是一个二维的自由电子系统，其总电子数为 N。请求出：（分数：10.00）(1).该系统费米面的形状；（分数：5.00）_正确答案：(对于自由电子，有 )解析：(2).费米波矢 kF与电子浓度 n 的关系。（分数：5.00）_正确答案：(由周期性边界条件得
8、到， (其中 nx和 ny是任意整数) 。于是一个 k 态在 k 空间中所占据的面积为： 。费米波矢 kF是费米面的半径，于是有： )解析：电子在一维周期场中的势能函数为（分数：30.00）(1).画出此势能曲线，并求出势能平均值；（分数：7.50）_正确答案：(画出此势能曲线如下。势能平均值为)解析：(2).请问满足什么条件时可用近自由电子近似?（分数：7.50）_正确答案：(当 )解析：(3).在近自由电子近似下，请用简并微扰法推导出禁带宽度的表达式；（分数：7.50）_正确答案：(在近自由电子近似下，设 L 为系统长度，则 为自由电子波函数，在布里渊区边界能级简并，零级能量为 。令 是平
9、均值，V(x) 可视为微扰。根据简并微扰论，存一级沂似下其能量 满早以下久期方程：)解析：(4).请求出晶体的第二个禁带宽度。（分数：7.50）_正确答案：( )解析：5.在能带论中，电子态密度的定义是什么?假设抛物线型的色散关系，请算出在一维、二维和三维下的电子态密度，并画出示意图。（分数：20.00）_正确答案：(在能带论中，电子态密度的定义是(单位体积) 单位能量间隔内的状态数目。考虑一个长度为 L 的 d 维样品，在周期边界条件下，每个波矢占据的倒空间体积为： 。在倒空问中，位于 k 到 k+dk 壳层内状态数目为： ，因子 2 来自自旋自由度。其中 为等能面到等能面+d 之间的体积元
10、。由自由电子的色散关系为 ，可得到：电子态密度 。)解析：对一理想的晶体外加一个恒定的均匀磁场 B(假设 B 不太大) 。磁场 B 方向平行于 z 轴方向。若电子具有抛物线形的能量色散关系，在半经典模型下(即把电子运动近似当作经典粒子来处理) ，（分数：30.00）(1).试推导出电子在真实空间中是怎样运动的；（分数：10.00）_正确答案：(在半经典模型下， ， 是电子运动速度。m*为电子的有效质量。因此， )解析：(2).试推导出电子在 k 空间中是怎样运动的；（分数：10.00）_正确答案：( )解析：(3).请问可以通过什么实验来确定电子的有效质量，怎么确定?（分数：10.00）_正确答案：(可以通过回旋共振实验确定电子的有效质量，交变电场的频率就是电子的回旋频率，即)解析：
