1、 2015 年四川省眉山市中考 真题数学 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置 . 1.(3 分 )-2 的倒数是 ( ) A. B. 2 C. - D. -2 解 析 ： -2 的倒数是 - ， 故选 C. 2.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. 3a+2a=6a B. a2+a3=a5 C. a6a 2=a4 D. (a2)3=a5 解 析 ： A、 3a+2a=5a，错误； B、 a2与 a3不能合并，错误； C、 a6a 2=a4，正确； D、 (a2)3=a6
2、，错误； 故选 C. 3.(3 分 )某市在一次扶贫助残活动中，共捐款 5280000 元，将 5280000 用科学记数法表示为( ) A. 5.2810 6 B. 5.2810 7 C. 52.810 6 D. 0.52810 7 解 析 ： 5280000=5.2810 6， 故选 A. 4.(3 分 )下列四个图形中是正方体的平面展开图的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、不是正方体的平面展开图； B、是正方体的平面展开图； C、不是正方体的平面展开图； D、不是正方体的平面展开图 . 故选： B. 5.(3 分 )一个多边形的外角和是内角和的 ，这个多边形的边数为 (
3、 ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解 析 ： 一个多边形的外角和是内角和的 ，且外角和为 360 ， 这个多边形的内角和为 900 ，即 (n-2)180=900 ， 解得： n=7， 则这个多边形的边数是 7， 故选 C. 6.(3 分 )如图， ADBECF ，直线 l1、 l2与这三条平行线分别交于点 A、 B、 C 和点 D、 E、 F.已知 AB=1， BC=3， DE=2，则 EF 的长为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 解 析 ： ADBECF ， ， AB=1 ， BC=3， DE=2， ， 解得 EF=6， 故选： C. 7.(3 分 )老师想知道
4、学生每天上学路上要花多少时间，于是让大家将每天来校的单程时间写在纸上用于统计 .下面是全班 30 名学生单程所花时间 (单位：分 )与对应人数 (单位：人 )的统计表，则关于这 30 名学生单程所花时间的数据，下列结论正确的是 ( ) A. 众数是 12 B. 平均数是 18 C. 极差是 45 D. 中位数是 20 解 析 ： 数据 20 出现了 12 次，最多， 故众数为 20， A 错误； 平均数： =18.5(分钟 )， B，错误； 极差： 45-5=40 分钟， C 错误； 排序后位于中间两数均为 20， 中位数为： 20 分钟，正确 . 故选 D. 8.(3 分 )下列一元二次方程
5、中有两个不相等的实数根的方程是 ( ) A. (x-1)2=0 B. x2+2x-19=0 C. x2+4=0 D. x2+x+l=0 解 析 ： A、 =0 ，方程有两个相等的实数根； B、 =4+76=80 0，方程有两个不相等的实数根； C、 = -16 0，方程没有实数根； D、 =1 -4=-3 0，方程没有实数根 . 故选： B. 9.(3 分 )关于一次函数 y=2x-l 的图象，下列说法正确的是 ( ) A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象经过第二、三、四象限 解 析 ： 一次函数 y=2x-l 的 k=2
6、0， 函数图象经过第一、三象限， b= -1 0， 函数图象与 y 轴负半轴相交， 一次函数 y=2x-l 的图象经过第一、三、四象限 . 故选 B. 10.(3 分 )如图，在 RtABC 中， B=90 ， A=30 ， DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于 D， E是垂足，连接 CD.若 BD=1，则 AC 的长是 ( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 解 析 ： 在 RtABC 中， B=90 ， A=30 ， ACB=60 ， DE 垂直平分斜边 AC， AD=CD ， ACD=A=30 ， DCB=60 -30=30 ， 在 RtDBC 中， B=90 ， DCB=30
7、 ， BD=1， CD=2BD=2 ， 由勾股定理得： ， 在 RtABC 中， B=90 ， A=30 ， BC= ， AC=2BC=2 ， 故选 A. 11.(3 分 )如图， O 是 ABC 的外接圆， ACO=45 ，则 B 的度数为 ( ) A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 解 析 ： 如图： OA=OC ， ACO=45 ， OAC=45 ， AOC=180 -45 -45=90 ， B= AOC=45. 故选 D. 12.(3 分 )如图， A、 B 是双曲线 y= 上的两点，过 A 点作 ACx 轴，交 OB 于 D 点，垂足为C.若 ADO 的面积为 1， D
8、为 OB 的中点，则 k 的值为 ( ) A. B. C. 3 D. 4 解 析 ： 过点 B 作 BEx 轴于点 E， D 为 OB 的中点， CD 是 OBE 的中位线，即 CD= BE. 设 A(x， )，则 B(2x， )， CD= ， AD= - ， ADO 的面积为 1， ADOC=1 ， ( - )x=1 ，解得 k= ， 故选 B. 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，将正确答案直接填在答题卡相应位置上 . 13.(3 分 )在函数 y=x+1 中，自变量 x 的取值范围是 _. 解 析 ： 函数 y=x+1 中，自变量 x 的取值范围是全体实数 .
9、 故答案为：全体实数 . 14.(3 分 )计算： _. 解 析 ： 把 化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算可求得结果 . 答案 ： 2 - =2 -3 =(2-3) =- . 15.(3 分 )点 P(3， 2)关于 y 轴对称的点的坐标是 _. 解 析 ： 点 P(m， n)关于 y 轴对称点的坐标 P( -m， n)，所以点 P(3， 2)关于 y 轴对称的点的坐标为 (-3， 2). 故答案为： (-3， 2). 16.(3 分 )已知 O 的内接正六边形周长为 12cm，则这个圆的半经是 _cm. 解 析 ： 如图， O 的内接正六边形 ABCDEF 的周长长为 12cm，
10、边长为 2cm， AOB= 360=60 ，且 OA=OB， OAB 为等边三角形， OA=AB=2 ， 即该圆的半径为 2， 故答案为： 2. 17.(3 分 )将二次函数 y=x2的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为 _. 解 析 ： 利用平移规律：左加右减，确定出平移后二次函数解析式即可 . 答案 ： 平移后二次函数解析式为： y=(x+2)2=x2+4x+4， 故答案为： y=x2+4x+4 18.(3 分 )如图，以 ABC 的三边为边分别作等边 ACD 、 ABE 、 BCF ，则下列结论：EBFDFC ； 四边形 AEFD 为平行四边形；
11、 当 AB=AC， BAC=120 时，四边形 AEFD是正方形 .其中正确的结论是 _.(请写出正确结论的番号 ). 解 析 ： ABE 、 BCF 为等边三角形， AB=BE=AE ， BC=CF=FB， ABE=CBF=60 ， ABE -ABF=FBC -ABF ，即 CBA=FBE ， 在 ABC 和 EBF 中， ， ABCEBF(SAS) ， E F=AC， 又 ADC 为等边三角形， CD=AD=AC ， EF=AD=DC ， 同理可得 AE=DF， 四边形 AEFD 是平行四边形，选项 正确； FEA=ADF ， FEA+AEB=ADF+ADC ，即 FEB=CDF ， 在
12、FEB 和 CDF 中， . FEBCDF(SAS) ，选项 正确； 若 AB=AC， BAC=120 ，则有 AE=AD， EAD=120 ，此时 AEFD 为菱形，选项 错误， 故答案为： . 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 46分 .请把解答过程写在答题卡上相应的 位置 . 19.(6 分 )计算： (1-) 0 -( )-1+|-2|. 解 析 ： 分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 . 答案 ： 原式 =13 -7+2 =3-7+2 =-2. 20.(6 分 )计算： . 解 析 ： 将每
13、个分式的分子、分母分解因式后将除法变为乘法后约分即可 . 答案 ： . 21.(8 分 )如图，在方格网中已知格点 ABC 和点 O. (1)画 ABC 和 ABC 关于点 O 成中心对称； (2)请在方格网中标出所有使以点 A、 O、 C 、 D 为顶点的四边形是平行四边形的 D 点 . 解 析 ： (1)根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形， (2)根据平行四边形的判定，画出使以点 A、 O、 C 、 D 为顶点的四边形是平行四边形的点即可 . 答案 ： (1)画 ABC 和 ABC 关于点 O 成中心对称的图形如下： (2)根据题意画图如下： 22.(8 分 )如图，在一笔直的海
14、岸线 l 上有 A、 B 两个码头， A 在 B的正东方向，一艘小船从A 码头沿它的北偏西 60 的方向行驶了 20 海里到达点 P 处，此时从 B码头测得小船在它的北偏东 45 的方向 .求此时小船到 B 码头的距离 (即 BP 的长 )和 A、 B 两个码头间的距离 (结果都保留根号 ). 解 析 ： 过 P 作 PMAB 于 M，求出 PBM=45 ， PAM=30 ，求出 PM，即可求出 BM、 BP. 答案 ： 如图：过 P 作 PMAB 于 M， 则 PMB=PMA=90 ， PBM=90 -45=45 ， PAM=90 -60=30 ， AP=20 海里， PM= AP=10 海
15、里， AM=cos30AP=1 0 海里， BPM=PBM=45 ， PM=BM=10 海里， AB=AM+BM=(10+10 )海里， 海里， 即小船到 B 码头的距离是 10 海里， A、 B 两个码头间的距离是 (10+10 )海里 . 23.(9 分 )某校组织了一次初三科技小制作比赛，有 A、 B、 C、 D 四个班共提供了 100 件参赛作品 .C 班提供的参赛作品的获奖率为 50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图 和图 两幅尚不完整的统计图中 . (1)B 班参赛作品有多少件？ (2)请你将图 的统计图补充完整； (3)通过计算说明，哪个班的获奖率高？ (4)将写
16、有 A、 B、 C、 D 四个字母的完全相同的卡片 放入箱中，从中一次随机抽出两张卡片，求抽到 A、 B 两班的概率 . 解 析 ： (1)直接利用扇形统计图中百分数，进而求出 B 班参赛作品数量； (2)利用 C 班提供的参赛作品的获奖率为 50%，结合 C 班参赛数量得出获奖数量； (3)分别求出各班的获奖百分率，进而求出答案； (4)利用树状统计图得出所有符合题意的答案进而求出其概率 . 答案 ： (1)由题意可得： 100(1 -35%-20%-20%)=25(件 )， 答： B 班参赛作品有 25 件； (2)C 班提供的参赛作品的获奖率为 50%， C 班的参赛作品的获奖数量为：
17、10020% 50%=10( 件 )， 如图所示： (3)A 班的获奖率为： 100%=40% ， B 班的获奖率为： 100%=44% ， C 班的获奖率为： 50%； D 班的获奖率为： 100%=40% ， 故 B 班的获奖率高； (4)如图所示： 故一共有 12 种情况，符合题意的有 2 种情况， 则从中一次随机抽出两张卡片，求抽到 A、 B 两班的概率为： . 24.(9 分 )某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本 (每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同 )作为奖品 .若购买 2 支钢笔和 3 本笔记本共需 62 元，购买 5 支钢笔和
18、1 本笔记本共需 90元 . (1)购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？ (2)工会准备购买钢笔和笔记本共 80 件作奖品，根据规定购买的总费用不超过 1100 元，则工会最多可以购买多少支钢笔？ 解 析 ： (1)首先用未知数设出买一支钢笔和一本笔记本所需的费用，然后根据关键语 “ 购买2 支钢笔和 3 本笔记本共需 62 元，购买 5 支钢笔和 1 本笔记本共需 90 元 ” ，列方程组求出未知数的值，即可得解 . (2)设购买钢笔的数量为 x，则笔记本的数量为 80-x，根据总费用不超过 1100 元，列出不等式解答即可 . 答案 ： (1)设一支钢笔需 x 元，一本笔记本需 y 元，由
19、题意得 解得： 答：一支钢笔需 16 元，一本笔记本需 10 元； (2)设购买钢笔的数量为 x，则笔记本的数量为 80-x，由题意得 16x+10(80-x)1100 解得： x50 答：工会最多可以购买 50 支钢笔 . 四、解答题：本大题共 2 个小题，共 20分 .请把解答过程写在答题卡上相应的位置 . 25.(9 分 )如图，在矩形 ABCD 中， E 是 AB 边的中点，沿 EC对折矩形 ABCD，使 B 点落在点 P处，折痕为 EC，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点， (1)求证：四边形 AECF 为平行四边形； (2)若 AEP 是等边三角形，连结 BP，求证：
20、APBEPC ； (3)若矩形 ABCD 的边 AB=6， BC=4，求 CPF 的面积 . 解 析 ： (1)由折叠的性质得到 BE=PE， EC 与 PB 垂直，根据 E 为 AB中点，得到 AE=PE，利用等角对等边得到两对角相等，由 AEP 为三角形 EBP的外角，利用外角性质得到 AEP=2EPB ，设 EPB=x ，则 AEP=2x ，表示出 APE ，由 APE+EPB 得到 APB 为 90 ，进而得到 AF与 EC 平行，再由 AE 与 FC 平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证； (2)根据三角形 AEP 为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质
21、及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由 AP=EB，利用 AAS 即可得证； (3)过 P 作 PMCD ，在直角三角形 EBC 中，利用勾股定理求出 EC 的长，利用面积法求出 BQ的长，根据 BP=2BQ 求出 BP 的长，在直角三角形 ABP 中，利用 勾股定理求出 AP的长，根据AF-AP 求出 PF 的长，由 PM 与 AD 平行，得到三角形 PMF 与三角形 ADF 相似，由相似得比例求出 PM 的长，再由 FC=AE=3，求出三角形 CPF 面积即可 . 答案 ： (1)证明：由折叠得到 BE=PE， ECPB ， E 为 AB 的中点， AE=EB
22、，即 AE=PE， EBP=EPB ， EAP=EPA ， AEP 为 EBP 的外角， AEP=2EPB ， 设 EPB=x ，则 AEP=2x ， APE= =90 -x， APB=APE+EPB=x+90 -x=90 ，即 BPAF ， AFEC ， AEFC ， 四边形 AECF 为平行四边形； (2)AEP 为等边三角形， BAP=AEP=60 ， AP=AE=EP=EB， PEC=BEC ， PEC=BEC=60 ， BAP+ABP=90 ， ABP+BEQ=90 ， BAP=BEQ ， 在 ABP 和 EBC 中， ， ABPEBC(AAS) ， EBCEPC ， ABPEPC
23、； (3)过 P 作 PMDC ，交 DC 于点 M， 在 RtEBC 中， EB=3， BC=4， 根据勾股定理得： EC= =5， S EBC = EBBC= ECBQ ， BQ= ， 由折叠得： BP=2BQ= ， 在 RtABP 中， AB=6， BP= ， 根据勾股定理得： ， 四边形 AECF 为平行四边形， AF=EC=5 ， FC=AE=3， PF=5 - = ， PMAD ， ，即 ， 解得： ， 则 SPFC = . 26.(11 分 )如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 D 的坐标为 (1， - )，且与 x轴交于 A、 B两点，与 y 轴交于 C 点， A
24、点的坐标为 (4， 0).P 点是抛物线上的一个动点，且横坐标为 m. (l)求抛物线所对应的二次函数的表达式； (2)若动点 P 满足 PAO 不大于 45 ，求 P 点的横坐标 m的取值范围； (3)当 P 点的横坐标 m 0 时，过 P 点作 y轴的垂线 PQ，垂足为 Q.问：是否存在 P点，使QPO=BCO ？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得 B 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； (2)根据等腰直角三角形的性质，可得射线 AC、 AD，根据角越小角的对边越小，可得 PA 在在射线 AC 与 AD 之
25、间，根据解方程组，可得 E 点的横坐标，根据 E、 C点的横坐标，可得答案； (3)根据相似三角形的判定与性质，可得 ，根据解方程组，可得 P 点坐标 . 答案 ： (1)由 A、 B 点的函数值相等，得 A、 B 关于对称轴对称 . A(4-0)，对称轴是 x=1，得 B(-2， 0). 将 A、 B、 D 点的坐标代入解析式，得 ， 解得 ， 抛物线所对应的二次函数的表达式 y= x2-x-4； (2)如图 1 作 C 点关于原点的对称点 D， OC=OD=OA=4， OAC=DAO=45 ， AP 在射线 AC 与 AD 之间， PAO 45 ， 直线 AD 的解析式为 y=-x+4， 联立 AD 于抛物线，得 ， 解得 x=-4 或 x=4， E 点的横坐标是 -4， C 点的横坐标是 0， P 点的横坐标的取值范围是 -4 m 0； (3)存在 P 点，使 QPO=BCO ，如图 2， 设 P(a， a2-a-4)， 由 QPO=BCO ， PQO=CBO=90. PQOCOB ， 即 ， 化简，得 a2-3a-8=0. 解得 a= ， a= (不符合题意，舍 )， a2-a-4= ( )2- -4= ， P 点坐标为 ( ， ).
