1、MPA公共管理硕士综合知识数学概率论（随机变量及其分布）-试卷3及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：33，分数：60.00)1.选择题_2.若 X服从参数 的指数分布，则 P3X9等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设甲、乙都有 n个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数，甲、乙两人掷出的正面数相等的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.小王一次射击时中靶的概率为 07，现进行 5次射击，假定每次射击是独立的，以 X表示中靶的次数，则 PX3)等于( )（分数：2.00）A.0308 7B.0030 78C.0529 12D.08
2、36 925.下列四个函数中，不能作为随机变量分布函数的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 X是一个离散型随机变量，则可以成为 X的分布函数的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X在1，6上服从均匀分布，现对 X进行 3次独立观测，求至少有 2次观测值大于 3的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，则随着 的增大，概率 P|X-|( )（分数：2.00）A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.非单调变化9.假设一台机器开机后无故障工作的时间 X服从指数分布，平均无故障工作的时间(E(X)为 5小时
3、机器定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2小时便关机，试求该机器每次开机无故障工作的时间 Y的分布函数 F(y)( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，概率密度为 f(x)，已知一 X与 X具有相同的分布函数，则( )（分数：2.00）A.F(x)=F(一 x)B.F(x)=一 F(一 x)C.f(x)=f(一 x)D.f(x)=一 f(一 x)11.设随机变量 X和 Y相互独立，均服从 P(1)分布，则 Pmax(X，Y)0等于( )（分数：2.00）A.e -2B.1一 e -2C.D.e -112.已知某种集成电路的寿命服从
4、指数分布(参数为 )，现将已使用到平均寿命而未损坏的集成电路再使用一个平均寿命长度，而仍未损坏的概率为( )（分数：2.00）A.e -B.e -2C.e -1D.e -213.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 以 Y表示对 X的 3次独立重复观察中事件X1出现的次数，则 PY=2为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.14.设随机变量 X与 Y相互独立，其概率分布为 （分数：2.00）A.X=YB.PX=Y=1C.PX=Y=p 2 +q 2D.PXY=115.填空题_16.设随机变量 XN(2，5 2 )，并且 P(X7=04，则 PX-3= 1.（分数：2.00）填空项 1:_1
5、7.设随机变量 X的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_18.某种灯管使用寿命在 1 000小时以上的概率为 03，3 个这样的灯管在使用 31 000小时后，最多只有1个损坏的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.掷一不均匀硬币，已知在四次投掷中至少一次出现正面朝上的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_20.甲、乙两球队进行排球赛，实行五局三胜制，若甲队在每局比赛中获胜的概率为 06，则甲队在比赛中最终获胜的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_21.假设一电子设备装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为(0)的指数分布当三个元件都无故障
6、时，电子设备正常工作，否则整个电子设备不能正常工作，则电子设备正常工作的时间丁服从参数为 1 的指数分布（分数：2.00）填空项 1:_22.设随机变量 X服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量 Y服从参数为(3，p)的二项分布若 PX1=（分数：2.00）填空项 1:_23.计算题_24.某梨园去年产的梨的单个重 X(克)近似服从正态分布 N(， 2 )，已知超过 240克和不到 160克的梨各占了 20 (1)求 和 ；(2)求不到 100克的梨所占百分比（分数：2.00）_25.某种集成电路的使用寿命 X(小时)服从参数 =0001 的指数分布现有 3个这种集成电路，求它们用了 1 0
7、00小时后都没有坏的概率（分数：2.00）_26.设连续型随机变量 XN(1，2 2 )，求 （分数：2.00）_27.某种电容的质量与生产时所用电压有关，统计表明，当电压高于 210伏时，此电容的合格品率为098，如果电压低于 210伏，则合格品率为 09，已知电压 V(伏)N(220，20 2 )，求该电容的合格品率（分数：2.00）_28.一种电阻使用寿命 X(小时)服从参数为 的指数分布，如果一个这种电阻已使用了 N小时没有坏，问它仍能使用的小时数 Y的分布函数 F(y)（分数：2.00）_29.工厂自动生产线在调整之后出现废品的概率为 p，当在生产过程中出现废品时，立即重新进行调整设
8、每次生产相互独立，求在两次调整之间生产的合格品数 X的概率函数及其分布函数（分数：2.00）_30.设连续型随机变量 X的概率密度函数为 （分数：2.00）_31.设随机变量 X的密度函数为 （分数：2.00）_32.设随机变量 X具有以下分布律，求 的分布律 （分数：2.00）_33.设随机变量 X的概率密度函数为 （分数：2.00）_MPA公共管理硕士综合知识数学概率论（随机变量及其分布）-试卷3答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：33，分数：60.00)1.选择题_解析：2.若 X服从参数 的指数分布，则 P3X9等于( ) （分数：2.00）A.B.
9、C. D.解析：解析：由于3.设甲、乙都有 n个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数，甲、乙两人掷出的正面数相等的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：甲、乙两人掷出 k个正面的概率均为 由于甲、乙两人是独立投掷的，所以两人掷出正面数相等的概率为4.小王一次射击时中靶的概率为 07，现进行 5次射击，假定每次射击是独立的，以 X表示中靶的次数，则 PX3)等于( )（分数：2.00）A.0308 7B.0030 78C.0529 12D.0836 92 解析：解析：XB(5，07)，即 PX=0=C 5 0 (03) 5 =0002 43， PX=1=C 5 1 07(
10、03) 4 =0028 35， PX=2=C 5 2 (07) 2 (03) 3 =0132 3， PX=3=C 5 3 (07) 3 (03) 2 =0308 7， PX=4=C 5 4 (07) 4 03=0360 15， PX=5=C 5 5 (07) 5 =0168 07 5.下列四个函数中，不能作为随机变量分布函数的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：机变量的分布函数应当满足条件 6.设 X是一个离散型随机变量，则可以成为 X的分布函数的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)不是分布函数，因为作为概率的 p不能是任何实数，只能是非负的实
11、数；(B)不是分布函数，因为 01+03+03+02+021；(C)不是分布函数，因为7.设随机变量 X在1，6上服从均匀分布，现对 X进行 3次独立观测，求至少有 2次观测值大于 3的概率为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：不难看出 PX3= 对 X3次独立观测可看成是三重贝努利试验，至少有 2次观测值大于 3的概率应为8.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，则随着 的增大，概率 P|X-|( )（分数：2.00）A.单调增大B.单调减小C.保持不变 D.非单调变化解析：解析：设 9.假设一台机器开机后无故障工作的时间 X服从指数分布，平均无故障工作的时间(E(
12、X)为 5小时机器定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2小时便关机，试求该机器每次开机无故障工作的时间 Y的分布函数 F(y)( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：X 服从指数分布，设参数为 ，则 显然，Y=minX，2 当 y0 时，有 F(y)=0； 当 y2 时，有 F(y)=1； 当 0y2 时，有 F(y)=PYy=PminX，2y=PXy= 所以 Y的分布函数为10.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，概率密度为 f(x)，已知一 X与 X具有相同的分布函数，则( )（分数：2.00）A.F(x)=F(一 x)B.F(x)=一 F(一 x)C.
13、f(x)=f(一 x) D.f(x)=一 f(一 x)解析：解析：一 X与 X具有相同的分布函数， P(Xx)=P(一 Xx)=P(X一 x)， 即 - x f(x)dx= -x + f(-x)dx 对 x求导数得 f(x)=f(一 x) 故应选(C)11.设随机变量 X和 Y相互独立，均服从 P(1)分布，则 Pmax(X，Y)0等于( )（分数：2.00）A.e -2B.1一 e -2 C.D.e -1解析：解析：Pmax(X，Y)0=1 一 Pmax(X，Y)=0 由于 X，Y 均服从 P(1)分布，所以 Pmax(X，Y)=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0 12.已知某种集成电路
14、的寿命服从指数分布(参数为 )，现将已使用到平均寿命而未损坏的集成电路再使用一个平均寿命长度，而仍未损坏的概率为( )（分数：2.00）A.e -B.e -2C.e -1 D.e -2解析：解析：因为参数为 的指数分布的数学期望为 ，即平均寿命为 使用时间 t，而未损坏的概率为 PXt=e -t ，所以使用一个平均寿命的概率为 使用到平均寿命而未损坏，再使用一个平均寿命长度而仍未损坏的概率为 根据无记忆性 13.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 以 Y表示对 X的 3次独立重复观察中事件X1出现的次数，则 PY=2为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：PX1= 0 1
15、 x 2 dx= 由题目可知， 所以 14.设随机变量 X与 Y相互独立，其概率分布为 （分数：2.00）A.X=YB.PX=Y=1C.PX=Y=p 2 +q 2 D.PXY=1解析：解析： PX=Y=PX=a，Y=a+PX=b，Y=b =PX=aPY=a+PX=bPY=b =p 2 +q 2 故应选(C)15.填空题_解析：16.设随机变量 XN(2，5 2 )，并且 P(X7=04，则 PX-3= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：01）解析：解析：由图 241可以看出 p(x)是关于直线 x=2对称的，于是有 PX一 3=0117.设随机变量 X的分布律为 （分
16、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：p k =PY=k， X=一 1，Y=一 1，PY=-1= X=0，Y=一 3，PY=-3= X=1，Y=一1，PY=一 1= X=2，Y=5，PY=5= 18.某种灯管使用寿命在 1 000小时以上的概率为 03，3 个这样的灯管在使用 31 000小时后，最多只有1个损坏的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0216）解析：解析：这是一个 P=03 的三重贝努利概型问题，事件“最多只有一个坏了”意味着“3 个都是好的或有 2个是好的，仅有 1个坏了”，于是所求概率为 P=P 3 (3)+P 3
17、 (2) =C 3 3 03 3 07 0 +C 3 2 03 2 07 =021 619.掷一不均匀硬币，已知在四次投掷中至少一次出现正面朝上的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：这是一个贝努利概型问题，已知 n和有关概率，求 p 设事件 A=在 4次投掷中至少一次出现正面朝上，则 A中包含 4种情况，即 4次投掷出现 1次、2 次、3 次或 4次正面朝上，如果简单套用贝努利定理，计算将会比较复杂，但我们注意到 =在 4次投掷中没有正面朝上，其概率是比较好求的 设一次投掷中正面朝上的概率为 p，则由题意20.甲、乙两球队进行排球赛，实行五局三胜制，
18、若甲队在每局比赛中获胜的概率为 06，则甲队在比赛中最终获胜的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：068）解析：解析：设比赛不论过程如何，总要打满 5局(不改变胜负率)，并设 A=甲队获胜，则所求概率为 P(A)=C 5 3 (06) 3 (04) 2 +C 5 4 (06) 4 (04)+C 5 2 (06) 5 06821.假设一电子设备装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为(0)的指数分布当三个元件都无故障时，电子设备正常工作，否则整个电子设备不能正常工作，则电子设备正常工作的时间丁服从参数为 1 的指数分布（分数：2.00）
19、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：令 X i (i=1，2，3)表示“第 i个电气元件无故障工作的时间”，则 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且同分布，其分布函数为 设 G(t)是 T的分布函数 当 t0 时，G(t)=0 当 t0 时， G(t)=PTt)=1 一 PTt =1 一 PX 1 t，X 2 t，X 3 t =1 一 PX 1 t.PX 2 t.PX 3 t =1一1 一 F(t) 3 =1一 e -3t 22.设随机变量 X服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量 Y服从参数为(3，p)的二项分布若 PX1=（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
20、正确答案：*）解析：解析：因为 PX1=1 一 PX1=1 一 PX=0= 所以 PX=0= 又 X服从参数为(2，p)的二项分布，所以 PX=0=C 2 0 P 0 (1一 p) 2-0 =(1一 p) 2 = 所以 从而 PY1=1 一 PY=0= 23.计算题_解析：24.某梨园去年产的梨的单个重 X(克)近似服从正态分布 N(， 2 )，已知超过 240克和不到 160克的梨各占了 20 (1)求 和 ；(2)求不到 100克的梨所占百分比（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 PX240=pX160知 由条件 PX240=1 一 02=08， 于是)解析：25.某种集成电
21、路的使用寿命 X(小时)服从参数 =0001 的指数分布现有 3个这种集成电路，求它们用了 1 000小时后都没有坏的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出一个集成电路能用 1 000小时的概率，再用独立性和乘法公式求 3个集成电路都能用 1 000小时的概率 X 的密度函数为： )解析：26.设连续型随机变量 XN(1，2 2 )，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 ，则 YN(0，1) e X =e 2Y+1 +1， 于是 )解析：27.某种电容的质量与生产时所用电压有关，统计表明，当电压高于 210伏时，此电容的合格品率为098，如果电压低于 210伏，则合格
22、品率为 09，已知电压 V(伏)N(220，20 2 )，求该电容的合格品率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A为事件“电压超过 210伏”，B 为“得到合格品”，用全概率公式，所求合格品率(即 B的概率)为 P(B)=P(A)P(B|A)+ 其中 P(B |A)=098， P(A)=PV210= 查表得 P(A)=06915，则 )解析：28.一种电阻使用寿命 X(小时)服从参数为 的指数分布，如果一个这种电阻已使用了 N小时没有坏，问它仍能使用的小时数 Y的分布函数 F(y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(y)=PYy=1 一 PYy， y0 其中 PYy是在电阻
23、寿命大于 N的条件下，超过 N+y的条件概率，则 )解析：29.工厂自动生产线在调整之后出现废品的概率为 p，当在生产过程中出现废品时，立即重新进行调整设每次生产相互独立，求在两次调整之间生产的合格品数 X的概率函数及其分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为随机变量 X是两次调整之间生产的合格品数，所以它的可能取值为0，1，2，而 X的概率函数为 这是一个离散型随机变量 X 的分布函数 )解析：30.设连续型随机变量 X的概率密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)X 的分布函数 )解析：31.设随机变量 X的密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确
24、答案：(1)由 - + p(x)dx=1得 所以 即 X的密度函数为 (2)当x0 时， 当 x0 时， F(x)+F(一 x)=1， 也可得：当 x0 时， )解析：32.设随机变量 X具有以下分布律，求 的分布律 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 经过合并整理，得到 的分布律为 )解析：33.设随机变量 X的概率密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)Y 1 的分布函数为 两边求导数，得到 Y 1 的概率密度函数为 (2)Y 2 的分布函数为 F 2 (y)=PY 2 y =P5 一 Xy) =PX5 一 y =1一 PX5 一 y) =1一 Fx(5一y) 两边求导数，得到 Y 2 的概率密度函数 p 2 (y)=一 p X (5一 y)(一 1) =P X (5一 y) = (3)Y 3 的分布函数 F 3 (y)=PY 3 y=PX 2 y 若 y0，则 F 3 (y)=0，因此 p 3 (y)=0 若 y0，则 )解析：
