1、2016年陕西省西安一中高考一模试卷数学文 一、选择题： (本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 ) 1.设集合 A=-1， 0， 1， 2， 3， B=x|x2-2x 0，则 A B=( ) A.3 B.2， 3 C.-1， 3 D.0， 1， 2 解析：由 B中不等式变形得： x(x-2) 0， 解得： x 0或 x 2，即 B=x|x 0或 x 2， A=-1， 0， 1， 2， 3， A B=-1， 3. 答案： C. 2.若 z(1+i)=i(其中 i 为虚数单位 )，则 |z|等于 ( ) A. 22B. 32C.1 D.12解析： z(1+i)=i， 1 11 1 1
2、 2 2iiiiz i i i ， 22112222z . 答案： A. 3.设 a， b是实数，则“ a b”是“ a2 b2”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解 . 因为 a， b都是实数，由 a b，不一定有 a2 b2，如 -2 -3，但 (-2)2 (-3)2，所以“ a b”是“ a2 b2”的不充分条件； 反之，由 a2 b2也不一定得 a b，如 (-3)2 (-2)2，但 -3 -2，所以“ a b”是“ a2
3、 b2”的不必要条件 .即 “a b” 是 “a 2 b2” 的既不充分也不必要条件 . 答案： D 4.已知 5125()sin ，那么 cos =( ) A. 25B. 15C.15D.25解析： 5122 2 2 5s i n s i n s i n c o s （ ） （ ） （ ）. 答案： C. 5.执行如图所示的程序框图，若输入 n的值为 3，则输出 s的值是 ( ) A.1 B.2 C.4 D.7 解析：由已知中的程序框图及已知中输入 3，可得：进入循环的条件为 i 3，即 i=1， 2，3.模拟程序的运行结果，即可得到输出的 S值 . 当 i=1时， S=1+1-1=1； 当
4、 i=2时， S=1+2-1=2； 当 i=3时， S=2+3-1=4； 当 i=4时，退出循环，输出 S=4. 答案： C. 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( ) A.16B.13C.23D.1 解析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥， 其中 PA底面 ABC， PA=2， AB BC， AB=BC=1. 21 1 112 2 2ABCS A B B C . 因此 1 1 1 123 3 2 3ABCV S P A . 答案： B. 7.在函数 y=cos 丨 2x 丨， y=丨 cosx 丨， y=cos(2x+6) y=tan(2x-4)中，最小正周期为的所有函数为
5、 ( ) A. B. C. D. 解析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论 . y=cos丨 2x丨 =cos2x，它的最小正周期为 22 ， y=丨 cosx丨的最小正周期为 1221 ， y=cos(2x+ 6)的最小正周期为 22 ， y=tan(2x- 4)的最小正周期为2. 答案： A. 8.已知 D为 ABC的边 BC的中点， ABC所在平面内有一个点 P，满足 PA PB PC，则PDAD的值为 ( ) A.13B.12C.1 D.2 解析：如图所示， PA PB PC， PA是平行四边形 PBAC的对角线， PA与 BC的交点即为 BC的中点 D. 1
6、PDAD. 答案： C. 9.已知 a 0，实数 x， y满足： 133xxyy a x ，若 z=2x+y的最小值为 1，则 a=( ) A.2 B.1 C.12D.14解析：作出不等式对应的平面区域， (阴影部分 ) 由 z=2x+y，得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z经过点 C时，直线 y=-2x+z的截距最小，此时 z最小 . 即 2x+y=1， 由 121xxy，解得 11xy， 即 C(1， -1)， 点 C也在直线 y=a(x-3)上， -1=-2a， 解得 a=12. 答案： C. 10.已知中心在原点的椭圆 C的右焦点为 F(1，
7、 0)，离心率等于 12，则 C的方程是 ( ) A. 22134xy B. 22143xy C. 22142xy D. 22143xy 解析：由题意设椭圆的方程为 221xyab (a 0， b 0). 因为椭圆 C的右焦点为 F(1， 0)，所以 c=1，又离心率等于 12， 即 12ca，所以 a=2，则 b2=a2-c2=3. 所以椭圆的方程为 22143xy . 答案： D. 11.在 ABC 中， A=60， BC= 10 ， D 是 AB 边上的一点， CD= 2 ， BCD 的面积为 1，则AC的长为 ( ) A.2 3 B. 3 C. 33D.233解析 ： BC= 10 ，
8、 CD= 2 ， BCD的面积为 1， 0 12 21 1 s i n D C B ， 55sin D C B，则 255c o s D C B， 则 BD2=CB2+CD2-2CD CBcos DCB=4，得 BD=2， 在 BDC中，由余弦定理可得 4 2 1 022222c o s B D C ， BDC=135， ADC=45， 在 ADC中， ADC=45， A=60， DC= 2 ， 由正弦定理可得，4 5 6 02ACsin sin， 233AC. 答案 ： D. 12.已知函数 2 ln xf x xx，则函数 y=f(x)的大至图象是 ( ) A. B. C. D. 解析：由
9、题意可得，函数的定义域 x 0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足 f(-1)=f(1)=1，可排除 B、 C两个选项 . 当 x 0时， ln x lnxtxx在 x=e时， t有最小值为 1e， 函数 2 ln xy f x xx ，当 x 0时满足 2 1 0y f x ee ， 因此，当 x 0时，函数图象恒在 x轴上方，排除 D选项 . 答案： A 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 ) 13.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，若向量 ab 与向量 ka b 垂直，则实数 k= . 解析：向量 ab 与向量 ka b 垂直， 它们的数量积为零，即： 0a
10、b k a b . 2210k a k a b b . a 与 b 为两个单位向量， 221ab. 所以 式化为： 1 1 0k k a b 即： 1 1 0k a b 单位向量 a 与 b 不共线， 1 1 0a b a b . 因此： k=1. 答案 ： 1 14.若曲线 y=ax2-lnx在点 (1， a)处的切线平行于 x轴，则 a= . 解析：由题意得 y 2ax-1x， 在点 (1， a)处的切线平行于 x轴， 2a-1=0，得 a=12. 答案： 12. 15.设数列 an是首项为 1，公比为 -2的等比数列，则 a1+|a2|+a3+|a4|= . 解析：数列 an是首项为 1
11、，公比为 -2的等比数列， an=a1 qn-1=(-2)n-1， a1=1， a2=-2， a3=4， a4=-8，则 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15， 答案： 15. 16.A、 B、 C、 D是同一球面上的四个点，其中 ABC是正三角形， AD平面 ABC， AD=4， AB=23 ，则该球的表面积为 . 解析：由题意画出几何体的图形如图， 把 A、 B、 C、 D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与 A的距离 为球的半径， AD=4， AB=2 3 ， ABC是正三角形，所以 AE=2， AO=2 2 . 所求球的表面积为： 4 (2 2 )2=32 . 答案：
12、 32 . 三、解答题 (本大题 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上 ) 17.已知 an中， a1=1，其前 n项和为 Sn，且满足 2221nn nSaS . ( )求证：数列 1nS是等差数列 . 解析： ( )根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列 1nS是等差数列 . 答案： ( )当 n 2时， 21221nn n n nSa S SS ， 即 Sn-1-Sn=2SnSn-1， 则1112nnSS ， 从而 1Sn构成以 1为首项， 2为公差的等差数列 . ( )证明：1 2 31 1 1 32 3 2nS
13、 S S Sn . 解析： ( )求出 1nSn的通项公式，利用放缩法进行证明不等式 . 答案： ( ) 1nS构成以 1为首项， 2为公差的等差数列， 1nS=1+2(n-1)=2n-1，即 121nS n ， 当 n 2时， 1 1 12 1 2 2nSn n n n n . 从而1 2 31 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3112 3 2 2 2 3 1 2 2 2nS S S Sn n n n （ ） . 18.截至 2014年 11月 27目，我国机动车驾驶人数量突破 3亿大关，年均增长超过两千万 .为了解我地区驾驶预考人员的现状，选择 A， B， C 三个驾校进行调查 .
14、参加各驾校科目一预考人数如下： 若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取 24人进行分析，他们的成绩如下： ( )求三个驾校分别应抽多少人？ 解析： ( )求出 A、 B、 C三个驾校的总人数，根据同一比例求出从三个驾校分别应抽的人数 . 答案： ( ) A、 B、 C 三个驾校的人数分别是 150、 200、 250， 从三个驾校分别应抽的人数是 1502 4 61 5 0 2 0 0 2 5 0， 2002 4 81 5 0 2 0 0 2 5 0， 2502 4 1 01 5 0 2 0 0 2 5 0. ( )补全下面的茎叶图，并求样本的众数和极差 . 解析： ( )根据表中数据，补全茎叶
15、图，求出样本的众数与极差 . 答案： ( )根据表中数据，补全茎叶图如图所示： 根据茎叶图，得； 样本的众数是 92， 极差是 99-64=35. (3)在对数据进一步分析时，满足 |x-96.5| 4的预考成绩，称为具有 M特性 .在样本中随机抽取一人， 求此人的预考成绩具有 M特性的概率 . 解析： (3)求出满足 |x-96.5| 4的预考成绩的个数，计算满足条件的概率 . 答案： (3)根据题意，满足 |x-96.5| 4的预考成绩，有 99、 99、 99、 98、 97、 97、 94、 93、93共 9个， 在样本数据中随机抽取一人，则此人的预考成绩具有 M特性的概率是 3892
16、4P . 19.如图，已知 AF平面 ABCD，四边形 ABEF为矩形，四边形 ABCD为直角梯形， DAB=90，AB CD， AD=AF=CD=2， AB=4. ( )求证： AF平面 BCE. 解析： ( )AF BE， BE 平面 BCE， AF 平面 BCE，运用判定定理可判断 . 答案： ( )四边形 ABEF为矩形， AF BE， BE 平面 BCE， AF 平面 BCE， AF平面 BCE. ( )求证： AC平面 BCE. 解析： ( )运用勾股定理可判断 AC BC，再根据线面的转化， AF平面 ABCD， AF BE， BE平面 ABCD， BE AC，得出 AC平面 B
17、CE. 答案： ( )过 C作 CM AB，垂足为 M， AD DC，四边形 ADCM为矩形， AM=MB=2 AD=2， AB=4. AC=2 2 ， CM=2， BC=2 2 ， AC2+BC2=AB2， AC BC， AF平面 ABCD， AF BE， BE平面 ABCD， BE AC， BE 平面 BCE， BC 平面 BCE， BC BE=B， AC平面 BCE. ( )求三棱锥 E-BCF的体积 . 解析： ( )CM平面 ABEF， VE-BCF=VC-BEF得出体积即可判断 . 答案： ( ) AF平面 ABCD， AF CM， CM AB， AF 平面 ABEF， AB 平面
18、 ABEF， AF AB=A， CM平面 ABEF， 1 1 1 2423 2 6E B C F C B E FV V B E C M . 20.已知椭圆 C： x2+2y2=4. ( )求椭圆 C的离心率 . 解析： ( )椭圆 C： x2+2y2=4 化为标准方程为 22142xy ，求出 a， c，即可求椭圆 C 的离心率 . 答案： ( )椭圆 C： x2+2y2=4化为标准方程为 22142xy ， a=2， b= 2 ， c= 2 ， 椭圆 C的离心率 22ce a. ( )设 O为原点，若点 A在直线 y=2上，点 B在椭圆 C上，且 OA OB，求线段 AB长度的最小值 . 解
19、析： ( )先表示出线段 AB长度，再利用基本不等式，求出最小值 . 答案： ( )设 A(t， 2)， B(x0， y0)， x0 0，则 OA OB， 0OA OB ， tx0+2y0=0，002yt x ， x02+2y02 4， 22 2 2 200 0 0 0022202 2 2000 0 02200202222(44444284 0 42)yA B x t y x yxxyxx y xxxxxx ， 因为 20 208 42xx(0 x02 4)，当且仅当 20 2082xx，即 x02=4 时等号成立，所以 |AB|28. 线段 AB长度的最小值为 2 2 . 21.已知函数 1
20、a ln x bfx xx，曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 x+2y-3=0. ( )求 a、 b的值 . 解析： ( )根 据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出 a， b的值 . 答案： ( ) 2 21 1xa l n xbxfxxx . 由于直线 x+2y-3=0的斜率为 12，且过点 (1， 1) 所以 1 122ba b ， 解得 11ab. ( )证明：当 x 0，且 x 1时， 1lnxfx x . 解析： ( )构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数
21、的最值，证得不等式 . 答案： ( )由 (I)知 11ln xfx xx， 所以 2211211l n x xf x l n xx x x . 考虑函数 2 1 )20(xh x l n x xx ， 则 2222221 12 xx xhxx x x ， 所以当 x 1时， h (x) 0而 h(1)=0， 当 x (0， 1)时， h(x) 0可得 21 01 hxx ； 当 x (1， + )时， h(x) 0，可得 21 01 hxx . 从而当 x 0且 x 1时， 01lnxfx x 即 1lnxfx x . 请考生在 22.23.24三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记
22、分 . 22.已知四边形 ABCD 内接于 O， AD： BC=1： 2， BA、 CD 的延长线交于点 E，且 EF 切 O 于F. ( )求证： EB=2ED. 解析： ( )根据圆内接四边形的性质，可得 EAD= C，进而可得 AED CEB，结合相似三角形的性质及已知可得结论 . 答案： ( )四边形 ABCD内接于 O， EAD= C， 又 DEA= BEC， AED CEB， ED： EB=AD： BC=1： 2， 即 EB=2ED. ( )若 AB=2， CD=5，求 EF 的长 . 解析： ( )根据切割线定理可得 EF2=ED EC=EA EB，设 DE=x，由 AB=2，
23、CD=5 构造方程，解得 DE，进而可得 EF 长 . 答案： ( ) EF 切 O于 F. EF2=ED EC=EA EB， 设 DE=x，则由 AB=2， CD=5得： x(x+5)=2x(2x-2)，解得： x=3， EF2=24，即 EF=2 6 . 23.在平面直角坐标系 xoy中，以 O为极点， x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C的极坐标方程为 sin2 =4cos，直线 l 的参数方程为：242222xtyt (t 为参数 )，两曲线相交于 M， N两点 . ( )写出曲线 C的直角坐标方程和直线 l的普通方程 . 解析： ( )根据 x= cos、 y= sin，写出
24、曲线 C 的直角坐标方程；用代入法消去参数求得直线 l的普通方程 . 答案： ( )根据 x= cos、 y= sin，求得曲线 C的直角坐标方程为 y2=4x， 用代入法消去参数求得直线 l的普通方程 x-y-2=0. ( )若 P(-2， -4)，求 |PM|+|PN|的值 . 解析： ( )把直线 l 的参数方程代入 y2=4x，得到 2 1 2 4 02 8tt，设 M， N对应的参数分别为 t1， t2，利用韦达定理以及 |PM|+|PN|=|t1+t2|，计算求得结果 . 答案： ( )直线 l的参数方程为：242222xtyt (t为参数 )， 代入 y2=4x，得到 2 1 2
25、 4 02 8tt，设 M， N对应的参数分别为 t1， t2， 则 t1+t2=12 2 ， t1 t2=48， |PM|+|PN|=|t1+t2|=12 2 . 24.设函数 f(x)=|x-4|+|x-a|(a 1)，且 f(x)的最小值为 3. ( )求 a的值 . 解析： ( )由条件利用绝对值的意义可得 |a-4|=3，再结合 a 1，可得 a的值 . 答案： ( )函数 f(x)=|x-4|+|x-a|表示数轴上的 x对应点到 4、 a对应点的距离之和，它的最小值为 |a-4|=3， 再结合 a 1，可得 a=7. ( )若 f(x) 5，求满足条件的 x的集合 . 解析： ( )把 f(x) 5 等价转化为的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求 . 答案： ( ) 2 1 1 44 7 3 4 72 1 1 7xxf x x x xxx ， （ ） ， ， ，故由 f(x) 5可得， 42 11 5xx ，或 4735x，或 72 11 5xx . 解求得 3 x 4，解求得 4 x 7，解求得 7 x 8， 所以不等式的解集为 3， 8.
