1、GCT 工程硕士（线性代数）数学历年真题试卷汇编 1 及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：39，分数：78.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.（2003 年真题）行列式 （分数：2.00）A.2B.-2C.1D.-13.（2004 年真题）设 =M0，则行列式 （分数：2.00）A.8MB.2MC.-2MD.-8M4.（2005 年真题）设 a，b，c 是方程 x 3 -2x+4=0 的三个根，则行列式 （分数：2.00）A.1B.0C.-1D.-25.（2007 年真题）行列式 （分数：
2、2.00）A.4B.2C.1D.06.（2009 年真题）不恒为零的函数 f(x)= （分数：2.00）A.没有零点B.至多有一个零点C.恰有 2 个零点D.恰有 3 个零点7.（2003 年真题）设 （分数：2.00）A.AB=BAB.AB=B T A TC.|BA|=-8D.|AB|=08.（2003 年真题）设 A 为四阶非零方阵，其伴随矩阵 A * 的秩 r(A * )=0，则秩 r(A)= 。（分数：2.00）A.1 或 2B.1 或 3C.2 或 3D.3 或 49.(2005)已知 x 为 n 维单位向量，x T 为 x 的转置，E n 为单位矩阵，若 G=xx T ，则 G 2
3、 等于 。（分数：2.00）A.GB.GC.1D.E n10.（2006 年真题）设 A= （分数：2.00）A.(1，0，1)B.(1，0，2)C.(2，0，1)D.(2，0，2)11.（2008 年真题）设 是三维列向量， T 是 的转置，若 T = （分数：2.00）A.4B.6C.8D.1212.（2010 年真题）已知 A= （分数：2.00）A.-5B.-1C.1D.513.（2011 年真题）在(x 1 x 2 x 3 ) （分数：2.00）A.3B.2C.-2D.-414.（2004 年真题）设 （分数：2.00）A.B.C.1D.15.（2007 年真题）A * 是 A= （
4、分数：2.00）A.(2，1，1)B.(1，2，1)C.D.16.（2009 年真题）已知 A=(a ii )为三阶矩阵，A T A=E(A T 是 A 的转置矩阵，E 是单位矩阵)，若 a 11 =-1，b=(1，0，0) T ，则方程组 Ax=b 的解 x= 。（分数：2.00）A.(-1，1，0) TB.(-1，0，1) TC.(-1，-1，0) TD.(-1，0，0) T17.（2011 年真题）对任意的，2 阶矩阵 A，B，C，若 ABC=E(E 是单位矩阵)，则下列 5 式中：(i)ACB=E(ii)BCA=Efiii)BAC=E(iv)CBA=E(v)CAB=E 恒成立的有 个。
5、（分数：2.00）A.1B.2C.3D.418.（2004 年真题）若 ， 线性无关，而向量 +2，2+k，3+ 线性相关，则 k= 。（分数：2.00）A.3B.2C.-2D.-319.（2006 年真题）已知向量组 ， 线性无关，则 k1 是向量组 +k，+k，- 线性无关的 。（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分条件，但非必要条件C.必要条件，但非充分条件D.既非充分条件也非必要条件20.（2005 年真题）设向量 1 = （分数：2.00）A. 3 ， 4B. 1 ， 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 3D. 1 ， 2 ， 421.（2008 年真题）若向量组 1 =(1
6、，0，1，1) T ， 2 =(0，-1，t，2) T ， 3 =(0，2，-2，-4) T ， 4 =(2，1，3t-2，0) T 的秩为 2，则 t= 。（分数：2.00）A.1B.0C.-1D.-222.（2010 年真题）设向量组 S= 1 ， 2 ， 3 线性无关，下列向量组中，与 S 等价的有 个。 1 - 3 ， 2 - 3 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 1 - 3 ， 1 + 3 ，2 1 ，3 3 1 - 3 ， 1 + 3 ，2 2 ，3 3（分数：2.00）A.1B.2C.3D.423.（2003 年真题）设 A 为 mn 的非零矩阵，方程组 Ax=0 只有
7、零解的充分必要条件是 。（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关24.（2004 年真题）设矩阵 （分数：2.00）A.x=-8，B 的秩=1B.x=-8，B 的秩=2C.x=8，B 的秩=1D.x=8，B 的秩=225.（2006 年真题）三阶矩阵 A 的秩 r(A)=1， 1 =(-1，3，0) T ， 2 =(2，-1，1) T ， 3 =(5，0，k) T 是方程组 Ax=0 的三个解向量，则常数 k= 。（分数：2.00）A.-2B.-1C.2D.326.（2008 年真题）若线性方程组 （分数：2.00）A.
8、1 或 4B.1 或-4C.-1 或 4D.-1 或-427.（2007 年真题）设 （分数：2.00）A.-2B.-1C.1D.228.（2009 年真题）设向量 1 =(1，2，0) T ， 12 =(2，3，1) T ， 3 =(0，1，-1) T ，=(3，5，k) T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 k= 。（分数：2.00）A.-2B.-1C.1D.229.（2010 年真题）线性方程组 （分数：2.00）A.t0 时无解B.t0 时有无穷多解C.t=0 时无解D.t=0 时有无穷多解30.（2011 年真题）若线性方程组 （分数：2.00）A.-2B.-1C.1D.
9、231.（2003 年真题）已知三阶矩阵 M 的特征值 1 =-1， 2 =0， 3 =1，它们所对应的特征向量为 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，2，0) T ， 3 =(0，0，1) T ，则矩阵 M 是 。 （分数：2.00）A.B.C.D.32.（2005 年真题）设 ，则 A 对应于特征值 2 的一个特征向量是 。 （分数：2.00）A.B.C.D.33.（2006 年真题）矩阵 （分数：2.00）A.x=1，y=1B.x=0，y=1C.x=-1，y=0D.x=0，y=-134.（2008 年真题）设 A * 是 （分数：2.00）A.3B.4C.6D.935.（2004
10、年真题）下列矩阵中，与对角矩阵 相似的矩阵是 。 （分数：2.00）A.B.C.D.36.（2007 年真题）1 与-1 是矩阵 A= （分数：2.00）A.-1B.0C.1D.237.（2009 年真题）若矩阵 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.338.（2010 年真题）下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是 。 （分数：2.00）A.B.C.D.39.（2011 年真题）若 （分数：2.00）A.-2B.-1C.1D.2GCT 工程硕士（线性代数）数学历年真题试卷汇编 1 答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：39，分数：78.00)1.选择题（25 题
11、）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.（2003 年真题）行列式 （分数：2.00）A.2 B.-2C.1D.-1解析：解析：本题考查行列式的展开。由于行列式的各项元素中关于 x 的最高次数为 1，所以产生 x 4 项的每个元素都应含有 x，在 中按第一列展开中含 x 4 的项只有-x ，在 中按第一列展开中含 x 3 项只有 3.（2004 年真题）设 =M0，则行列式 （分数：2.00）A.8M B.2MC.-2MD.-8M解析：解析：本题考查利用行列式的性质计算行列式的值。4.（2005 年真题）设 a，b，c 是方程 x 3 -2x+4=0
12、 的三个根，则行列式 （分数：2.00）A.1B.0 C.-1D.-2解析：解析：本题是一道综合题，主要考查行列式的性质和二次代数方程根与系数的关系。 解法 1 由a，b，c 是方程 x 3 -2x+4=0 的三个根，有 x 3 -2x+4=(x-a)(a-b)(x-c)=x 3 -(a+b+c)x 3 +(bc+ac+ab)x-abc=0。从而 a+b+c=0，于是 故正确选项为 B。 解法 2 方程为 x 3 -2x+4=(x+2)(x 2 -2x+2)=0因a，b，c 是方程 x 3 -2x+4=0 的三个根，不妨设 a=-2，则 b，c 应满足 x 2 -2x+2=0，由二次方程根与方
13、程系数的关系，得 b+c=-(-2)=2，因此有 a+b+c=0。 5.（2007 年真题）行列式 （分数：2.00）A.4B.2C.1D.0 解析：解析：本题考查行列式按行按列展开的性质。 解法 1 项也含 x，因此 常数项是 0。故正确选项为 D。 解法 2 此行列式展开后为关于 x 的多项式，其常数项就对应于与取 x=0 时多项式的值，因此 的常数项是它在 x=0 的值，即6.（2009 年真题）不恒为零的函数 f(x)= （分数：2.00）A.没有零点B.至多有一个零点 C.恰有 2 个零点D.恰有 3 个零点解析：解析：本题考查了行列式的性质。7.（2003 年真题）设 （分数：2.
14、00）A.AB=BAB.AB=B T A TC.|BA|=-8D.|AB|=0 解析：解析：本题考查矩阵的乘法，行列式的性质。 解法 1 因 AB 是 33 矩阵 r(AB)minr(A)，r(B)=2，所以|AB|=0。故正确选项为 D。 解法 2 AB 是 33 矩阵，BA 是 22 矩阵，所以不选 A。 解法38.（2003 年真题）设 A 为四阶非零方阵，其伴随矩阵 A * 的秩 r(A * )=0，则秩 r(A)= 。（分数：2.00）A.1 或 2 B.1 或 3C.2 或 3D.3 或 4解析：解析：本题考查伴随矩阵和矩阵秩的定义。A 为四阶方阵，故 A * 的元素为矩阵 A 的
15、所有三阶子式，由 r(A * )=0 知 A * 的元素都为 0，故 A 的任意一个三阶子式为 0，由矩阵秩的定义知 r(A)3。故正确选项为 A。9.(2005)已知 x 为 n 维单位向量，x T 为 x 的转置，E n 为单位矩阵，若 G=xx T ，则 G 2 等于 。（分数：2.00）A.G B.GC.1D.E n解析：解析：本题考查特殊矩阵的乘法运算。解法 1 注意到 x 为 n 维单位向量，所以有 x T x=1，因为G=xx T ，所以 G 2 =(xx T )(xx T )=x(x T x)x T =xx T =G。 故正确选项为 A。 解法 2 特殊值代入法，令 10.（2
16、006 年真题）设 A= （分数：2.00）A.(1，0，1)B.(1，0，2)C.(2，0，1) D.(2，0，2)解析：解析：本题考查矩阵的性质和运算。由 AQ+E=A 2 +Q 得 AQ-Q=A 2 -E，即(A-E)Q=(A-E)(A+E)。由A= ，得 A-E= ，显然 A-E 可逆，故得 Q= 11.（2008 年真题）设 是三维列向量， T 是 的转置，若 T = （分数：2.00）A.4B.6 C.8D.12解析：解析：本题考查矩阵的转置和乘法运算。 解法 1 设 = ，则 T =(a，b，c)，所以 从而 T =(a，b，c) =a 2 +b 2 +c 2 =1+1+4=6。
17、 故正确选项为 B。 解法 2 注意 T = 的第 2 行为第 1 行的相反数，第 3 行是第 1 行的-2 倍，且第 1 行与第 1 列的元素一致。从而得= ，由此得 T =(1，-1，-2) 12.（2010 年真题）已知 A= （分数：2.00）A.-5 B.-1C.1D.5解析：解析：本题考查了矩阵的运算、两个矩阵相乘秩的性质以及矩阵秩的求法。AB+B=(A+E)B，因所以 A+E 可逆，从而 r(AB+B)=r(B)=2 而 要使 r(B)=2，需第二、三行成比例，即13.（2011 年真题）在(x 1 x 2 x 3 ) （分数：2.00）A.3B.2C.-2D.-4 解析：解析：
18、本题考查矩阵的乘法。(x 1 x 2 x 3 ) =(x 1 +2x 2 ，4x 2 -3x 3 ，-2x 1 -x 2 +5x 3 ) 14.（2004 年真题）设 （分数：2.00）A.B. C.1D.解析：解析：本题考查矩阵乘法运算、矩阵乘积的逆及特殊矩阵的逆矩阵求法。C=AB -1 ，故 C -1 =BA -1 ，A 为对角矩阵，易写出其逆矩阵 15.（2007 年真题）A * 是 A= （分数：2.00）A.(2，1，1)B.(1，2，1)C. D.解析：解析：本题考查了伴随矩阵的概念、矩阵及伴随矩阵的关系，以及矩阵的乘法运算。因 A= ，所以|A|=2，从而 A 可逆。由 A *
19、=|A|A -1 =2A -1 ，有(A * ) -1 = 又由题设 A * X=A，得(A * ) -1 A * X=(A * ) -1 A，于是 16.（2009 年真题）已知 A=(a ii )为三阶矩阵，A T A=E(A T 是 A 的转置矩阵，E 是单位矩阵)，若 a 11 =-1，b=(1，0，0) T ，则方程组 Ax=b 的解 x= 。（分数：2.00）A.(-1，1，0) TB.(-1，0，1) TC.(-1，-1，0) TD.(-1，0，0) T 解析：解析：本题考查了矩阵的运算(转置、乘法、逆矩阵)与解线性方程组。 解法 1 设 A=(a ii )= ，因 A T A=
20、E，所以 A -1 =A T 。 由 A -1 =E 得，A T =E。 由 A T =E 可得，1+a 12 2 +a 13 2 =1， 所以 a 12 =0，a 13 =0。 由 A T A=E 可得，1+a 21 2 +a 31 2 =1， 所以 a 21 =0，a 31 =0。 因此 A T = ，方程 Ax=b 两边左乘 A T ，得 A T Ax=A T b， 从而 。 故正确选项为 D。 解法 2 用特殊矩阵代入法。设 ， 它满足题设条件 A T A=E，显然 A -1 =A。 方程 Ax=b 两边左乘 A -1 得 17.（2011 年真题）对任意的，2 阶矩阵 A，B，C，若
21、 ABC=E(E 是单位矩阵)，则下列 5 式中：(i)ACB=E(ii)BCA=Efiii)BAC=E(iv)CBA=E(v)CAB=E 恒成立的有 个。（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：本题主要考查矩阵乘法的结合律和逆矩阵的概念。由于矩阵 A，B，C 均为 n 阶矩阵，因此BC 和 AB 也为 n 阶方阵，根据矩阵乘法的结合律，由 ABC=E 有 A(BC)=E 和(AB)C=E，后两个式子表明 A -1 =BC 和 C -1 =AB，因此有 BCA=E 和 CAB=E，即(ii)和(v)成立。 故正确选项为 B。注对于 n 阶矩阵 A，B，一般 ABBA，例如 18
22、.（2004 年真题）若 ， 线性无关，而向量 +2，2+k，3+ 线性相关，则 k= 。（分数：2.00）A.3B.2C.-2D.-3 解析：解析：本题主要考查向量组的线性相关性和线性无关性。 解法 1 考虑 x 1 (+2)+x 2 (2+k)+x 3 (3+)=0，即(x 1 +x 3 )+(2x 1 +2x 2 )+(kx 2 +3x 3 )=0。因 ， 线性无关，所以 又由向最组 +2，2+k，3+ 线性相关，所以有 x 1 ，x 2 ，x 3 不全为 0，故齐次线性方程组 ， 有非零解，因而 =6+2k=0，解得 k=-3。故正确选项为 D。 解法 2 (+2，2+k，3+)=(，
23、) 由题设， 线性无关，向量+2，2+k，3+ 线性相关，可得矩阵(，)的秩等于 3，矩阵(+2，2+k，3+)的秩小于 3，因此矩阵 的秩必小于 3 (否则，矩阵(+2，2+k，3+ 的秩等于 3)，从而有 解得 k=-3。 解法 3 特殊值代入法。把， 看作三维单位向量， 因向量组 +2，2+k，3+ 线性相关，所以 19.（2006 年真题）已知向量组 ， 线性无关，则 k1 是向量组 +k，+k，- 线性无关的 。（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分条件，但非必要条件C.必要条件，但非充分条件 D.既非充分条件也非必要条件解析：解析：本题考查向量组的线性相关性及性质。 20.（2
24、005 年真题）设向量 1 = （分数：2.00）A. 3 ， 4B. 1 ， 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 3D. 1 ， 2 ， 4 解析：解析：本题考查向量组线性无关性和向量组的极大线性无关组的求法。 解法 1 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )= 21.（2008 年真题）若向量组 1 =(1，0，1，1) T ， 2 =(0，-1，t，2) T ， 3 =(0，2，-2，-4) T ， 4 =(2，1，3t-2，0) T 的秩为 2，则 t= 。（分数：2.00）A.1 B.0C.-1D.-2解析：解析：本题考查向量组秩的概念与计算。 解法 1 而向量组 1 ， 2 ， 3
25、 ， 4 的秩为 2，则必须 t-1=0，即 t=1。故正确选项为 A。 解法 2 由于向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为2，且 1 = ， 3 = 线性无关，所以 2 = 可由 1 ， 2 线性表出，而 1 的第 1 个元素非零， 3 ， 2 的第 1 个元素为零，所以可得 2 与 3 = 22.（2010 年真题）设向量组 S= 1 ， 2 ， 3 线性无关，下列向量组中，与 S 等价的有 个。 1 - 3 ， 2 - 3 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 1 - 3 ， 1 + 3 ，2 1 ，3 3 1 - 3 ， 1 + 3 ，2 2 ，3 3（分数：2.00）A.
26、1B.2 C.3D.4解析：解析：本题考查了向量组等价的性质，利用结论“设向量组 S 1 向量组 S 2 等价，则它们的秩相等，即 r(S 1 )=r(S 2 )。” 由此结论可得：若 r(S 1 )r(S 2 )，则向量组 S 1 与向量组 S 2 不等价，中的向量都可由向量组 S 表示，又 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以向量组 S 的秩等于 3。向量组含两个向量，它的秩最大是 2，向量组中的 1 - 3 和 1 + 3 可由向量组中的 2 1 及 3 3 表示，所以它的秩是 2，因此向量组和向量组都不可能与向量组 S= 1 ， 2 ， 3 等价。对于向量组，设 1 = 1 ， 2 =
27、1 + 3 ， 3 = 1 + 2 + 3 ，于是有( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 因 可逆，于是有( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 从而可得 1 ， 2 ， 3 与 1 ， 2 ， 3 可以相互线性表示，因此向量组与向量组 S 等价。 对于向量组，设 1 = 1 - 3 ， 2 - 1 + 3 ， 3 =2 2 ， 4 =3 3 ，易得 1 = ， 2 ， 3 = 23.（2003 年真题）设 A 为 mn 的非零矩阵，方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是 。（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关 B.A 的列向量线性相关C.A 的行向
28、量线性无关D.A 的行向量线性相关解析：解析：本题考查齐次线性方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件和向量组的线性无关性与矩阵秩的关系。Ax=0 只有零解的充分必要条件是 r(A)=n。当 mn 时，若 A 的行向量线性无关，则 r(A)=m，这时，Ax=0 一定有非零解，此时，A 的行向量组线性无关不能保证 Ax=0 只有零解，只有 A 的列向量组线性无关时，r(A)=n，这正是 Ax=0 只有零解的充分必要条件。故正确选项为 A。24.（2004 年真题）设矩阵 （分数：2.00）A.x=-8，B 的秩=1 B.x=-8，B 的秩=2C.x=8，B 的秩=1D.x=8，B 的秩=2解析：
29、解析：本题考查齐次线性方程组有非零解的充要条件及齐次线性方程组解的结构。B0 而 AB=0，所以，Ax=0 有非零解，从而一定有 r(A)3。 当25.（2006 年真题）三阶矩阵 A 的秩 r(A)=1， 1 =(-1，3，0) T ， 2 =(2，-1，1) T ， 3 =(5，0，k) T 是方程组 Ax=0 的三个解向量，则常数 k= 。（分数：2.00）A.-2B.-1C.2D.3 解析：解析：本题考查齐次线性方程组解的结构。 解法 1 因 r(A)=1，所以 Ax=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，因而 1 ， 2 ， 3 线性相关，而 1 ， 2 ， 3 ，从而有 ，即 k
30、=3。故正确选项为 D。 解法 2 由 1 =(-1，3，0) T ， 2 =(2，-1，1) T ， 3 =(5，0，k) T 线性相关，从而 26.（2008 年真题）若线性方程组 （分数：2.00）A.1 或 4B.1 或-4C.-1 或 4 D.-1 或-4解析：解析：本题考查齐次线性方程组有非零解的条件和简单行列式求值。 解法 1 方程组 有无穷多解，则其系数矩阵的行列式等于零，即 所以 a=-1 或 a=4。故正确选项为 C。 解法 2 本题也可以从系数矩阵的秩考虑，为使方程组 有无穷多解，须取 a，使得系数矩阵 的秩小于未知量的个数3。27.（2007 年真题）设 （分数：2.0
31、0）A.-2B.-1C.1D.2 解析：解析：本题考查非齐次线性方程组有解的充要条件。 当 =2 时，得 这时，r(A)28.（2009 年真题）设向量 1 =(1，2，0) T ， 12 =(2，3，1) T ， 3 =(0，1，-1) T ，=(3，5，k) T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 k= 。（分数：2.00）A.-2B.-1C.1 D.2解析：解析：本题考查了向量可由向量组线性表示的概念和非齐次线性方程组有解的充要条件。记 A=( 1 ， 2 ， 3 ) =( 1 ， 2 ， 3 ，)， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，即线性方程组 1 x 1 + 2 x 2
32、 + 3 x 3 = 有解，而 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 有解的充要条件是 =r(A)。 要使 29.（2010 年真题）线性方程组 （分数：2.00）A.t0 时无解B.t0 时有无穷多解C.t=0 时无解D.t=0 时有无穷多解 解析：解析：本题考查了非齐次线性方程组有解的充分必要条件和非齐次线性方程组解的结构。 当t=0 时，r(A)= =23(3 是未知量的个数)，线性方程组有无穷多解。当 t0 时，r(A)=30.（2011 年真题）若线性方程组 （分数：2.00）A.-2 B.-1C.1D.2解析：解析：本题考查非齐次线性方程组有解的充要条件。非齐次线性方程组
33、有解的充要条件是其增广矩阵 与系数矩阵 A 的秩相等。 因为线性方程组有解，所以 31.（2003 年真题）已知三阶矩阵 M 的特征值 1 =-1， 2 =0， 3 =1，它们所对应的特征向量为 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，2，0) T ， 3 =(0，0，1) T ，则矩阵 M 是 。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题考查特征值、特征向量的定义，特殊矩阵逆的求法，矩阵的乘法运算。M 1 =- 1 ，M 2 =0 2 ，M 3 = 3 ，即 M( 1 ， 2 ， 3 )=(- 1 ，0 2 ， 3 )，于是有 32.（2005 年真题）设 ，则 A 对应于特征
34、值 2 的一个特征向量是 。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题考查特征向量的求法。 解法 1 设 A 对应于特征值 2 的一个特征向量是 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 而 故正确选项为 D。 解法 2 本题利用选项代入法也可迅速得出正确的选项。 ， 由特征值的性质知只需用 33.（2006 年真题）矩阵 （分数：2.00）A.x=1，y=1B.x=0，y=1 C.x=-1，y=0D.x=0，y=-1解析：解析：本题考查特殊矩阵的特征值和简单矩阵特征值的求法和性质。 解法 1 因为矩阵 B 是对角矩阵，所以它的特征值是其对角元素 2，y，-1，由于 且由题
35、设 =-1 是矩阵 A 的特征值，所以 =-1 满足 (-x)-1=0，解得 x=0，由此易知 A 的特征值为 2，1，-1，由条件知 y=1。故正确选项为 B。 解法 2 矩阵 A 和 B 的特征值对应相等，则这两个矩阵的特征多项式相等，即 (2-)(-x)-1=-(2-)(y-)(1+) (2-)( 2 -x-1)=(2-)( 2 -(y-1)-y)，由于 是任意的，比较 的系数得 y=1，x-y-1=0 即 x=0，y=1。 解法 3 因 A 的特征值和 B 的特征值对应相等，所以|A|=|B|。又矩阵的主对角元素之和等于矩阵的行列式，所以这两个矩阵主对角元素之和相等，从而有 34.（2
36、008 年真题）设 A * 是 （分数：2.00）A.3 B.4C.6D.9解析：解析：本题考查特殊矩阵行列式与特征值的计算、伴随矩阵与逆矩阵的关系和特征值的性质。因为 ， 所以|A|=135=15，且 1 =1， 2 =3， 3 =5。所以 A * 的特征值为 15， (理由见如下注)。故正确选项为 A。注如果 A 可逆，设 是 A 的特征值，x 是 A 的属于 的特征向量，即Ax=x，两边左乘 A -1 ，x=A -1 ，把 A -1 = 这表明如果 是 A 的特征值，则 35.（2004 年真题）下列矩阵中，与对角矩阵 相似的矩阵是 。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：本
37、题考查矩阵可对角化的充分必要条件。设 n 阶矩阵与 n 阶对角矩阵相似的充要条件是该矩阵的每一个特征值的重数等于该特征值所对应的线性无关的特征向量的个数，本题中四个选项中的矩阵的特征值 1 = 2 =1 都是二重特征值，需要从中找出一个对应两个线性无关的特征向量的矩阵，为此，计算 r(A- 1 E)等。A- 1 E= ，显然 r(A- 1 E)=2，这表明矩阵 A 属于 1 = 2 =1线性无关的特征向量只有一个。B- 1 E= ，显然 r(B- 1 E)=2，这表明矩阵 B 属于 1 = 2 =1 线性无关的特征向量只有一个。C- 1 E= 36.（2007 年真题）1 与-1 是矩阵 A=
38、 （分数：2.00）A.-1B.0 C.1D.2解析：解析：本题考查特征值性质和矩阵可对角化的条件。 1 =1， 2 =-1， 3 是 A 的特征值，则 1 + 2 + 3 =tr(A)=3+(-1)+(-3)=-1，因而 3 =-1，即 2 = 3 =-1 是|A- 2 E|=0 的二重根。37.（2009 年真题）若矩阵 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：本题考查了矩阵特征值的求法、相似矩阵的概念及相似矩阵的性质。 解法 1 令 得矩阵 B 的特征值为 1 = 2 =-1， 3 =1。 因 A 是 B 的相似矩阵，所以 A 的特征值也是 1 = 2 =-1， 3 =1
39、。 ， r(B- 1 E)-1，因此 1 = 2 =-1 对应于两个线性无关的特征向量，所以 B 可对角化，进而 A 也可对角化，从而可设 这时 r(A+E)=1。故正确选项为 B。 解法 2 由于 A 是 B 的相似矩阵，所以存在可逆矩阵 P，使得 A=P -1 BP，于是 A+E=P -1 BP+E=P -1 BP+P -1 P=P -1 (B+E)P。 从而r(A+E)=r(P -1 (B+E)P)=r(B+E)。又 38.（2010 年真题）下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是 。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查了矩阵与对角矩阵相似的条件。选项 A 中的矩阵有三个不同特征值，可以对角化。对于选项 B， 故此矩阵的特征值为 1(二重)和 2。当 =1 时， 所以重特征值 =1 只对应一个线性无关的特征向量，故选项 B 中的矩阵不能对角化。故正确选项为 B。 注：选项 C 中的矩阵是对称矩阵，所以可以对角化。对于选项 D， 故此矩阵的特征值为 1(二重)和-2。当 =1 时，39.（2011 年真题）若 （分数：2.00）A.-2 B.-1C.1D.2解析：解析：本题主要考查了相似矩阵的性质。根据题意，=2 是矩阵 的一个二重特征值，由于矩阵 A 与对角阵 B 相似，所以 =2 也是矩阵 A 的一个二重特征值，且 r(A-2E)=1。
