1、GCT工程硕士（几何与三角）数学历年真题试卷汇编 2及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：25，分数：50.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.（2003 年真题）如图 31 所示， 正方形 ABCD的面积为 1，E 和 F分别是 AB和 BC的中点，则图中阴影部分的面积为 。 （分数：2.00）A.B.C.D.3.（2005 年真题）在四边形 ABCD中，对角线 AC，BD 垂直相交于 O点。若 AC=30，BD=36，则四边形 ABCD的面积为 。（分数：2.00）A.1080B.840C
2、.720D.5404.（2006 年真题）已知长方形的长为 8，宽为 4，将长方形沿一条对角线折起压平，如图 37 所示，则阴影三角形的面积等于 。 （分数：2.00）A.8B.10C.12D.145.（2009 年真题）如图 311， 长方形 ABCD中，AB=a，BC=b(ba)，若将长方形 ABCD绕 A点顺时针旋转 90，则线段 CD扫过的面积(阴影部分)等于 。 （分数：2.00）A.B.C.D.6.（2011 年真题）如图 315 所示，MNP 是正ABC 的内切圆中的一个内接正三角形，已知阴影部分的面积为 1500cm 2 ，则正 AABC的面积等于 cm 2 。 （分数：2.0
3、0）A.2200B.2100C.2000D.19007.（2004 年真题）ABC 中，AB=5，AC=3，A=x，该三角形 BC边上的中线长是 x的函数 y=f(x)，则当x在(0，)中变化时，函数 f(x)取值的范围是 。（分数：2.00）A.(0，5)B.(1，4)C.(3，4)D.(2，5)8.（2010 年真题）如图 321 所示， 正三角形 ABC中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F，G 分别是DE，BC 的中点，已知 BD=8cm，CE=6cm，则 FG= cm。 （分数：2.00）A.B.C.D.9.（2006 年真题）如图 326 所示， 垂直于地平面放置着一块半圆形的
4、木板，使得太阳的光线恰与半圆的直径 AB垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面，已知阴影的面积与半圆面积之比等于（分数：2.00）A.15B.30C.45D.6010.（2011 年真题）三个边长为 1的正方形拼成如图 329 所示的图形，图中有两条线段相交的锐角为，tan= 。 （分数：2.00）A.B.C.D.111.（2003 年真题）正圆锥的全面积是侧面积的 （分数：2.00）A.B.C.D.12.（2006 年真题）一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图 333 所示， 将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球(假设原水量不受损失)，则容器中水面的高度
5、为 。 （分数：2.00）A.B.C.D.13.（2008 年真题）一个长方体的对角线长为 （分数：2.00）A.22B.24C.26D.2814.（2010 年真题）一个封闭透明的正四面体容器内装有水，正四面体的一个面放置在水平桌面时，体内水面高度为四面体高 h的 ，现将它倒置使原底面平行于水平桌面，此时水面的高度与 h的比值为 。（分数：2.00）A.B.C.D.15.（2005 年真题）已知 a0，cos= 的值是 。 （分数：2.00）A.B.C.D.16.（2008 年真题）如图 338 所示，在正方形网络中，A，B，C 是三个格点，设BCA=，则 tan 的值是 。 （分数：2.0
6、0）A.-1B.C.D.117.（2010 年真题）如果 sin(+)=08，cos(-)=03，那么(sina-cosa)(sin-cos)= 。（分数：2.00）A.06B.05C.-05D.-0618.（2003 年真题）设点(x 0 ，y 0 )在圆 x 2 +y 2 =1的内部，则直线 x 0 x+y 0 y=1和圆 。（分数：2.00）A.不相交B.有一个交点C.有两个交点且两交点间的距离小于 2D.有两个交点且两交点间的距离大于 219.（2006 年真题）P(a，b)是第一象限内的矩形 ABCD(含边界)中的一个动点，A，B，C，D 的坐标如图344 所示， 则 的最大值与最小
7、值依次是 。 （分数：2.00）A.B.C.D.20.（2010 年真题）如果图 346 中给出了平面直角坐标系中直线 l：y=ax+b 的图象，那么坐标为(a，b)的点在 。 （分数：2.00）A.第象限B.第象限C.第象限D.第象限21.（2005 年真题）已知 P为反比例函数 （分数：2.00）A.B.1C.D.22.（2008 年真题）在平面直角坐标系中，已知两点 A(cos110,sin110)，B(cos50，sin50)，则由坐标原点 O到线段 AB中点 M的距离是 。 （分数：2.00）A.B.C.D.23.（2011 年真题） 如图 353，面积为 9cm 2 的正方形 EF
8、GH在面积为 25cm 2 的正方形 ABCD所在的平面上移动，始终保持 EFAB，记线段 CF的中点为 M，DH 的中点为 N，则线段 MN的长度是 cm。 （分数：2.00）A.B.C.D.24.（2006 年真题）在平面 上给定线段 AB=2，在 上的动点 C，使得 A，B，C 恰为一个三角形的 3个顶点，且线段 AC与 BC的长是两个不等的正整数，则动点 C所有可能的位置必定在某 上。（分数：2.00）A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.直线25.（2009 年真题）设双曲线 （分数：2.00）A.外离B.外切C.相交D.内切GCT工程硕士（几何与三角）数学历年真题试卷汇编 2答案解析(总
9、分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：25，分数：50.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.（2003 年真题）如图 31 所示， 正方形 ABCD的面积为 1，E 和 F分别是 AB和 BC的中点，则图中阴影部分的面积为 。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：本题主要考查了三角形重心与相似三角形的性质，及三角形的面积公式和求平面图形面积的一种常用方法。如图 32 所示， 因为 G是三角形 BCD的重心，所以 根据对称性可知AH=HG=GC，又DAH，DHG 与DGC 同高，从而DAH，
10、DHG 与DGC 的面积相等，都是 。由于GFC在底边 FC上的高是DFC 在底边 FC上的高的 ，所以GFC 的面积是DFC 面积的 ，从而是DGC 面积的一半，为 综上所述，图中空白部分的面积为 ，从而阴影部分的面积为3.（2005 年真题）在四边形 ABCD中，对角线 AC，BD 垂直相交于 O点。若 AC=30，BD=36，则四边形 ABCD的面积为 。（分数：2.00）A.1080B.840C.720D.540 解析：解析：本题主要考查了四边形对角线的概念与三角形的面积公式，画出定性图是处理此类问题的关键。 如图 34，易知四边形 ABCD的面积等于ABD 与 ACBD的面积之和，其
11、值为4.（2006 年真题）已知长方形的长为 8，宽为 4，将长方形沿一条对角线折起压平，如图 37 所示，则阴影三角形的面积等于 。 （分数：2.00）A.8B.10 C.12D.14解析：解析：本题是几何与代数的简单综合题主要考查几何关系的判断及简单应用问题列方程的方法，牵扯到的知识点有全等三角形、勾股定理、三角形面积等。 如图 38 所示，在直角ABE 与直角CDE 中，因为AEB=CED，且 AB=CD，所以ABECDE，所以 BE=DE，AE=CE，设 BE=DE=x，则AE=CE=8-x，由勾股定理得(8-x) 2 +4 2 =x 2 ，解得 x=5，又因为 CD是BED 在 BE
12、边上的高，所以 5.（2009 年真题）如图 311， 长方形 ABCD中，AB=a，BC=b(ba)，若将长方形 ABCD绕 A点顺时针旋转 90，则线段 CD扫过的面积(阴影部分)等于 。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题考查了面积计算中的常用方法(割补法)及圆的面积计算公式。 解法 1 如图 312(a)所示， 将图中左上角的曲边三角形补到右下角时，易知阴影部分的面积是两个半径分别为 与 b的四分之一圆的面积之差，即 故正确选项为 A。 解法 2 所求面积为圆弧 CC“及线段 C“D“，BD“，CB围成的面积(第一部分)减去圆弧 DD“及线段 BD“，BC，CD 所围
13、成的面积(第二部分)。 如图 312(b)所示，连 AC，AC“，第一部分面积为扇形 ACC“的面积加上两个直角三角形的面积，因 ZCAC“=90，故第一部分面积为 第二部分为长方形 ABCD的面积加上扇形 ADD“的面积，其面积为 ，所求面积为6.（2011 年真题）如图 315 所示，MNP 是正ABC 的内切圆中的一个内接正三角形，已知阴影部分的面积为 1500cm 2 ，则正 AABC的面积等于 cm 2 。 （分数：2.00）A.2200B.2100C.2000 D.1900解析：解析：本题主要考查了相似三角形的相似比与面积比的关系，考查了圆的内接(外切)正三角形的重心与圆的圆心的关
14、系。 如图 316，设ABC 与MNP 的高分别为 H，h，圆的半径为 R，则 所以 H=2h，从而 S ABC =4S MNP 。由题意，S ABC -S MNP =1500，即 S ABC - 7.（2004 年真题）ABC 中，AB=5，AC=3，A=x，该三角形 BC边上的中线长是 x的函数 y=f(x)，则当x在(0，)中变化时，函数 f(x)取值的范围是 。（分数：2.00）A.(0，5)B.(1，4) C.(3，4)D.(2，5)解析：解析：本题主要考查了三角形中线的概念与性质，考查利用极限的思想处理问题的方法。 解法 1 如图 318 所示，点 D是 Bc边上的中点，当 x0
15、+ 时，CC“，DD“，由于 AB=5，AC“=3，且点D“是 BC“的中点，所以 AD“=4，即 类似地，可以说明 =1，所以 BC边上的中线长 f(x)的变化范围是(1，4)。故正确选项为 B。 解法 2 如图 319 所示， 8.（2010 年真题）如图 321 所示， 正三角形 ABC中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F，G 分别是DE，BC 的中点，已知 BD=8cm，CE=6cm，则 FG= cm。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题主要考查了正三角形的概念与性质，考查了选择题的特殊值代入法及余弦定理或点的坐标与距离的关系。 解法 1 取正三角形的边长为 8
16、cm，这时 D与 A重合，点 F在边 AC上(见图 322)。 由题设知 CF=7cm，CG=4cm，C=60，根据余弦定理，得 GF 2 =4 2 +7 2 -247cos60=37。 于是 GF= 故正确选项为 B。 解法 2 取正三角形边长为 a(a8)cm，以 G为原点，BC 所在直线为 x轴建立平面直角坐标系(见图 323)， 则 ，所以 DE的中点为 ，从而 9.（2006 年真题）如图 326 所示， 垂直于地平面放置着一块半圆形的木板，使得太阳的光线恰与半圆的直径 AB垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面，已知阴影的面积与半圆面积之比等于（分数：2.00）A.15B.30
17、C.45D.60解析：解析：本题主要考查了椭圆的面积公式和特殊角的三角函数值，考查实际问题中的基本三角函数的计算。 如图 327 所示，设半圆的半径 OD=R，则半椭圆的一条半轴为 OA=R，记半椭圆的另一半轴为 OC=b，半圆的面积是 S，半椭圆的面积是 S“，设光线与地平面所成的角为 ，根据题意可知10.（2011 年真题）三个边长为 1的正方形拼成如图 329 所示的图形，图中有两条线段相交的锐角为，tan= 。 （分数：2.00）A.B.C.D.1 解析：解析：本题主要考查了三角形外角与内角的关系、三角函数的概念、两角和的三角公式。 如图 330 所示，角 是ABC 的外角，所以 =A
18、+B。11.（2003 年真题）正圆锥的全面积是侧面积的 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题主要考查了圆锥的侧面积公式、底面积公式，以及扇形的半径、弧长与圆心角的关系。设圆锥的底面半径为 R，母线长为 l，则该圆锥的底面积为 R 2 ，侧面积为 .2R=Rl，根据题意可得 R 2 +Rl= 解得 l=4R，所以该网锥侧面展开后的扇形所对圆心角的大小为 12.（2006 年真题）一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图 333 所示， 将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球(假设原水量不受损失)，则容器中水面的高度为 。 （分数：2.00）A.B.
19、C.D. 解析：解析：本题主要考查了圆柱体和球体轴截面的概念与它们的体积公式。由图可知球体的半径是5cm，所以它的体积为 5 3 cm 3 ，将球取出后，假设水面下降了 hcm，因为圆柱的底面半径为10cm，所以空出部分的体积等于 10 2 hcm 3 ，根据题意 解得 ， 所以容器中水面的高度为 13.（2008 年真题）一个长方体的对角线长为 （分数：2.00）A.22B.24 C.26D.28解析：解析：本题是代数与几何的简单综合题主要考查了长方体的对角线与棱的关系、表面积公式和简单的代数运算。 14.（2010 年真题）一个封闭透明的正四面体容器内装有水，正四面体的一个面放置在水平桌面
20、时，体内水面高度为四面体高 h的 ，现将它倒置使原底面平行于水平桌面，此时水面的高度与 h的比值为 。（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题主要考查了正四面体(三棱锥)的体积与其高的关系，设两个正四面体的高分别为 h 1 ，h 2 ，体积分别为 V 1 ，V 2 ，则 。记正四面体容器的体积是 V，由题设可知水的体积是 所以要求水面的高度与 h的比值是 15.（2005 年真题）已知 a0，cos= 的值是 。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题主要考查了三角函数的取值范围、同角关系式与两角和的余弦公式。 解法 1 因为cos= ，所以 sin 2 =1- 0故
21、 sin=0，从而 cos 2 =1，又因为 a0，所以 cos= =-1，从而 故正确选项为 A。 解法 2 因为|cos|= =1，所以|cos|=1，又因为a0，所以 cos= =-1，sin=0，从而 16.（2008 年真题）如图 338 所示，在正方形网络中，A，B，C 是三个格点，设BCA=，则 tan 的值是 。 （分数：2.00）A.-1 B.C.D.1解析：解析：本题主要考查了勾股定理与三角形的面积公式，考查了直角三角形中三角函数的定义与两角和的正切公式。 解法 1 设正方形网格的边长为 1，由图 338 可知 AC= ，AB=5由于ACBCsinC=AB1，所以 sinC
22、= 从而得 tan=-1。故正确选项为 A。 解法 2 由图 338 可知tanA= ，所以 tan=tan(-A-B)=-tan(A+B) 解法 3 如图 339 所示， 设=+，则 tan=2，tan=3，于是 解法 4 设正方形网格的边长为 1，由图 338 可知 AC= 。AB=5，sinB= ，由正弦定理得 ，所以 sin=sinC= ，从而得 tan=-1。 注：解法 4利用了正弦定理。 解法 5 由图 338，利用余弦定理可得 AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC.BC.cos。 17.（2010 年真题）如果 sin(+)=08，cos(-)=03，那么(sina-cos
23、a)(sin-cos)= 。（分数：2.00）A.06B.05C.-05 D.-06解析：解析：本题主要考查了两角和及两角差的三角函数公式。 因为 sin(+)=08，cos(-)=03， 所以 (sin-cos)(sin-cos) =sinasin-sincos-cossin+coscos =coscos+sinsin-sincos+cossin =cos(a-)-sin(a+) =03-08 =-05 故正确选项为 C。18.（2003 年真题）设点(x 0 ，y 0 )在圆 x 2 +y 2 =1的内部，则直线 x 0 x+y 0 y=1和圆 。（分数：2.00）A.不相交 B.有一个交
24、点C.有两个交点且两交点间的距离小于 2D.有两个交点且两交点间的距离大于 2解析：解析：本题主要考查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，及判断直线与圆的位 解法 1 根据题意，点(x 0 ，y 0 )在圆 x 2 +y 2 =1的内部，所以 1，由于圆 x 2 +y 2 =1的圆心(0，0)到直线 x 0 x+y 0 y=1的距离为 d= ，所以距离 d大于圆的半径 1，从而直线与圆不相交。故正确选项为 A。 解法 2 特殊值代入法。取 x 0 = ，y 0 =0，则点(x 0 ，y 0 )= 在 x 2 +y 2 =1内，这时直线 x 0 x+y 0 y=1变为 x=2，此直线与圆 x
25、 2 +y 2 =1没有交点(如图 342 所示)。 19.（2006 年真题）P(a，b)是第一象限内的矩形 ABCD(含边界)中的一个动点，A，B，C，D 的坐标如图344 所示， 则 的最大值与最小值依次是 。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题主要考查了直线斜率的概念与计算，考查了处理实际问题的能力与方法。由于过点P(a，b)和原点的直线方程为 是该直线的斜率，由图 344 可知， 的最小值为 OC的斜率、最大值为 OA的斜率，所以 的最大值为 ，最小值为 故正确选项为 A。20.（2010 年真题）如果图 346 中给出了平面直角坐标系中直线 l：y=ax+b 的图
26、象，那么坐标为(a，b)的点在 。 （分数：2.00）A.第象限B.第象限 C.第象限D.第象限解析：解析：本题主要考查了直线的斜截式方程及平面中点的坐标。由图 346 可知，直线 l的斜率a0，其在 y轴上的截距 b0，所以坐标为(a，b)的点在第象限。故正确选项为 B。21.（2005 年真题）已知 P为反比例函数 （分数：2.00）A.B.1C. D.解析：解析：本题主要考查了曲线方程的概念与三角形面积公式。 如图 348 所示，MPN 的面积为 P点的横坐标 x与纵坐标 y，的乘积的一半，由于点 P在曲线 y=22.（2008 年真题）在平面直角坐标系中，已知两点 A(cos110,s
27、in110)，B(cos50，sin50)，则由坐标原点 O到线段 AB中点 M的距离是 。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：本题是解析几何与平面几何的简单综合题，考查了三角函数的同角关系式、圆的方程、圆心角的概念、等边三角形的性质。因为 cos 2 110+sin 2 110=cos 2 50+sin 2 50=1。所以点A(cos110，sin110)，B(cos50，sin50)位于圆心在原点 O，半径为 1的圆上，且圆心角AOB=60，所以 O到 AB中点 M的距离正好是边长为 1的正三角形的高 h(加图 350 所示)， 即h=sin60= 23.（2011 年真题）
28、 如图 353，面积为 9cm 2 的正方形 EFGH在面积为 25cm 2 的正方形 ABCD所在的平面上移动，始终保持 EFAB，记线段 CF的中点为 M，DH 的中点为 N，则线段 MN的长度是 cm。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题主要考查了特殊值代人法及两点间的距离公式。 考虑如图 354 所示的特殊位置，并建立如图 354 所示的坐标系,由题知，正方形 EFGH的边长为 3，正方形 ABCD的边长为 5，所以点 M的坐标为 ，点 N的坐标为(4，0)，所以 故正确选项为 B。 注：由于24.（2006 年真题）在平面 上给定线段 AB=2，在 上的动点 C，使
29、得 A，B，C 恰为一个三角形的 3个顶点，且线段 AC与 BC的长是两个不等的正整数，则动点 C所有可能的位置必定在某 上。（分数：2.00）A.抛物线B.椭圆C.双曲线 D.直线解析：解析：本题是平面几何与平面解析几何的简单综合题，考查了三条线段构成三角形的条件和双曲线的定义。不妨假设 AC比 BC长，由于 AC与 BC的长是两个不等的正整数，所以 AC-BC1，又因为AC，BC，AB 是三角形的三条边，所以 AC-BCAB=2，从而 AC-BC=1，即动点 C到两定点 A，B 的距离之差是一个常数，所有其可能的位置必定在某双曲线上。故正确选项为 C。25.（2009 年真题）设双曲线 （
30、分数：2.00）A.外离B.外切 C.相交D.内切解析：解析：本题主要考查了双曲线的基本概念(焦点、顶点、实轴)和简单计算(焦点坐标)。 解法 1 根据题意，本题可用特殊值代人法进行求解。取 a=3，b=4，则右焦点为(5，0)，再取双曲线右支上的一点P= ，则以 PF 2 为直径的圆的圆心坐标为 ，以实轴为直径的圆的圆心坐标为(0，0)，所以两圆圆心的距离是 这与两圆的半径之和相同，所以两圆外切。故正确选项为 B。 解法 2 如图356 所示，因为|PF 1 |-|PF 2 |=2a，设以 PF 2 为直径的圆半径为 r，圆心为 M，以实轴为直径的圆，其半径为 a，圆心为 O，两个圆的圆心连线为 OM，因为 OM是F 1 PF 2 的中位线，所以
