1、2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析(总分：150.00，做题时间：180 分钟)一、单项选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列函数不可导的是（分数：4.00）A.f (x) = |x| sin |x|B.C.f (x) = cos |x|D.2.设函数 f(x) 在 0, 1 上二阶可导, 且 （分数：4.00）A.B.C.D.3. （分数：4.00）A.M N KB.M K NC.K M NDN M K4.设某产品的成本函数 C(Q) 可导, 其中 Q 为产量, 若产量为 Q 0 时平均成本最小, 则（分数：4.00）A.C (Q 0) = 0B.C (Q 0
2、) = C(Q0)C.C (Q 0) = Q0C(Q0)D.Q0C (Q 0) = C(Q0)5.下列矩阵中, 与矩阵 相似的为（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A, B 为 n 阶矩阵, 记 r(X) 为矩阵 X 的秩, (X Y) 表示分块矩阵, 则（分数：4.00）A.r(A AB) = r(A)B.r(A BA) = r(A)C.r(A B) = maxr(A), r(B)D.r(A B) = r(A T B T )7.设随机变量 X 的概率密度 f(x) 满足 f(1 + x) = f(1 x), 且 （分数：4.00）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.68.设 X 1,
3、 X2, , Xn (n ? 2) 为来自总体 X N ( , 2 ) ( 0) 的简单随机样本, 令则（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 y = x 2 + 2 ln x 在其拐点处的切线方程是_。（分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.差分方程 ? 2yx yx = 5 的通解是_。（分数：4.00）填空项 1:_12.函数 f(x) 满足 f(x + x) f(x) = 2x f(x)?x + o(?x)(?x 0), 且 f(0) = 2 则 f(1) =_。（分数：4.00）填空项 1:_13设
4、A 为三阶矩阵, 1, 2, 3 为线性无关的向量组. 若 A 1 = 1 + 2, A 2 = 2 + 3, A 3 = 1 + 3, 则 |A| =_。（分数：4.00）填空项 1:_14.随机事件 A, B, C 相互独立, 且 P(A) = P(B) = P(C) = 1/2 , 则 P(AC|AB) =_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_16. （分数：10.00）_17.将长为 2m 的铁丝分成三段, 依次围成圆、正方形与正三角形, 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在, 求出最小值。（分数：10.00）_
5、18. （分数：10.00）_19. （分数：10.00）_20.设实二次型 f (x 1, x2, x3) = (x1 x2 + x3) 2 + (x2 + x3) 2 + (x1 + ax3) 2 , 其中 a 是参数.（分数：11）(a) 求 f (x 1, x2, x3) = 0 的解;（分数：5）_(b) 求 f (x 1, x2, x3) 的规范形（分数：6）_21. （分数：11）(a) 求 a;（分数：5）_(b) 求满足 AP = B 的可逆矩阵 P.（分数：6）_22.已知随机变量 X, Y 相互独立, 且 P X = 1 = P X = 1 = 1/ 2 , Y 服从参数
6、为 的泊松分布, Z = XY.（分数：11）(a) 求 Cov(X, Z);（分数：5）_(b) 求 Z 的分布律.（分数：6）_23. （分数：11）（分数：5）_（分数：6）_2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题答案解析(总分：150.00，做题时间：180 分钟)一、单项选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列函数不可导的是（分数：4.00）A.f (x) = |x| sin |x|B.C.f (x) = cos |x|D.解析：A, B, C 可导, D 根据导数的定义可得2.设函数 f(x) 在 0, 1 上二阶可导, 且 （分数：4.00）A.B.C.D.解析：
7、3. （分数：4.00）A.M N KB.M K NC.K M N DN M K解析：4.设某产品的成本函数 C(Q) 可导, 其中 Q 为产量, 若产量为 Q 0 时平均成本最小, 则（分数：4.00）A.C (Q 0) = 0B.C (Q 0) = C(Q0)C.C (Q 0) = Q0C(Q0)D.Q0C (Q 0) = C(Q0)解析：5.下列矩阵中, 与矩阵 相似的为（分数：4.00）A.B.C.D.解析：易知题中矩阵均为 3 重特征值 1. 若矩阵相似, 则不同特征值对应矩阵 E A 的秩相等, 即 E A 秩相等. 显然 为 A6.设 A, B 为 n 阶矩阵, 记 r(X) 为
8、矩阵 X 的秩, (X Y) 表示分块矩阵, 则（分数：4.00）A.r(A AB) = r(A) B.r(A BA) = r(A)C.r(A B) = maxr(A), r(B)D.r(A B) = r(A T B T )解析：7.设随机变量 X 的概率密度 f(x) 满足 f(1 + x) = f(1 x), 且 （分数：4.00）A.0.2 B.0.3C.0.4D.0.6解析：8.设 X 1, X2, , Xn (n ? 2) 为来自总体 X N ( , 2 ) ( 0) 的简单随机样本, 令则（分数：4.00）A.B.C.D.解析：二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 y
9、 = x 2 + 2 ln x 在其拐点处的切线方程是_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=4x-3）解析：10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：11.差分方程 ? 2yx yx = 5 的通解是_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：yx = C 2 x 5）解析：根据二阶差分的定义可得 ? 2yx = ?yx+1 ?yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx) = yx+2 2yx+1 + yx, 由 ? 2yx yx = 5 得 y x+2 yx+1 = 5. 先求齐次方程的通解, 由差分方程的特征方程 2 = 0, 齐次方程通解
10、为 Y = C 2 x . 由于 1 不是特征根, 于是假设原差分方程的特解为 y x = A, 带入非齐次方程知特解为 y x= 5, 于是原方程的通解为 y x = C 2 x 5。12.函数 f(x) 满足 f(x + x) f(x) = 2x f(x)?x + o(?x)(?x 0), 且 f(0) = 2 则 f(1) =_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2e）解析：在等式 f(x + x) f(x) = 2x f(x)?x + o(?x) 两边除以 ?x, 并令 ?x 0 得 f (x) = 2x f(x), 解得 f(x) = 由 f(0) = 2 得 C = 2
11、, 于是 f(1) = 2e.13设 A 为三阶矩阵, 1, 2, 3 为线性无关的向量组. 若 A 1 = 1 + 2, A 2 = 2 + 3, A 3 = 1 + 3, 则 |A| =_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：14.随机事件 A, B, C 相互独立, 且 P(A) = P(B) = P(C) = 1/2 , 则 P(AC|AB) =_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1/3）解析：三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_正确答案：()解析：16. （分数：10.00）_正确答案：()解析：17.将长为 2m
12、 的铁丝分成三段, 依次围成圆、正方形与正三角形, 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在, 求出最小值。（分数：10.00）_正确答案：(设分成的三段依次为 x, y, z, 则 x + y + z = 2, 依次围成的圆的半径、正方形的边长与正三角形边长分别为)解析：18. （分数：10.00）_正确答案：()解析：19. （分数：10.00）_正确答案：()解析：20.设实二次型 f (x 1, x2, x3) = (x1 x2 + x3) 2 + (x2 + x3) 2 + (x1 + ax3) 2 , 其中 a 是参数.（分数：11）(a) 求 f (x 1, x2, x3) =
13、0 的解;（分数：5）_正确答案：()解析：(b) 求 f (x 1, x2, x3) 的规范形（分数：6）_正确答案：()解析：21. （分数：11）(a) 求 a;（分数：5）_正确答案：()解析：(b) 求满足 AP = B 的可逆矩阵 P.（分数：6）_正确答案：()解析：22.已知随机变量 X, Y 相互独立, 且 P X = 1 = P X = 1 = 1/ 2 , Y 服从参数为 的泊松分布, Z = XY.（分数：11）(a) 求 Cov(X, Z);（分数：5）_正确答案：()解析：(b) 求 Z 的分布律.（分数：6）_正确答案：()解析：23. （分数：11）（分数：5）_正确答案：()解析：（分数：6）_正确答案：()解析：
