1、2017 年考研（数学二）真题试卷及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若函数 f(x)= （分数：2.00）A.ab=12B.ab=-C.ab=0D.ab=23.设二阶可导函数 f(x)满足 f(1)=f(-1)=1，f(0)=-1 且 f“(x)0，则( )（分数：2.00）A. -1 1 f(x)dx0B. -1 1 f(x)dx0C. -1 0 f(x)dx 0 1 f(x)dxD. -1 0 f(x)dx 0 1 f(x)dx4.设数列x n
2、收敛，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.微分方程 y“-4y“+8y=e 2x (1+cos2x)的特解可设为 y k =( )（分数：2.00）A.Ae 2x +e 2x (Bcos2x+Csin2x)B.Axe 2x +e 2x (Bcos2x+Csin2x)C.Ae 2x +xe 2x (Bcos2x+Csin2x)D.Axe 2x +xe 2x (Bcos2x+Csin2x)6.设 f(x，y)具有一阶偏导数，且对任意的(x，y)，都有 （分数：2.00）A.f(0，0)f(1，1)B.f(0，0)f(1，1)C.f(0，1)f(1，0)D.f(0，1)f(1，0)7.甲
3、、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：m)处，图中实线表示甲的速度曲线 v=v 1 (t)(单位：ms)，虚线表示乙的速度曲线 v=v 2 (t)，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20，3 计时开始后乙追上甲的时刻记为 t 0 (单位：s)，则( ) （分数：2.00）A.t 0 =10B.15t 0 20C.t 0 =25D.t 0 258.设 A 为三阶矩阵，P=( 1 ， 2 ， 3 )为可逆矩阵，使得 P -1 AP= （分数：2.00）A. 1 + 2B. 2 +2 3C. 2 + 3D. 1 +2 29.已知矩阵 A= （分数：2.00）A.A 与 C 相似，B 与
4、 C 相似B.A 与 C 相似，B 与 C 不相似C.A 与 C 不相似，B 与 C 相似D.A 与 C 不相似，B 与 C 不相似二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 y=x(1+arcsin （分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_12. 0 + （分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 f(x，y)具有一阶连续偏导数，且 af(x，y)=ye y dx+x(1+y)e y dy，f(0，0)=0，则 f(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14. 0 1 dy y 1 （分数：2.00）填空项 1
5、:_15.设矩阵 A= 的一个特征向量为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17. （分数：2.00）_18.设函数 f(u，v)具有 2 阶连续偏导数，y=f(e x ，cosx)，求 dydx| x=0 ，d 2 ydx 2 | x=0 （分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20.已知函数 y(x)由方程 x 3 +y 3 -3x+3y-2=0 确定，求 y(x)的极值（分数：2.00）_设函数 f(x)在区间0，1上具有 2 阶导数，f(1)0， （分数：4.00）(1).方程 f(
6、x)=0 在区间(0，1)至少存在一个实根；（分数：2.00）_(2).方程 f(x)+f“(x)+f“(x) 2 =0 在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根（分数：2.00）_21.已知平面区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 2y，计算二重积分 （分数：2.00）_22.设 y(x)是区间(0，32)内的可导函数，且 y(1)=0，点 P 是曲线 L：y=y(x)上的任意一点，L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点(0，Y P )，法线与 x 轴相交于点(X p ，0)，若 X P =y P ，求 L 上点的坐标(X，Y)满足的方程（分数：2.00）_设 3 阶矩阵 A=( 1 ，
7、 2 3 )有 3 个不同的特征值，且 3 = 1 +2 2 （分数：4.00）(1).证明：r(A)=2；（分数：2.00）_(2).若 = 1 + 2 + 3 ，求方程组 Ax= 的通解（分数：2.00）_23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 -x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 -8x 1 x 3 +2x 2 x 3 在正交变换x=Oy 下的标准型为 1 y 1 2 + 2 y 2 2 ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q（分数：2.00）_2017 年考研（数学二）真题试卷答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数
8、：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若函数 f(x)= （分数：2.00）A.ab=12 B.ab=-C.ab=0D.ab=2解析：解析： =12a，f(x)在 x=0 处连续，12a=b3.设二阶可导函数 f(x)满足 f(1)=f(-1)=1，f(0)=-1 且 f“(x)0，则( )（分数：2.00）A. -1 1 f(x)dx0B. -1 1 f(x)dx0 C. -1 0 f(x)dx 0 1 f(x)dxD. -1 0 f(x)dx 0 1 f(x)dx解析：解析：f(x)为偶函数时满足题设条件，此时 -1 0
9、f(x)dx= 0 1 f(x)dx，排除 C，D取 f(x)=2x 2 -1 满足条件，则 -1 1 f(x)dx= -1 1 (2x 2 -1)dx=- 4.设数列x n 收敛，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：特值法：A 取 x n =，有 5.微分方程 y“-4y“+8y=e 2x (1+cos2x)的特解可设为 y k =( )（分数：2.00）A.Ae 2x +e 2x (Bcos2x+Csin2x)B.Axe 2x +e 2x (Bcos2x+Csin2x)C.Ae 2x +xe 2x (Bcos2x+Csin2x) D.Axe 2x +xe 2x (Bc
10、os2x+Csin2x)解析：解析：特征方程为： 2 -4+8=0 6.设 f(x，y)具有一阶偏导数，且对任意的(x，y)，都有 （分数：2.00）A.f(0，0)f(1，1)B.f(0，0)f(1，1)C.f(0，1)f(1，0)D.f(0，1)f(1，0) 解析：解析：7.甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：m)处，图中实线表示甲的速度曲线 v=v 1 (t)(单位：ms)，虚线表示乙的速度曲线 v=v 2 (t)，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20，3 计时开始后乙追上甲的时刻记为 t 0 (单位：s)，则( ) （分数：2.00）A.t 0 =10B.15t 0
11、 20C.t 0 =25 D.t 0 25解析：解析：从 0 到 t 0 这段时间内甲乙的位移分别为 0 t0 v 1 (t)dt， 0 t0 v 2 (t)dt，则乙要追上甲，则 0 t0 v 2 (t)dt-v 1 (t)dt=10，当 t 0 =25 时满足，故选 C8.设 A 为三阶矩阵，P=( 1 ， 2 ， 3 )为可逆矩阵，使得 P -1 AP= （分数：2.00）A. 1 + 2B. 2 +2 3 C. 2 + 3D. 1 +2 2解析：解析：P -1 AP= A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 9.已知矩阵 A= （分数：2.00）A.A 与 C 相似，
12、B 与 C 相似B.A 与 C 相似，B 与 C 不相似 C.A 与 C 不相似，B 与 C 相似D.A 与 C 不相似，B 与 C 不相似解析：解析：由|E-A|=0 可知 A 的特征值为 2，2，1，因为 3-r(2E-A)=1，A 可相似对角化，即 A二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.曲线 y=x(1+arcsin （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x+2）解析：解析：11.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12. 0 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
13、1）解析：解析：13.设函数 f(x，y)具有一阶连续偏导数，且 af(x，y)=ye y dx+x(1+y)e y dy，f(0，0)=0，则 f(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xye y）解析：解析：f“ x =ye y ，f“ y 1 =x(1+y)e y ，f(x，y)=ye y dx=xye y +c(y)， 故 f“ y =xe y +xye y +c“(y)=xe y +xye y ，故 c“(y)=0，即 c(y)=c，由 f(0，0)=0，即 f(x，y) =xye y 14. 0 1 dy y 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （
14、正确答案：正确答案：lncos1）解析：解析： 0 1 dy y 1 dx= 0 1 dx 0 x 15.设矩阵 A= 的一个特征向量为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：设 = ，由题设知 A=，故 (1 1 2) T =(1 1 2) T 三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： dt，令 x-t=u，则有 )解析：18.设函数 f(u，v)具有 2 阶连续偏导数，y=f(e x ，cosx)，求 dydx| x=0 ，d 2 ydx 2
15、 | x=0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=f(e x ，cosx) y(0)=f(1，1) dydx| x=0 =f“ 1 e x +f“ 2 (-sinx)| x=0 =f“ 1 (1，1)1+f“ 2 (1，1)0=f“ 1 (1，1) d 2 ydx 2 =f“ 11 e 2x +f“ 12 e x (-sinx)+f“ 21 e x (-sinx)+f“ 22 sin 2 x+f“ 1 e x -f“ 2 cosx )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： = 0 1 xln(1+x)dx= 0 1 ln(1+x)dx 2 = (ln(1+x)x 2
16、 | 0 1 - 0 1 )解析：20.已知函数 y(x)由方程 x 3 +y 3 -3x+3y-2=0 确定，求 y(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边求导得： 3x 2 +3y 2 y“-3+3y“=0 (1) 令 y“=0 得 x=1 对(1)式两边关于 x求导得 6x+6y(y“) 2 +3y 2 y“+3y“=0 (2) 将 x1 代入原题给的等式中，得 )解析：设函数 f(x)在区间0，1上具有 2 阶导数，f(1)0， （分数：4.00）(1).方程 f(x)=0 在区间(0，1)至少存在一个实根；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)二阶导数，
17、f(1)0， 由于 0，根据极限的保号性得 0， )解析：(2).方程 f(x)+f“(x)+f“(x) 2 =0 在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由上可知 f(0)=0， (0，1)，使 f()=0，令 F(x)=f(x)f“(x)，则 f(0)=f()=0)解析：21.已知平面区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 2y，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (x+1) 2 dxdy= (x 2 +1)dxdy=2 x 2 dxdy+ )解析：22.设 y(x)是区间(0，32)内的可导函数，且 y(1)=0，点 P 是
18、曲线 L：y=y(x)上的任意一点，L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点(0，Y P )，法线与 x 轴相交于点(X p ，0)，若 X P =y P ，求 L 上点的坐标(X，Y)满足的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 p(x，y(x)的切线 Y-y(x)=y“(x)=y“(x)(X-x)，令 X=0 得 Yp=y(x)-y“(x) x，法线 Y-y(x)=- (X-x)令 Y=0 得 X p =x+y(x)y“(x)。由 X p =Y p 得 y-xy“(x)=x+yy“(X)，即 -1，令 yx=u，则 y=ux，按照齐次微分方程的解法不难解出 )解析：设 3 阶矩阵
19、 A=( 1 ， 2 3 )有 3 个不同的特征值，且 3 = 1 +2 2 （分数：4.00）(1).证明：r(A)=2；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 3 = 1 +2a 2 可得 1 +2 2 - 3 =0，即 1 ， 2 ， 3 线性相关，因此，|A|=| 1 2 3 |=0，即 A 的特征值必有 0 又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0 且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 ， 1 2 0r(A)=r( )解析：(2).若 = 1 + 2 + 3 ，求方程组 Ax= 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由
20、r(A)=2，知 3-r(A)=1，即 Ax=0 的基础解系只有 1 个解向量，由 1 +2 2 - 3 =0 可得( 1 ， 2 ， 3 ) =0，则 Ax=0 的基础解系为 又 = 1 + 2 + 3 ，即( 1 ， 2 ， 3 ) =，则 Ax= 的一个特解为 综上，Ax= 的通解为 k )解析：23.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 -x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 -8x 1 x 3 +2x 2 x 3 在正交变换x=Oy 下的标准型为 1 y 1 2 + 2 y 2 2 ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答
21、案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，其中 A= 由于 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 经正交变换后，得到的标准形为 1 y 1 2 + 2 y 2 2 ， 故 r(A)=2 a=2， 将 a=2 代入，满足 r(A)=2，因此 a=2 符合题意，此时 A= ，则 |E-A|= 1 =-3， 2 =0， 3 =6， 由(-3E-A)x=0，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为 1 = 由(6E-A)x=0，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为 2 = 由(0E-A)x=0，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为 3 = 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 P -1 AP= ，由于 1 ， 2 ， 3 彼此正交，故只需单位化即可： 1 = (1，-1，1) T ， 2 = (-1，0，1) T ， 3 = (1，2，1) T ， 则 Q=( 1 2 3 )= ，Q T AQ= )解析：
