1、2014年工程硕士（GCT）数学真题试卷及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.将一张正方形纸片沿对角线折叠，在得到的三角形的三个角各挖去一个圆洞，展开正方形纸片后得到的图形是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.甲和乙两人在 300米的环形跑道上同时同地起跑，如果同向而跑，2 分 30秒甲追上乙；如果背向而跑，半分钟相遇，则甲的速度是( )米/秒。（分数：2.00）A.6B.55C.5D.454.设 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a
2、 4 ，a 5 ，a 6 是由自然数 1，2，3，4，5，6 组成的没有重复的数字的任意序列，则a 1 -a 2 +a 2 -a 3 +a 3 -a 4 +a 4 -a 5 +a 5 -a 6 +a 6 -a 1 的最大值是( )。（分数：2.00）A.20B.18C.16D.145.( ) （分数：2.00）A.2B.1C.-1D.-26.两张相同的矩形纸片，每张都画出 7个大小相同的矩形，放置如右图所示，重叠的顶点记作 A，顶点 C在另一张纸片的分割线上，若 ，则 AB的长是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知数列a n 对于任意正整数 p和 q，都有 a p +a q =a
3、 p+q ,若 （分数：2.00）A.19B.38C.53D.1068.已知 02+2x+cosa=0的两个实根 x 1 ，x 2 满足 （分数：2.00）A.B.C.D.9.两个正数 a与 b使得 a，b，a+b 成等比数列，则其公比是( )（分数：2.00）A.B.C.D.10.点 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )是反比例函数 在第一象限图像上的两点，如图所示，已知 则AOB 的面积等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.已知函数 f(x)对任意实数 x均有 f(x)=kf(x+2)，其中常数 k0，且 f(x)在区间(0，2上有表达式f(x)=x(x，-2)
4、，则 （分数：2.00）A.B.C.D.12.已知 i为虚数单位，则(i+i 2 +i 3 +i 4 +i 5 +i 6 +i 7 +i 8 +i 9 +i 10 ) 2 =( )（分数：2.00）A.1+iB.-1+iC.2iD.-2i13.如图所示，两同心圆的半径分别为 6厘米和 8厘米，矩形 ABCD的边 AB、CD 分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，它的周长等于( )厘米 （分数：2.00）A.386B.392C.398D.40414.椭圆 如图所示，以点 B 1 为圆心，椭圆的半长轴为半径画圆弧，交 A 1 A 2 于点 C 1 和 C 2 ，P 为椭圆上的一点。若 APC 1
5、C 2 的面积为 9，则PC 1 2 的内切圆的面积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.215.一个长方体的对角线长为 （分数：2.00）A.48B.54C.60D.6416.若函数 f(x)在(-1，1)内有定义，且满足 （分数：2.00）A.f“(0)=1B.C.f(0)=1D.17.设正方形 ABCD的中心为点 O，在以点 A、B、C、D、D 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为( )（分数：2.00）A.B.C.D.18.设函数 f(x)=x-2+1，g(x)=kx，若方程 f(x)-g(x)=0有两个不相等的实根，则 k的取值范围的是( )（分数：2
6、.00）A.B.C.(1，2)D.(2，+)19.点(1，3)到曲线 （分数：2.00）A.2B.C.D.120.设 （分数：2.00）A.不存在B.存在，但在 x=1处 g(x)不连续C.在 x=1，处 g(x)连续，但不可导D.在 x=1处 g(x)导数存在21.定积分 （分数：2.00）A.B.C.D.222.若 （分数：2.00）A.一 2B.1C.一 1D.一 223.若 （分数：2.00）A.一 4B.一 2C.2D.424.若向量组 1 =(1,0,2,a) T ， 2 =(2,1,a,4) T ， 3 =(0,a,5,-6) T 线性相关，则其中 a=( )（分数：2.00）A
7、.一 3B.一 1C.3D.525.设 =一 1是矩阵 （分数：2.00）A.3与 2B.3与-2C.1与 2D.1与一 226.若 3阶矩阵 A，B 满足 AB一 A=B，且 （分数：2.00）A.(1，一 1，1)B.(1，一 1，1)C.(-1，1，-1)D.(-1，-1，1)2014年工程硕士（GCT）数学真题试卷答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.将一张正方形纸片沿对角线折叠，在得到的三角形的三个角各挖去一个圆洞，展开正方形
8、纸片后得到的图形是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查的就是正方形的对角线的问题，根据题意我们将正方形对折之后就会出现一个三角形，在三个角各挖一个洞，也就可以看出在对角的位置会有一个洞，这样就排除 A、D，而 C选项中的洞没有在角上而是在对角线上，所以排除 C，所以本题答案为 B.3.甲和乙两人在 300米的环形跑道上同时同地起跑，如果同向而跑，2 分 30秒甲追上乙；如果背向而跑，半分钟相遇，则甲的速度是( )米/秒。（分数：2.00）A.6 B.55C.5D.45解析：解析：根据题意，设甲的速度为 V 甲 ，乙的速度为 V 乙 ，甲乙两人在 300米的环形跑道上
9、同时起跑，2 分 30秒甲追上乙可以理解为(V 甲 一 V 乙 )150秒=300 米，背向而跑，半分钟相遇，则可以理解为(V 甲 +V 乙 )30秒=300 米，将两式并列，求出 V 甲 =6(米秒)，所以本题答案为 A.4.设 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，a 6 是由自然数 1，2，3，4，5，6 组成的没有重复的数字的任意序列，则a 1 -a 2 +a 2 -a 3 +a 3 -a 4 +a 4 -a 5 +a 5 -a 6 +a 6 -a 1 的最大值是( )。（分数：2.00）A.20B.18 C.16D.14解析：解析：由题目中给出的式子a 1 一 a 2 +
10、a 2 一 a 3 +a 3 一 a 4 +a 4 一 a 5 +a 5 a 6 +a 6 一 a 1 我们可以看出本题实际上就是相邻两数字相减观察本式我们可以采用特值法进行计算，假设 a 2 为 6，那么通过a 1 一 a 2 以及a 6 一 a 1 就可以知道 a 6 和 a 2 要尽可能的小，所以就可以假设 a 2 为 1，a 6 为 2，这样a 1 一 a 2 以及a 6 一 a 1 得出的值就会尽可能的大，那么又因为a 2 一 a 3 ，确定 a 2 为 1后，a 3 就应该为 5，这样a 2 一 a 3 的数值就会最大，依次类推，a 4 为 3，a 5 为 4，所以本题中 a 1
11、,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ,a 6 分别为6，1，5，3，4，2则以 1 一 a 2 +a 2 一 a 3 +a 3 一 a 4 +a 4 一 a 5 +a 5 一 a 6 +a 6 一 a 1 =5+4+2+1+2+4=18，所以本题答案为 B。5.( ) （分数：2.00）A.2B.1C.-1 D.-2解析：解析：本题首先应当进行因式分解，则6.两张相同的矩形纸片，每张都画出 7个大小相同的矩形，放置如右图所示，重叠的顶点记作 A，顶点 C在另一张纸片的分割线上，若 ，则 AB的长是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题应采用余弦定理，在ABC 中，假设
12、 AB为 x，根据图示，AC=AB=x，则 ， 根据本题中已经给出的条件，可用余弦定理 BC 2 =AB 2 +AC 2 一 2AB.AC.cosBAC 即 推出 7.已知数列a n 对于任意正整数 p和 q，都有 a p +a q =a p+q ,若 （分数：2.00）A.19B.38C.53D.106 解析：解析：可以看出本题为一个等差数列，a p +a q =a p+q ，可直接令 q=1，则 a p +a q =a p+q =a p +a 1 =a p+1 ，这样就可以理解为 a p 与 a p+1 是数学中的相邻两项，这两个数相减就正好等于 a 1 ，即 ，则该题目就理解为公差为南的
13、 差数列，据此可以推出 8.已知 02+2x+cosa=0的两个实根 x 1 ，x 2 满足 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题可以根据韦达定理推出9.两个正数 a与 b使得 a，b，a+b 成等比数列，则其公比是( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题考查的是等比数列，因为 a，b，a+b 成等比数列所以 b 2 =a(a+b)=a 2 +ab，本题中求公比即求 ，利用 b 2 =a 2 +ab化简，最后求出公比为 10.点 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )是反比例函数 在第一象限图像上的两点，如图所示，已知 则AOB 的面积等于( )
14、（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由 A点向 x轴做垂线与 x轴相交处记为 C点，B 点向 x轴做垂线与 x轴相交处记为 D点，则 根据图示AOB 的面积可认为是四边形 AODB的面积减去OBD 的面积，又因为 S OAC =S OBD ，所以可以认为AOB 的面积实际上就是四边形 ABDC的面积，四边形 ABDC恰巧为梯形，梯形的面积为 11.已知函数 f(x)对任意实数 x均有 f(x)=kf(x+2)，其中常数 k0，且 f(x)在区间(0，2上有表达式f(x)=x(x，-2)，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：令 x=一 1，代入 f(x)=kf(x+2
15、)中，则 f(一 1)=kf(1)，令 代入 f(x)=kf(x+2)则则 所以 ，将 f(1)和 分别代入指定函数 f(x)=x(x一 2)中，得12.已知 i为虚数单位，则(i+i 2 +i 3 +i 4 +i 5 +i 6 +i 7 +i 8 +i 9 +i 10 ) 2 =( )（分数：2.00）A.1+iB.-1+iC.2iD.-2i 解析：解析：本题考查的是复数计算，我们知道相邻四个 i的连续次幂相加结果肯定等于零，也就是说 i的连续次幂相加之和的周期 T=4，本题中一共有 10个数相加，从后往前，i 7 、i 8 、i 9 、i 10 四个数相加等于零，i 6 、i 5 、i 4
16、 、i 3 四个数相加等于零，这样(i+i 2 +i 3 +i 4 +i 5 +i 6 +i 7 +i 8 +i 9 +i 10 ) 2 就可以化简为(i+i 2 ) 2 =(i一 1) 2 =(1一 i) 2 =一 2i。13.如图所示，两同心圆的半径分别为 6厘米和 8厘米，矩形 ABCD的边 AB、CD 分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，它的周长等于( )厘米 （分数：2.00）A.386B.392 C.398D.404解析：解析：如图所示：连接 OA，OD，作 OPAB 于 P，OM 上 AD于 M，ON 上 CD于 N。根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现，矩形的面积是三角形
17、AOD面积的 4倍，因为 OA，OD 的长是定值，则AOD 的正弦值最大时，三角形面积最大，即AOD=90，则 AD=10，根据三角形的面积公式求得OM=6810=48，又因为 AB=20M=96，则矩形 ABCD的周长是(10+96)2=392。14.椭圆 如图所示，以点 B 1 为圆心，椭圆的半长轴为半径画圆弧，交 A 1 A 2 于点 C 1 和 C 2 ，P 为椭圆上的一点。若 APC 1 C 2 的面积为 9，则PC 1 2 的内切圆的面积为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.2解析：解析：根据题意可得 C 1 ，C 2 是椭圆的焦点，且 a=5，b=3，c=4，内切圆半径
18、15.一个长方体的对角线长为 （分数：2.00）A.48B.54C.60 D.64解析：解析：设长方体的棱长为 a，b，c，则 a 2 +b 2 +c 2 =502(ab+ac+bc)=94a，b，cZ 综上三式可推出 a=3，b=4，c=5 最后得出 abc=6016.若函数 f(x)在(-1，1)内有定义，且满足 （分数：2.00）A.f“(0)=1B.C.f(0)=1D. 解析：解析：根据极限存在定理，当 x0 时，分母为 0，则要求分子也必须为 0，否则极限不存在，所以17.设正方形 ABCD的中心为点 O，在以点 A、B、C、D、D 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积
19、相等的概率为( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：共有 8个三角形，其中四个小三角形(以正方形的两个顶点和中心为顶点构成)全等，四个大三角形(以正方形的三个顶点为顶点构成)全等，p=18.设函数 f(x)=x-2+1，g(x)=kx，若方程 f(x)-g(x)=0有两个不相等的实根，则 k的取值范围的是( )（分数：2.00）A.B. C.(1，2)D.(2，+)解析：解析：当 x2， 当 x2， 联立解得19.点(1，3)到曲线 （分数：2.00）A.2 B.C.D.1解析：解析：20.设 （分数：2.00）A.不存在B.存在，但在 x=1处 g(x)不连续C.在 x=1，处
20、 g(x)连续，但不可导 D.在 x=1处 g(x)导数存在解析：解析： 故连续，21.定积分 （分数：2.00）A.B.C. D.2解析：解析：设 ，则22.若 （分数：2.00）A.一 2B.1C.一 1 D.一 2解析：解析：23.若 （分数：2.00）A.一 4 B.一 2C.2D.4解析：解析：24.若向量组 1 =(1,0,2,a) T ， 2 =(2,1,a,4) T ， 3 =(0,a,5,-6) T 线性相关，则其中 a=( )（分数：2.00）A.一 3B.一 1 C.3D.5解析：解析：25.设 =一 1是矩阵 （分数：2.00）A.3与 2 B.3与-2C.1与 2D.1与一 2解析：解析：26.若 3阶矩阵 A，B 满足 AB一 A=B，且 （分数：2.00）A.(1，一 1，1) B.(1，一 1，1)C.(-1，1，-1)D.(-1，-1，1)解析：解析：
