1、2012年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：18.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：1，分数：2.00)1.测量一个底面是正方形的柱体，得底边长为 x，高为 y设测量的相对误差均不超过 r，试估计由所得到的数据计算其体积的绝对误差限和相对误差限（分数：2.00）_二、证明题(总题数：1，分数：2.00)2.设.为 R nn 中的某一范数，AR nn ，BR nn 为两个非奇异矩阵，证明：A -1 -B -1 A -1 .B -1 AB（分数：2.00）_三、综合题(总题数：7，分数：14.00)3.给定方程 lnx=sinx，分析该方程存在几个根
2、，并求出这些根(精确到 6位有效数字)（分数：2.00）_4.给定线性方程组 （分数：2.00）_5.求常数 a和 b，使得 （分数：2.00）_6.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i =a+ih，0in，分析求解公式 （分数：2.00）_7.设 h0，f(x)C 4 x 0 -h，x 0 +h 1)作 3次多项式 H(X)，满足 H(x 0 -h)=f(x 0 -h)，H(x 0 )=f(x 0 )，H(x 0 +h)= f(x 0 +h)，H“(x 0 )=f“(x 0 )； 2)计算 H“(x 0 )，并估计 f“(x 0 )-H“(x 0 )； 3)计
3、算 x0-h x0+h H(x)dx，并估计 x0-h x0+h f(x)dx- x0-h x0+h H(x)dx（分数：2.00）_8.给定常微分方程两点边值问题 并设其有光滑解取正整数 M，并记 h=(b-a)M，x i =a+ih，0iM对上述问题建立如下差分格式： 1)分析差分格式的截断误差； 2)记 V=vv=(v 0 ，v 1 ，v M-1 ，v M )，其中 v 0 =v M =0)，设 vV 定义如下 2个范数： 证明： （分数：2.00）_9.设如下抛物方程初边值问题有光滑解 u(x，t)： （分数：2.00）_2012年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案
4、解析(总分：18.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：1，分数：2.00)1.测量一个底面是正方形的柱体，得底边长为 x，高为 y设测量的相对误差均不超过 r，试估计由所得到的数据计算其体积的绝对误差限和相对误差限（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知 V=x 2 y，因此 dV=2xydx+x 2 dy， )解析：二、证明题(总题数：1，分数：2.00)2.设.为 R nn 中的某一范数，AR nn ，BR nn 为两个非奇异矩阵，证明：A -1 -B -1 A -1 .B -1 AB（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，有A -1 -B -1 =A -
5、1 (BA)B -1 A -1 BAB -1 =A -1 B -1 AB)解析：三、综合题(总题数：7，分数：14.00)3.给定方程 lnx=sinx，分析该方程存在几个根，并求出这些根(精确到 6位有效数字)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作函数 y=sin x和 y=ln x的图像(如下图)可知，y=sin x 和 y=ln x有唯一的交点 x * (2，) 用 Newton迭代格式，有 x k+1 =x k k=0，1，2，取 )解析：4.给定线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)GaussSeidel 迭代格式为 2)迭代矩阵 G的特征方程为 展开得 2
6、 (9a-60)=0，解得 所以收敛的充分必要条件为 p(G)1，即 )解析：5.求常数 a和 b，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 2 ，p(x)=a+bx，则 p(x)为 f(x)为 f(x)在-1，2上的最佳一致逼近多项式由于 f“(x)=10，所以，f(x)-p(x)在-1，2上恰有 3个交错偏差点：-1，x 0 ，2，满足 即 解得 )解析：6.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i =a+ih，0in，分析求解公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：局部截断误差为 )解析：7.设 h0，f(x)C 4 x 0 -
7、h，x 0 +h 1)作 3次多项式 H(X)，满足 H(x 0 -h)=f(x 0 -h)，H(x 0 )=f(x 0 )，H(x 0 +h)= f(x 0 +h)，H“(x 0 )=f“(x 0 )； 2)计算 H“(x 0 )，并估计 f“(x 0 )-H“(x 0 )； 3)计算 x0-h x0+h H(x)dx，并估计 x0-h x0+h f(x)dx- x0-h x0+h H(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)记 x -1 =x 0 h，x 1 =x 0 +h作 2次多项式 L 2 (x)满足 L 2 (x-1)=f(x-1)，L 2 (x 0 )=f(x 0
8、)，L 2 (x 1 )=f(x 1 )，则有 )解析：8.给定常微分方程两点边值问题 并设其有光滑解取正整数 M，并记 h=(b-a)M，x i =a+ih，0iM对上述问题建立如下差分格式： 1)分析差分格式的截断误差； 2)记 V=vv=(v 0 ，v 1 ，v M-1 ，v M )，其中 v 0 =v M =0)，设 vV 定义如下 2个范数： 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)在 x i 处考虑方程有-u“(x i )+u(x i )=f(x i )，1iM，将 u“(x i )= u(x i-1 )-2u(x i )+u(x i+1 )- ， i (x i-1 ,x i+1 )代入上式，得 )解析：9.设如下抛物方程初边值问题有光滑解 u(x，t)： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)在(x i ，t k )处考虑方程有 =f(x i ，t k )， 1iM-1，1kN，将 i k (t k-1 ,t k ) i k (x i-1 ，x i+1 )代入得 )解析：
