1、2012年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：18.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.设 x=043980，y=15324，z=115012 均是具有 4位有效数字的近似值，试分析 xyz的绝对误差限、相对误差限和有效数字（分数：2.00）_2.用列主元 Gauss消去法求下面方程组的解： （分数：2.00）_二、证明题(总题数：1，分数：2.00)3.已知方程 x 3 +2x-1=0在0，1上有唯一实根 x * 证明：对任意初值 x 0 0，1，迭代格式 （分数：2.00）_三、综合题(总题数：6，分数：12.00)4.设
2、 A=a ij R nn ，且 a ii 0，i=1，2，n；b=(b 1 ，b 2 ，b n ) T R n ；x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T R n 1)写出解线性方程组 Ax=b的 Gauss-Seidel迭代格式； 2)如果 A是对称正定矩阵，证明：Gauss-Seidel 迭代格式收敛（分数：2.00）_5.设函数 f(x)=sinx，取正整数 n，将区间0，1作 n等分，记 h=1n，x i =ih，i=0，1，n 1)求函数 f(x)以 x i (i=0，1，n)为节点的 n次 Lagrange插值多项式 L n (x)； 2)证明： （分数：2.00）_6.求参数 a
3、，b，c，使得积分 0 1 e x -(ax 2 +bx+c) 2 dx取最小值（分数：2.00）_7.给定求积公式 （分数：2.00）_8.给定初值问题 记 h=(ba)n，x i =a+ih，i=0，1，n；y i y(x i )，i=0，1，n设函数 (x，y，z，h)是光滑函数，单步公式 y i+1 =y i +h(x i ，y i ，y i+1 ，h) 是一个 2阶公式，局部截断误差是 R i+1 (1) 试求公式 （分数：2.00）_9.设定解问题 有光滑解 u(x，t)，其中 (0)=(0)将区间0，1作 m等分，区间0，T作 n等分，记 h=1m，=Tn，x i =ih，0im
4、，t k =k，0kn建立定解问题的差分格式 1)给出上述差分格式的截断误差表达式 2)如果 (t)0，证明：当 s=h1 时，差分格式的解有下面的先验估计u k u 0 + ,1kn,其中 （分数：2.00）_2012年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案解析(总分：18.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.设 x=043980，y=15324，z=115012 均是具有 4位有效数字的近似值，试分析 xyz的绝对误差限、相对误差限和有效数字（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，可知e(x) 10 -4 ，e(y) 10 -
5、3 ，e(x) 10 -2 ，e(xyz)yze(x)+xze(y)+xye(z)yze(x)+xze(y)+xye(z)0678010 -2 ，e r (xyz)= 0874710 -3 ，因为 xyz=7751228，e(xyz) )解析：2.用列主元 Gauss消去法求下面方程组的解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：二、证明题(总题数：1，分数：2.00)3.已知方程 x 3 +2x-1=0在0，1上有唯一实根 x * 证明：对任意初值 x 0 0，1，迭代格式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法 1：方程的 Newton迭代格式为 x k+1 =x k
6、 - 记 f(x)=x 3 +2x-1，则f(0).f(1)=-20；当 x0，1时，f“(x)=3x 2 +20；当 x(0，1)时，f“(x)=6x0；0- 所以对任意初值 x 0 0，1，Newton 迭代收敛于方程在0，1中的根该迭代格式是 2阶收敛的 方法2：记 (x)= 则当 x0，1时，有 )解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)4.设 A=a ij R nn ，且 a ii 0，i=1，2，n；b=(b 1 ，b 2 ，b n ) T R n ；x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T R n 1)写出解线性方程组 Ax=b的 Gauss-Seidel迭代格式； 2)
7、如果 A是对称正定矩阵，证明：Gauss-Seidel 迭代格式收敛（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)Gauss-Seidel 迭代格式为 2)设 G=-(L+D) -1 U是 GaussSeidel迭代格式的迭代矩阵， 是 G的任意一个特征值，y 是对应的特征向量，则 Gy=y，即-(L+D) -1 Uy=y，-Uy=(L+D)y，从而得-y H Uy=y H (L+D)y，= )解析：5.设函数 f(x)=sinx，取正整数 n，将区间0，1作 n等分，记 h=1n，x i =ih，i=0，1，n 1)求函数 f(x)以 x i (i=0，1，n)为节点的 n次 Lagrang
8、e插值多项式 L n (x)； 2)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)L n (x)= 2)由插值余项表达式，对任意 x0，1，有 因此 )解析：6.求参数 a，b，c，使得积分 0 1 e x -(ax 2 +bx+c) 2 dx取最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 0 (x)=1, 1 (x)=x, 2 (x)=x 2 ,则( 0 , 0 )= 0 1 1dx=1，( 0 , 1 )= 0 1 xdx=*1434，( 0 , 2 )= 0 1 x)解析：7.给定求积公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 f(x)=1，x，x 2 ，x 3 时
9、，f“(a)-f“(b)=0，故由 Simpson公式代数精度为3知求积公式精确成立当 f(x)=x 4 时，有 要使公式具有尽可能高的代数精度，则有 在上式中可令 a=0，b=1，得 所以 当 f(x)=x 5 时，有 当 f(x)=x 6 时，有 取a=0，b=1，则 )解析：8.给定初值问题 记 h=(ba)n，x i =a+ih，i=0，1，n；y i y(x i )，i=0，1，n设函数 (x，y，z，h)是光滑函数，单步公式 y i+1 =y i +h(x i ，y i ，y i+1 ，h) 是一个 2阶公式，局部截断误差是 R i+1 (1) 试求公式 （分数：2.00）_正确答
10、案：(正确答案：由条件知 R i+1 (1) =y(x i+1 )-y(x i )-h(x i ，y(x i )，y(x i+1 )，h)=O(h 3 )，预测-校正公式的局部截断误差为 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-h(x i ，y(x i )，y(x )解析：9.设定解问题 有光滑解 u(x，t)，其中 (0)=(0)将区间0，1作 m等分，区间0，T作 n等分，记 h=1m，=Tn，x i =ih，0im，t k =k，0kn建立定解问题的差分格式 1)给出上述差分格式的截断误差表达式 2)如果 (t)0，证明：当 s=h1 时，差分格式的解有下面的先验估计u k u 0 + ,1kn,其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)考虑方程 由 Taylor展开得 将上述两项代入方程可得截断误差为 )解析：
