1、2011 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 及答案解析(总分：28.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_2.设x1，计算 （分数：2.00）_3.求积分 a b f（x）dx 的两点 Gauss 公式为_（分数：2.00）_4.设 A= （分数：2.00）_5.给定 f(x)=x 4 ，以 0 为三重节点，2 为二重节点的 f(x)的 Hermite 插值多项式为_（分数：2.00）_6.己知差分格式 （分数：2.00）_二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.给
2、定方程 lnx-x 2 +4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至 3 位有效数字（分数：2.00）_8.用列主元 Gauss 消去法求下面线性方程组的解： （分数：2.00）_三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.设 A= （分数：2.00）_10.设 x 0 ，x 1 ，x 2 为互异节点，a，b，m 为已知实数试确定 x 0 ，x 1 ，x 2 的关系，使满足如下三个条件 p(x 0 )=a， p“(x 1 )=m，p(x 2 )=b 的二次多项式 p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式p(x)（分数：2.00）_11.求 y=x在-1，1上形如 c 0
3、 +c 1 x 2 的最佳平方逼近多项式（分数：2.00）_12.已知函数 f(x)C 3 0，3，试确定参数 A，B，C，使下面的求积公式 （分数：2.00）_13.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=an，x i =a+ih，0in 证明：用梯形公式求解该初值问题所得的数值解为 （分数：2.00）_14.已知椭圆方程边值问题 （分数：2.00）_2011 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 答案解析(总分：28.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：2.00）_解析：
4、2.设x1，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：3.求积分 a b f（x）dx 的两点 Gauss 公式为_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：4.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：5.给定 f(x)=x 4 ，以 0 为三重节点，2 为二重节点的 f(x)的 Hermite 插值多项式为_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 4)解析：6.己知差分格式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.给定方程 lnx-x 2 +4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求
5、此方程的最大根，精确至 3 位有效数字（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=lnx-x 2 +4，则 f“(x)= -2x,当 x= 时，f“(x)=0. 注意到f(001)=-060530,f(1)=30,f(3)=-390140,而当 时，f“(x)0，当 时，f“(x)0，所以方程 f(x)=0 有两个实根，分别在(001，1)和(1，3)内 方程的最大根必在(1，3)内，用Newton 迭代格式 )解析：8.用列主元 Gauss 消去法求下面线性方程组的解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.设 A= （
6、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Jacobi 迭代格式的迭代矩阵特征方程为 展开得 500 3 15=0 或者 (500 2 15)=0，解得 =0 或 2 = 则 Jacobi 格式收敛的充要条件为 Gauss-Seidel 格式迭代矩阵的特征方程为 展开得 500 3 15 2 =0 或者 2 (500-15)=0，解得 =0 或 = )解析：10.设 x 0 ，x 1 ，x 2 为互异节点，a，b，m 为已知实数试确定 x 0 ，x 1 ，x 2 的关系，使满足如下三个条件 p(x 0 )=a， p“(x 1 )=m，p(x 2 )=b 的二次多项式 p(x)存在且唯一，并求出这
7、个插值多项式p(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件 p(x 0 )=a，p(x 2 )=b 确定一次多项式 p 1 (x)，有 所以 p(x)-P 1 (x)=A(xx 0 )(xx 2 )，p“(x)=p“ 1 (x)+A(xx 0 +xx 2 )，p“(x 1 )=m= )解析：11.求 y=x在-1，1上形如 c 0 +c 1 x 2 的最佳平方逼近多项式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 (x)=1， 1 (x)=x 2 ，则( 0 ， 0 )= -1 1 =2，( 0 ， 1 )= -1 1 x 2 dx= )解析：12.已知函数 f(x)C 3 0，
8、3，试确定参数 A，B，C，使下面的求积公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 f(x)=1 时左= 0 3 1dx=3，右=A+B+C， 当 f(x)=x 时左= 0 3 xdx= ，右=B+2C 当 f(x)=x 2 时左= 0 3 x 2 dx=9,右=B+4C 要使公式具有尽可能高的代数精度，则 )解析：13.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=an，x i =a+ih，0in 证明：用梯形公式求解该初值问题所得的数值解为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：梯形公式应用于方程有 y i+1 =y i + (-y i y i+1 )，即有 所以 i=1，2，当 h0 时，n我们有 而由方程知解析解 y=e -x 则 y(a)=e -a ，所以 )解析：14.已知椭圆方程边值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：五点差分格式为 根据要求，可取 h= ，将(1，1)，(2，1)，(1，2)，(2，2)处的差分格式列成方程组有 或者 )解析：
