1、2010 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 C 及答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设序列y n 满足递推关系 （分数：2.00）_2.用简单迭代法求方程 sinx-x 2 +2=0 的正根，精确到 4 位有效数字，并验证迭代法的收敛性（分数：2.00）_3.用列主元 Gauss 消去法解方程组 （分数：2.00）_二、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.给定线性方程组 （分数：2.00）_5.若 g(x)是 f(x)以 x 0 ，x 1 ，x n-1 为插值节点的(n-1)次插值多项式，h(x)是 f(x)以
2、x 1 ，x 2 ，x n 为插值节点的(n-1)次插值多项式证明函数 （分数：2.00）_6.求 a，b，使得 （分数：2.00）_7.设 f(x)C 2 a，b，I(f)= I(f)的梯形公式将a，b进行 n 等分，记 h=(b-a)/n，x i =a+ih，0in 1)写出计算积分 I(f)的复化梯形公式 T n (f) 2)已知 I(f)-T(f)= 证明：存在 (a，b)，使得 I(f)-T n (f)= （分数：2.00）_8.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i =a+ih，i=0，1，2，n；y i y(x i )，1in，y 0 =试用数值积分方法
3、导出 Adams 两步显式公式 （分数：2.00）_9.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i =a+ih，i=0，1，2，n；y i y(x i )，1in，y 0 =试分析公式 （分数：2.00）_10.设抛物型方程初边值问题 （分数：2.00）_2010 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 C 答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设序列y n 满足递推关系 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，有e(y 0 )0510 -3 ，又 e(y n )=5e(y n-1 )=5 n
4、e(y 0 )，e(y 10 )=5 10 e(y 0 )5 10 0510 -3 =48828125， 所以 )解析：2.用简单迭代法求方程 sinx-x 2 +2=0 的正根，精确到 4 位有效数字，并验证迭代法的收敛性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f(x)=sinxx 2 +2，则 f“(x)=cosx-2x当 x1 时，f“(x)0，所以 f(x)在1，+)单调减又因为当 x0，1时，f(x)0，f(2)=sin 220，所以方程有唯一正根 x * 1，2 构造迭代格式 )解析：3.用列主元 Gauss 消去法解方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价的
5、三角形方程组为 )解析：二、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.给定线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)Jacobi 迭代格式为 2)取 )解析：5.若 g(x)是 f(x)以 x 0 ，x 1 ，x n-1 为插值节点的(n-1)次插值多项式，h(x)是 f(x)以 x 1 ，x 2 ，x n 为插值节点的(n-1)次插值多项式证明函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知 g(x i )=f(x i )，i=0，1，n-1，h(x i )=f(x i )，i=1，2，n 记 因为 g(x)和 h(x)为(n-1)次多项式，所以 s(x)为 n 次多
6、项式，而且 s(x 0 )=g(x 0 )=f(x 0 )，当 j=1，2，n-1 时，有 )解析：6.求 a，b，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 f(x)=ln(1+x)，p 1 (x)=a+bx，当 x(0，1)时，f“(x)= 0，所以 f(x)-p 1 (x)在0，1上恰有 3 个交错偏差点分别为 0，x 1 ，1，而且满足 即 解方程组得 a= (ln2-lnln2-1)，b=in2，x 1 = -1，故最小值为f(0)-p 1 (0)= )解析：7.设 f(x)C 2 a，b，I(f)= I(f)的梯形公式将a，b进行 n 等分，记 h=(b-a)/n，x i
7、=a+ih，0in 1)写出计算积分 I(f)的复化梯形公式 T n (f) 2)已知 I(f)-T(f)= 证明：存在 (a，b)，使得 I(f)-T n (f)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)复化梯形公式为 2)利用梯形公式的截断误差得 )解析：8.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i =a+ih，i=0，1，2，n；y i y(x i )，1in，y 0 =试用数值积分方法导出 Adams 两步显式公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程两边在x i ，x i+1 上积分得 y(x i+1 )=y(x i )+ xi xi+1
8、f(x，y(x)dx作 f(x，y(x)以 x i ，x i-1 为节点的线性插值多项式，有 所以得 y(x i+1 )= )解析：9.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i =a+ih，i=0，1，2，n；y i y(x i )，1in，y 0 =试分析公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：局部截断误差为 i+1 =y(x i+1 )- y(x i )+y(x i-1 )- 3f(x i+1 ，y(x i+1 )+8f(x i ，y(x i )+f(x i-1 ，y(x i-1 ) =y(x i+1 )- )解析：10.设抛物型方程初边值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)古典隐格式为 2)记 r=h 2 ，则差分方程可写为-ru i-1 k +(1+2r)u i k -ru i+1 k =u i k-1 +f(x i ，t k )，1iM-1，1kN 当 h=13 有 M=3，当 k=1 时我们得 )解析：
