1、2010年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B及答案解析(总分：14.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.设测量一个长方体的长、宽、高的相对误差限分别为 ，由测量的数据计算该长方体的体积 V,所得结果的相对误差限为多少?（分数：2.00）_2.分析方程 sin 2 x+1=x存在几个实根；用迭代法求出这些实根(要求精确至 4位有效数字)，并说明所用迭代格式为什么是收敛的（分数：2.00）_二、综合题(总题数：5，分数：10.00)3.给定线性方程组 （分数：2.00）_4.设 f(x)=2x-x 2 ，x0，1，求 f(x)的 1次最佳平方逼近多项
2、式（分数：2.00）_5.作一个 3次多项式 H(x)，使得 H(a)=0，H“(a)=b，H(b)=0，H“(b)=a（分数：2.00）_6.设 f(x)C 2 a，b 1)写出 f(x)以 a，b 为插值节点的一次插值多项式 L 1 (x)及其插值余项 f(x)-L 1 (x)； 2)推导出计算 I(f)= （分数：2.00）_7.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=(ba)/n，x i =a+ih，0in试分析下列预测-校正公式 （分数：2.00）_2010年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B答案解析(总分：14.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2
3、，分数：4.00)1.设测量一个长方体的长、宽、高的相对误差限分别为 ，由测量的数据计算该长方体的体积 V,所得结果的相对误差限为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则 V=abc由条件知e r (a)，e r (b)，e r (c)，dV=bcda+acdb+abdc， )解析：2.分析方程 sin 2 x+1=x存在几个实根；用迭代法求出这些实根(要求精确至 4位有效数字)，并说明所用迭代格式为什么是收敛的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程 sin 2 x+1=x改写为 sin 2 x=x-1，作函数 y 1 =sin 2
4、x和 y 2 =x-1的图像(如下图)知方程有唯一实根 x * 记 f(x)=sin 2 x+1-x，则 f“(x)=2sinxcosx-1=sin2x-1，f“(x)=2cos2x考虑区间 )解析：二、综合题(总题数：5，分数：10.00)3.给定线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)Jacobi 迭代格式为 迭代矩阵 J的特征方程为 展开得 12 2 9=0，求得 因为 所以 Jacobi迭代格式收敛 2)Gauss-Seidel 迭代格式为 迭代矩阵G的特征方程为 展开得 12 2 9=0，求得 1 =0， 2 = 因为 )解析：4.设 f(x)=2x-x 2 ，x0
5、，1，求 f(x)的 1次最佳平方逼近多项式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)的 1次最佳平方逼近多项式为 p(x)=a 0 +a 1 x取 0 (x)=1, 1 (x)=x，则( 0 , 0 )= 0 1 adx=1，( 0 , 1 )= 0 1 xdx= )解析：5.作一个 3次多项式 H(x)，使得 H(a)=0，H“(a)=b，H(b)=0，H“(b)=a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 H(a)=0，H(b)=0，可设 H(x)=(xa)(x-b)c 1 (xa)+c 2 (bx)=(xa)f(x)=(x-b)g(x)，其中 f(x)=(x-b)c 1
6、 (xa)+c 2 (bx)，g(x)=(xa)c 1 (xa)+c 2 (bx)求导得 H“(x)=2f“(x)+(xa)f“(x)，H“(a)=2f“(a)=b，H“(x)=2g“(x)+(xb)g)解析：6.设 f(x)C 2 a，b 1)写出 f(x)以 a，b 为插值节点的一次插值多项式 L 1 (x)及其插值余项 f(x)-L 1 (x)； 2)推导出计算 I(f)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1) f(x)-L 1 (x)= f“()(xa)(x-b)，=(x)(a，b) 2)T(f)= a b L 1 (x)dx= )解析：7.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=(ba)/n，x i =a+ih，0in试分析下列预测-校正公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：局部截断误差 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )- f(y(x i )+f(y(x i )+f(y(x i )=y(x i+1 )-y(x i )- y“(x i )- )解析：
