1、2009年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：14.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设 n次代数方程 x n +a 1 x n-1 +a 2 x n-2 +a n-1 x+a n =0有 n个实根，其最大实根为 x * 任取x 0 ，用 Newton迭代法可得迭代序列x k k=0 证明：如果 x 0 x * ，则有 （分数：2.00）_2.给定线性方程组 Ax=b，其中 1)写出 Gauss-Seidel迭代格式 2)设 A是按行严格对角占有矩阵，即 A满足 （分数：2.00）_3.求 a和 b，使得 （分数：2.00）
2、_二、综合题(总题数：4，分数：8.00)4.给定积分 I(f)= a b f(x)sinnxdx，其中 n为较大的正整数取正整数 M，将区间a，b作 M等分，并记 x i =a+ih，i=0，1，M 1)利用函数值 f(x 0 )，f(x 1 )，f(x M )作 f(x)的分段一次插值多项式 S(x)，给出 S(x)的表达式； 2)利用 S(x)构造计算 I(f)的数值求积公式 I N (f)= a b S(x)sinnxdx，并写成 （分数：2.00）_5.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)n，x i =a+ih，0in试分析下列求解公式 （分数：2.00）_6.设
3、两点边值问题 （分数：2.00）_7.设二阶抛物方程初边值问题 (B) 有光滑解 u(x，t)，其中 （分数：2.00）_2009年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案解析(总分：14.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设 n次代数方程 x n +a 1 x n-1 +a 2 x n-2 +a n-1 x+a n =0有 n个实根，其最大实根为 x * 任取x 0 ，用 Newton迭代法可得迭代序列x k k=0 证明：如果 x 0 x * ，则有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 p(x)=x n +a 1 x n-1 +
4、a n-1 x+a n ，则有 P(x)=q(x)(xx * ) m ，当 xx * 时，q(x)0，q“(x)0；m1 为整数 Newton 迭代公式为 x k+1 = x k+1 -x * = )解析：2.给定线性方程组 Ax=b，其中 1)写出 Gauss-Seidel迭代格式 2)设 A是按行严格对角占有矩阵，即 A满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)Gauss-Seidel 迭代格式为 2)迭代矩阵 G的特征方程为 当1时，由条件 得 因而 )解析：3.求 a和 b，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=x 4 ，则 f“(x)=4x 3 ，f
5、“(x)=12x 2 当 x1，2时，f“(x)0所以 f(x)-p(x)在1，2上有 3个交错偏差点：x 0 =1，x 1 (1，2)，x 2 =2，且满足 f(1)-p(1)=-f(x 1 )-p(x 1 )=f(2)-p(2)，f“(x 1 )-P“(x 1)解析：二、综合题(总题数：4，分数：8.00)4.给定积分 I(f)= a b f(x)sinnxdx，其中 n为较大的正整数取正整数 M，将区间a，b作 M等分，并记 x i =a+ih，i=0，1，M 1)利用函数值 f(x 0 )，f(x 1 )，f(x M )作 f(x)的分段一次插值多项式 S(x)，给出 S(x)的表达式
6、； 2)利用 S(x)构造计算 I(f)的数值求积公式 I N (f)= a b S(x)sinnxdx，并写成 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)当 xx i ，x i+1 时 S(x)= i=0，1，M-1，f(s)-S(x)= f“( i )(x-x i )(x-x i+1 ), i = i (x)(x i ,x i+1 ) 2) 3)I(f)-I N (f)= f(x)-S(x)sin(nx)dx= )解析：5.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)n，x i =a+ih，0in试分析下列求解公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y“=f(x，y
7、)，y“=f x (x，y)+f y (x，y)y“，y“=f xx (x，y)+f xy (x，y)y“+(f xy (x，y)+f yy (x，y)y“)y“+f y (x，y)y“ )解析：6.设两点边值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)-u“(x)+u=f(x)，-u (4) (x)+u“(x)=f“(x) -u (4) +u=f+f“ u(x i+1 )-2u(x i )+u(x i-1 )=u xx (x i )+ u x4 (x i )+ )解析：7.设二阶抛物方程初边值问题 (B) 有光滑解 u(x，t)，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)由 Taylor展开得 u(x i ,t k-1 )=u(x i ,t k )u k (x i ,t k )+ u tt (x i , ik )， )解析：
