1、2009年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：16.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.1)设 x 1 =51074，x 2 =80119 均具有 5位有效数字，试估计由这些数据计算 x 1 x 2 具有几位有效数字； 2)利用秦九韶算法计算多项式 p(x)=8x 5 6x 4 +4x 3 2x 2 +3x+1在 x=2处的值（分数：2.00）_2.设 3次代数方程 x 3 5x 2 2x+1=0的最大实根为 x * 任取 x 0 ，用 Newton迭代法可得迭代序列x k k=0 . 证明：如果 x 0 x * ，则有 （分
2、数：2.00）_二、综合题(总题数：6，分数：12.00)3.给定线性方程组 Ax=b，其中 1)写出 Jacobi迭代格式；2)设 A是按行严格对角占优矩阵，即 A满足 （分数：2.00）_4.设 f(x)=x 4 3x 3 +x 2 10，x 0 =1，x 1 =2，x 2 =3，x 3 =0 1)写出 f(x)以 x 0 ，x 1 ，x 2 ，x 3 为节点的 3次 Lagrange插值多项式 L 3 (x)； 2)写出 f(x)以 x 0 ，x 1 ，x 2 ，x 3 为节点的 3次 Newton插值多项式 N 3 (x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式（分数：2.00）_5
3、.求 a和 b，使得 （分数：2.00）_6.给定积分 取正整数 M，将区间a，b作 M等分，并记 h=(ba)M，x i =a+ih，i=0，1，M1)利用函数值 f(x 0 )，f(x 1 )，f(x M )作 f(x)的分段一次插值多项式S(x)，给出 S(x)的表达式； 2)利用 S(x)构造计算 I(f)的数值求积公式 并写成 （分数：2.00）_7.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i =a+ih，0in试分析下列求解公式 （分数：2.00）_8.设 2阶抛物方程初边值问题 （分数：2.00）_2009年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题
4、试卷答案解析(总分：16.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.1)设 x 1 =51074，x 2 =80119 均具有 5位有效数字，试估计由这些数据计算 x 1 x 2 具有几位有效数字； 2)利用秦九韶算法计算多项式 p(x)=8x 5 6x 4 +4x 3 2x 2 +3x+1在 x=2处的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)e(x i ) 10 -4 ，e(x 2 ) )解析：2.设 3次代数方程 x 3 5x 2 2x+1=0的最大实根为 x * 任取 x 0 ，用 Newton迭代法可得迭代序列x k k=0 . 证明：如果 x 0
5、 x * ，则有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法 1：记 f(x)=x 3 5x 2 2x+1，则 f(x)=3x 2 -10x-2，=10 2 43(-2)=1240所以 f(x)=0有两实根 x i * ，x 2 * ，且 x 1 * x 2 * =-2/30.又 f(0)=1，所以f(x)的图像如图所示，即 f(x)解析：二、综合题(总题数：6，分数：12.00)3.给定线性方程组 Ax=b，其中 1)写出 Jacobi迭代格式；2)设 A是按行严格对角占优矩阵，即 A满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)Jacobi 迭代格式为 2)Jacobi迭代矩阵为
6、 所以 Jacobi迭代格式收敛 )解析：4.设 f(x)=x 4 3x 3 +x 2 10，x 0 =1，x 1 =2，x 2 =3，x 3 =0 1)写出 f(x)以 x 0 ，x 1 ，x 2 ，x 3 为节点的 3次 Lagrange插值多项式 L 3 (x)； 2)写出 f(x)以 x 0 ，x 1 ，x 2 ，x 3 为节点的 3次 Newton插值多项式 N 3 (x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，可得 f(x 0 )=-11，f(x 1 )=-14，f(x 2 )=-1，f(x 3 )=-10 1)3 次Lagra
7、nge插值多项式为 2)计算差商表： 3次 Newton插值多项式为 N 3 (x)=-11+(-3)(x1)+8(x-1)(x2)+3(x1)(x-2)(x-3) 3)f(x)-L 3 (x)=f(x)-N 3 (x)= )解析：5.求 a和 b，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=e x ，f(x)=f“(x)=e x 0，而 p(x)=a+bx，则 f(x)-p(x)关下 0有 3个交错偏差点 x 0 =1，x 1 (1，2)，x 2 =2f(x 0 )-p(x 0 )=-f(x 1 )-p(x 1 )=f(x 2 )-p(x 2 )，f(x 1 )-p)解析：6.
8、给定积分 取正整数 M，将区间a，b作 M等分，并记 h=(ba)M，x i =a+ih，i=0，1，M1)利用函数值 f(x 0 )，f(x 1 )，f(x M )作 f(x)的分段一次插值多项式S(x)，给出 S(x)的表达式； 2)利用 S(x)构造计算 I(f)的数值求积公式 并写成 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)当 xx i ，x i+1 时 S(x)=f(x i ) +f(x i+1 ) f(x)-S(x)= f“( i )(xx i )(x-x i+1 )， i (x i ，x i+1 )，i=0，1，M-1 2)I N (f)= )解析：7.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n，x i =a+ih，0in试分析下列求解公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y=f(x，y)可得 y“=f x +f y y,y“=f xx +f xy y+(y yx +f yy y)y+f y y“。 )解析：8.设 2阶抛物方程初边值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1) u(x i ,t k )-u(x i ,t k-1 )=u t (x i ,t k )- u tt (x i , k )， )解析：
