1、2009年工程硕士（GCT）数学真题试卷及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.如图，直角坐标系 xOy中的曲线是二次函数 y=f(x)的图像，则 f(x)=( ) （分数：2.00）A.-x 2 -6x-5B.-x 2 G3+6x-5C.x 2 +4x-5D.x 2 -4x-53. （分数：2.00）A.41B.1681C.49D.24014.如图，长方形 ABCD，AB=a，BC=b(ba)若将长方形 ABCD 绕 A点顺时针旋转 90，
2、则线段 CD扫过的面积(阴影部分)等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.5.若将正偶数 2，4，6，8，10，12，14，16，依次排成一行： 246810121416 则从左右数的第 101个数码是( )（分数：2.00）A.4B.3C.2D.16.函数 y=f(x)是定义在(-，+)上的周期为 3的周期函数，右图表示的是该函数在区间-2，1上的图像，则 的值等于( )。 （分数：2.00）A.-2B.0C.2D.47.若两个正数的等差中项为 15，等比中项为 12，则这两数之差的绝对值等于( )。（分数：2.00）A.18B.10C.9D.78.甲、乙两车分别从 A、B 两地同时
3、相向开出，甲车的速度是 50km/h，乙车的速度是 40km/h，当甲车驶到A，B 两地路程的 （分数：2.00）A.210B.215C.220D.2259. （分数：2.00）A.B.C.D.10.下图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，图中第八行所有中误码填数字和等于( )。（分数：2.00）A.96B.128C.256D.31211. （分数：2.00）A.B.C.D.12.在直角坐标系中，若直线 y=kx与函数 （分数：2.00）A.(-，0)B.C.D.(2，+)13.在边长为 10的正方形 ABCD中，若按下图所画嵌入 6个边长一样的小正方形，使得 P，Q，M，四个顶点落
4、在大正方形的边上，则这六具小正方形的面积之和是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.14.甲盒中有 200个螺杆，其中 A型的有 160个；乙盒中有 240个螺母，其中 A型的有 180个，从甲乙两盒中任取一个零件，能配成 A型螺栓的概率为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.15.一个四面体木块的体积是 64cm 3 ，若过聚在每个顶点的三个棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的 4个“角”(小四面体)，则剩余部分的体积是( )。（分数：2.00）A.32cm 3B.36cm 3C.40cm 3D.44cm 316.设双曲线 （分数：2.00）A.外离B.相交C.外切D.
5、内切17. （分数：2.00）A.-B.-1C.0D.118.若 （分数：2.00）A.2B.1C.D.019. （分数：2.00）A.B.C.D.20.设函数 g(x)在 x=0点某领域内有定义，若 （分数：2.00）A.x0 时，g(x)是 x的高阶无穷小量B.g(x)在 x=0点可导C.lim g(x)存在，但 g(x)在 x=0点不连续D.g(x)在 x=0点连续，但不可导21. （分数：2.00）A.B.C.D.22.若可导函数 f(x)满足 f“(x)=f“(x)=f 2 (x)，且 f(0)=-1，则在点 x=0的三阶导数 f“(0) =( )（分数：2.00）A.6B.4C.-
6、4D.-623.乙知 A=(a ij )为 3阶矩阵，A T A=E(A T 的转置矩阵，E 是单位矩阵，若(a ij )=-1,b=(1 0 0) r ，则方程组 AX=b的解 X=( )（分数：2.00）A.(-1 1 0) rB.(-1 0 1) rC.(-1 -1 0) rD.(-1 0 0) r24.不恒为零的函数 （分数：2.00）A.恰有 3个零点B.恰有 2个零点C.至多有 1个零点D.没有零点25.若矩阵 （分数：2.00）A.3B.1C.2D.026.设向量 a 1 =(1 2 0) T ，a 2 =(2 3 0) T ，a 3 =(0 1 -1) T ，=(3 5 k)
7、T ，若 可由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示，则 k=( )。（分数：2.00）A.1B.-1C.-2D.22009年工程硕士（GCT）数学真题试卷答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.如图，直角坐标系 xOy中的曲线是二次函数 y=f(x)的图像，则 f(x)=( ) （分数：2.00）A.-x 2 -6x-5B.-x 2 G3+6x-5C.x 2 +4x-5D.x 2 -4x-5 解析：解析：考查的是二次函数的图像和解析式。
8、由二次函数的图像开口向上，由二次项系数大于 0，故选项 A、B 错误：由函数图像过(-1，0)知选项 C错误，所以正确答案是 D选项。3. （分数：2.00）A.41B.1681 C.49D.2401解析：解析：考查的知识点是平方差公式和等差数列求和公式。由题可知，分子为 20102008+1=(2009+1)(2009-1)+1=2009 2 -1+1=2009 2 ，分母等于 ，故原式等于 4.如图，长方形 ABCD，AB=a，BC=b(ba)若将长方形 ABCD 绕 A点顺时针旋转 90，则线段 CD扫过的面积(阴影部分)等于( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：面积
9、计算题目。由题可知，阴影部分面积为5.若将正偶数 2，4，6，8，10，12，14，16，依次排成一行： 246810121416 则从左右数的第 101个数码是( )（分数：2.00）A.4B.3C.2D.1 解析：解析：从 2到 100的偶数列共有 6+108+11=97位数码，后面紧接着的偶数是分别是 102，104，所以第 101位数码是 104的百位数字 1。所以正确答案是 D选项。6.函数 y=f(x)是定义在(-，+)上的周期为 3的周期函数，右图表示的是该函数在区间-2，1上的图像，则 的值等于( )。 （分数：2.00）A.-2B.0C.2 D.4解析：解析：周期函数题。由于
10、函数 f(x)的周期是 3，所以 f(2009)=f(-)=-1，f(-3)=f(0)=1，f(4)=f(1)=2，故原式等于7.若两个正数的等差中项为 15，等比中项为 12，则这两数之差的绝对值等于( )。（分数：2.00）A.18 B.10C.9D.7解析：解析：设这两个整数分别为 a，b，由题可知 a+b=152=30，a*b=12 2 =144，所以 8.甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出，甲车的速度是 50km/h，乙车的速度是 40km/h，当甲车驶到A，B 两地路程的 （分数：2.00）A.210B.215C.220D.225 解析：解析：设 A，B 两地的距离是 xk
11、m，由题可列出方程9. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：三角函数题目。由题知10.下图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，图中第八行所有中误码填数字和等于( )。（分数：2.00）A.96B.128 C.256D.312解析：解析：由二项式系数和公式 11. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：12.在直角坐标系中，若直线 y=kx与函数 （分数：2.00）A.(-，0)B.C. D.(2，+)解析：解析：由题知，当 时，直线 y=kx过点(-3，2)，与分段函数刚好有两个交点；当 时，直线 y=kx仅与函数的 y=2x-8分支有一个交点：当13.在边长为
12、 10的正方形 ABCD中，若按下图所画嵌入 6个边长一样的小正方形，使得 P，Q，M，四个顶点落在大正方形的边上，则这六具小正方形的面积之和是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：平面几何计算题目。过 Q作线段 QR垂直 DA交 DA于 R。设 DM=b，DN=b，设 MN=c，则 。由图易知，DMNRNQ，故 。又 MN=c，NQ=5c，所以 RQ=5b=10,RN=5a，容易解得 b=2。又5a+2b=10，所以 。从而可得六个小正方形的面积为14.甲盒中有 200个螺杆，其中 A型的有 160个；乙盒中有 240个螺母，其中 A型的有 180个，从甲乙两盒中任取一个
13、零件，能配成 A型螺栓的概率为( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：概率计算题目。由题知，能配成 A型螺栓意味着从甲盒和乙盒中均取出的为 A型，所以概率为15.一个四面体木块的体积是 64cm 3 ，若过聚在每个顶点的三个棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的 4个“角”(小四面体)，则剩余部分的体积是( )。（分数：2.00）A.32cm 3 B.36cm 3C.40cm 3D.44cm 3解析：解析：由于每个小角与原四面体相似，且相似比为 ，故小角的体积为整个四面体的 。故剩余部分的体积为16.设双曲线 （分数：2.00）A.外离B.相交C.外切 D.内切解析：
14、解析：圆锥曲线问题。设点 P的坐标为 P(x,y)，PF 2 的中点为 M。根据双曲线的焦半径公式可得，|PF 2 |=ex-a，故两个圆的半径和为 。又两个圆的圆心距离 ，利用 17. （分数：2.00）A.-B.-1 C.0D.1解析：解析：极限运算。利用罗必达法则，易得18.若 （分数：2.00）A.2B.1 C.D.0解析：解析：函数极值问题。令 ，易得 x=1，或者 x=4。当 0x1 时， ；当 1x2 时，；当 x2 时19. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：20.设函数 g(x)在 x=0点某领域内有定义，若 （分数：2.00）A.x0 时，g(x)是 x的高阶
15、无穷小量 B.g(x)在 x=0点可导C.lim g(x)存在，但 g(x)在 x=0点不连续D.g(x)在 x=0点连续，但不可导解析：解析：极限的性质。由题知21. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：22.若可导函数 f(x)满足 f“(x)=f“(x)=f 2 (x)，且 f(0)=-1，则在点 x=0的三阶导数 f“(0) =( )（分数：2.00）A.6 B.4C.-4D.-6解析：解析：导数计算题目。由题知 f“(x)=f(x) 2 ，故 f“(x)=2f(x)f“(x)=2f 3 (x)，进而可得，f“(x)=6f 2 (x)f“(x)=6f 4 (x)。所以 f“
16、(0)=6f 4 (0)=6，正确的答案是 A选项。23.乙知 A=(a ij )为 3阶矩阵，A T A=E(A T 的转置矩阵，E 是单位矩阵，若(a ij )=-1,b=(1 0 0) r ，则方程组 AX=b的解 X=( )（分数：2.00）A.(-1 1 0) rB.(-1 0 1) rC.(-1 -1 0) rD.(-1 0 0) r 解析：解析：线性方程组问题。由题知 A T A=E，故矩阵 A满秩，方程组 AX=b必然有唯一的解。方程组两边同乘以 A T ，得 A T AX=EX=X=A T b=A T (1 0 0) T 。而 AT(1 0 0) T =(a 11 0 0) T =(-1 0 0) T ，所以正确的答案是 D选项。24.不恒为零的函数 （分数：2.00）A.恰有 3个零点B.恰有 2个零点C.至多有 1个零点 D.没有零点解析：解析：行列式问题。由题知25.若矩阵 （分数：2.00）A.3B.1 C.2D.0解析：解析：矩阵的秩问题。26.设向量 a 1 =(1 2 0) T ，a 2 =(2 3 0) T ，a 3 =(0 1 -1) T ，=(3 5 k) T ，若 可由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示，则 k=( )。（分数：2.00）A.1 B.-1C.-2D.2解析：解析：有题知
