1、2008年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、证明题(总题数：2，分数：4.00)1.设 I n = 0 1 x n e x-1 dx，求证： 1)I n =1-nI n-1 ，n=1，2，； 2)上式正向递推时误差逐步扩大，反向递推时误差逐步衰减（分数：2.00）_2.设 A=(a ij )R nn ，称 （分数：2.00）_二、综合题(总题数：8，分数：16.00)3.分析用 Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式解线性方程组 （分数：2.00）_4.在区间a，b上任取插值节点 ax 0 x 1 x n
2、 b，令 求证： （分数：2.00）_5.用迭代法求出方程 9x-sinx-1=0的全部实根(精确到 3位有效数字)，并说明所用迭代格式的收敛性（分数：2.00）_6.求 f(x)= （分数：2.00）_7.设 f(x)C 3 a，b 1)写出 f(x)以 a， ，b 为插值节点的 2次插值多项式 L 2 (x)以及插值余项 f(x)-L 2 (x)的表达式； 2)证明： （分数：2.00）_8.设 f(x)Ca，b，ax 0 x 1 x 2 x n-1 x n b，且 I(f)= a b f(x)dx, 1)当满足什么条件时称 I N (f)是一个 Gauss型求积公式? 2)验证 （分数：
3、2.00）_9.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n,x i =a+ih，0in 分析预测-校正公式 （分数：2.00）_10.已知 M，N 为正整数，h=1M，=TN记 设u i k 0iM，0kN为差分格式 的解，试证明：当 时，该差分格式的解有先验估计式 （分数：2.00）_2008年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、证明题(总题数：2，分数：4.00)1.设 I n = 0 1 x n e x-1 dx，求证： 1)I n =1-nI n-1 ，n=1，2，； 2)上式正向递推时误差逐步扩大，
4、反向递推时误差逐步衰减（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)I n = 0 1 x n e x-1 dx= 0 1 x n de x-1 =x n e x-1 0 1 -n 0 1 x n-1 e x-1 dx=1-nI n-1)解析：2.设 A=(a ij )R nn ，称 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1) 所以Ax 2 A F x 2 2) )解析：二、综合题(总题数：8，分数：16.00)3.分析用 Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel迭代格式解线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)Jacobi 迭代矩阵 J的特征多项式为 2(4 2
5、 3)=0 1 =0， 所以 从而用 Jacobi迭代公式求解收敛 2)GaussSeidel 迭代矩阵 G的特征多项式为 2 2 (4-3)=0 1 =0， 2 =0， 所以 )解析：4.在区间a，b上任取插值节点 ax 0 x 1 x n b，令 求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L(x)为 n次多项式，且 L(x 0 )=1，L(x 1 )=0，L(x 2 )=0，L(x n )=0，Lx 0 =L(x 0 )=1， )解析：5.用迭代法求出方程 9x-sinx-1=0的全部实根(精确到 3位有效数字)，并说明所用迭代格式的收敛性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
6、设 f(x)=9xsinx-1，则 f“(x)=9-cos x0，故 f(x)单调上升又 f(0)=-1，f(1)=9-sin11=8-sin 17，所以，方程 f(x)=0有唯一根 x * (0，1)将 f(x)=0改写为 构造如下迭代格式： )解析：6.求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)= )解析：7.设 f(x)C 3 a，b 1)写出 f(x)以 a， ，b 为插值节点的 2次插值多项式 L 2 (x)以及插值余项 f(x)-L 2 (x)的表达式； 2)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8.设 f(x)Ca，b，ax 0
7、x 1 x 2 x n-1 x n b，且 I(f)= a b f(x)dx, 1)当满足什么条件时称 I N (f)是一个 Gauss型求积公式? 2)验证 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)如果当 f(x)=1，x，x 2 ，x 2n+1 时，有 I N (f)=I(f)，则称 I N (f)为Gauss型求积公式 2)当 f(x)=1时，左=2，右=2，左=右； 当 f(x)=x时，左=0，右=0，左=右； 当 f(x)=x 2 时，左= ，右= )解析：9.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(b-a)/n,x i =a+ih，0in 分析预测-校正公式 （分数：
8、2.00）_正确答案：(正确答案：将预测值代入校正公式得 y i+1 =y i + f(x i ，y i )+f(x i+1 +y i +hf(x i ，y i ) 局部截断误差为 注意到 因而 )解析：10.已知 M，N 为正整数，h=1M，=TN记 设u i k 0iM，0kN为差分格式 的解，试证明：当 时，该差分格式的解有先验估计式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 差分方程可写为 将上式两边同乘以 ，1iM-1,1kN-1 得将上式对 i求和，得 利用 =0， =0，由分部求和公式，得 用 CauchySchwarz不等式，得 记 由，和得 当 时 1kN-1，由 Gronwall不等式，得 )解析：
