1、2008年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.设 f(x)= 求 f(30)的值若开平方用 6位函数表，有 =ln(30299833)=-4092347，则所得结果具有几位有效数字?若改用另一等价公式，有 （分数：2.00）_2.用 jacobi迭代格式解线性方程组 问 Jacobi迭代格式是否收敛?如果收敛，取 x (0) =(0，0，0) T ，则需要迭代多少次可保证各分量的误差绝对值小于 （分数：2.00）_二、证明题(总题数：1，分数：2.00)3.已知 AR nn ，I 为
2、n阶单位矩阵，且A1，证明：I+A 可逆，且 （分数：2.00）_三、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.利用函数 f(x)=sinx在 处的值作 3次插值多项式求 （分数：2.00）_5.1)设 c(a，b)将区间a，b分为两个小区间a，c和c，b，函数 S(x)在a，b上处处有定义，当S(x)满足什么条件时称S(x)为 3次样条函数? 2)求 3次样条函数 S(x)，使其满足如下条件： （分数：2.00）_6.求方程 X 3 3x5=0的全部实根，精确到 4位有效数字（分数：2.00）_7.求 f(x)=2x 2 -x+1在区间-1，1上的 1次最佳平方逼近多项式 p(x)=a+bx
3、（分数：2.00）_8.设 f(x)C 2 a，b，I(f)= 1)写出梯形公式 T(f)截断误差的表达式； 2)将区间a，b作 n等分，记 ，x i =a+ih，0in，另记 T n (f)为计算 I(f)的复化梯形公式，试求 （分数：2.00）_9.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 ,x i =a+ih，0in分析求解公式 y i+1 =y i + （分数：2.00）_10.考虑如下差分格式 其中 h=1M，=TN试证明该差分格式的解有如下先验估计式： 其中 （分数：2.00）_2008年攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案解析(总分：20.00，做题时间：90
4、分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.设 f(x)= 求 f(30)的值若开平方用 6位函数表，有 =ln(30299833)=-4092347，则所得结果具有几位有效数字?若改用另一等价公式，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ,x=299833，则x * -x 10 -4 ln(30-x * )-ln(30x) (30x * )-(30x)= ln(30-x * )-ln(30x) =029940110 -2 10 -2 ，所以第一种算法至少具有 3位有效数字ln(30+x * )-ln(30+x) )解析：2.用 jacobi迭代格式解线性方程组 问 Jacob
5、i迭代格式是否收敛?如果收敛，取 x (0) =(0，0，0) T ，则需要迭代多少次可保证各分量的误差绝对值小于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给线性方程组的系数矩阵 是严格对角占优矩阵，所以 Jacobi迭代格式收敛 Jacobi 迭代矩阵为 所以J = Jacobi迭代格式为 取 x (0) =(0，0，0) T ，计算得 x (1) = x (1) -x (0) = e (k) =x * -x (k) ， )解析：二、证明题(总题数：1，分数：2.00)3.已知 AR nn ，I 为 n阶单位矩阵，且A1，证明：I+A 可逆，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
6、若 I+A不可逆，则有 x0 使得(I+A)x=0 )解析：三、综合题(总题数：7，分数：14.00)4.利用函数 f(x)=sinx在 处的值作 3次插值多项式求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，有 )解析：5.1)设 c(a，b)将区间a，b分为两个小区间a，c和c，b，函数 S(x)在a，b上处处有定义，当S(x)满足什么条件时称S(x)为 3次样条函数? 2)求 3次样条函数 S(x)，使其满足如下条件： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)当 s(x)在a，c和c，b上均为 3次多项式，且 S(x)C 2 a，b，则称 S(x)为 3次样条函数 2)设
7、S“(3)=m，则利用数据表 构造差商表如下： 则当 x2，3时 S(x)=1+(x-2)+(x-2) 2 +(m-3)(x-2) 2 (x-3) 利用数据表 构造差商表如下： )解析：6.求方程 X 3 3x5=0的全部实根，精确到 4位有效数字（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=x 3 3x-5，则 f“(x)=3x 2 3，由 f“(x)=0得 x=1，x=-1 当x1 时，f“(x)0；当x1 时，f“(x)0又 f(1)=135=-7，f(-1)=-1+3-5=-3，f(2)=2 3 235=-3，f(3)=3 3 -335=13，作函数 y=(x)的草图(如下所
8、示)知 f(x)=0有唯一实根 x * (2，3)改写方程 f(x)=0如下： )解析：7.求 f(x)=2x 2 -x+1在区间-1，1上的 1次最佳平方逼近多项式 p(x)=a+bx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 0 (x)=1， 1 (x)=x，则 ( 0 ， 0 )= -1 1 1 2 dx=2，( 0 ， 1 )= -1 1 xdx=0，( 1 ， 1 )= -1 1 x 2 dx= )解析：8.设 f(x)C 2 a，b，I(f)= 1)写出梯形公式 T(f)截断误差的表达式； 2)将区间a，b作 n等分，记 ，x i =a+ih，0in，另记 T n (f)为计算
9、I(f)的复化梯形公式，试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)I(f)一 T(f)= 2)I(f)-T n (f)= )解析：9.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 ,x i =a+ih，0in分析求解公式 y i+1 =y i + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：R i+1 =y(x i+1 )-y(x i ) - 5f(x i+1 ,y(x i+1 )+8f(x i ,y(x i )-f(x i-1 ,y(x i-1 )=y(x i+1 )-y(x i )- )解析：10.考虑如下差分格式 其中 h=1M，=TN试证明该差分格式的解有如下先验估计式： 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 )解析：
