1、2007 年春季攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：4，分数：8.00)1.设 x=3142，y=314 是由某准确值通过四舍五入得到的近似值，试分析 ln(xy)的绝对误差限和相对误差限（分数：2.00）_2.给定非线性方程 e x +lnx-3=0 1)分析该方程实根个数； 2)用 Newton 迭代法求方程所有实根，精确到 4 位有效数字（分数：2.00）_3.1)设 A= 求 cond(A) 2 ； 2)设 AR nn 非奇异，BR nn 奇异，证明： （分数：2.00）_4.给定线性方程组 （分数：
2、2.00）_二、综合题(总题数：6，分数：12.00)5.求一个 3 次多项式 p(x)，使其满足 p(1)=1， p“(1)=2， p(2)=3， p“(2)=4（分数：2.00）_6.求常数 ，使积分 （分数：2.00）_7.已知求积公式 （分数：2.00）_8.考虑常微分方程初值问题 记 h=(ba)/n，x i =a+ih，i=0，1，n 给定求解上述初值问题的公式 y i+1 =y i-1 + （分数：2.00）_9.考虑偏微分方程初边值问题 （分数：2.00）_10.设 f(x)在a，b上 3 阶连续可导，且 f(a)=f(b)=f“(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：
3、2.00）_2007 年春季攻读工学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案解析(总分：20.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：4，分数：8.00)1.设 x=3142，y=314 是由某准确值通过四舍五入得到的近似值，试分析 ln(xy)的绝对误差限和相对误差限（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：e(x) 10 -3 e(y) 10 -2 . )解析：2.给定非线性方程 e x +lnx-3=0 1)分析该方程实根个数； 2)用 Newton 迭代法求方程所有实根，精确到 4 位有效数字（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)令 f(x)=e x +lnx-3
4、，则 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=e-30，f(2)=e 2 +ln230又当 x0 时 f“(x)=e x + 0，所以方程有唯一实根 x * 1，2 2)Newton 迭代格式为 x k+1 =x k - )解析：3.1)设 A= 求 cond(A) 2 ； 2)设 AR nn 非奇异，BR nn 奇异，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1) 2)因为 B 奇异，所以存在 xR n ，x0，使得 Bx=0，从而有(AB)x=Ax x=A -1 (AB)x，两边取范数得x=A -1 (AB)xA -1 A-Bx因为x0，所以x0，因此得A -1 A-B1，即 )
5、解析：4.给定线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Jacobi 迭代格式为 Jacobi 迭代矩阵 J 的特征方程为 从而 所以当)解析：二、综合题(总题数：6，分数：12.00)5.求一个 3 次多项式 p(x)，使其满足 p(1)=1， p“(1)=2， p(2)=3， p“(2)=4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求一个 2 次多项式 q(x)满足 q(1)=1，q“(1)=2，q(2)=3，易求得 q(x)=1+2(x-1)令 R(x)=p(x)-q(x)，则 R(x)是 3 次多项式，且 R(1)=R“(1)=R(2)=0，所以 R(x)=A(x-1)
6、2 (x-2) )解析：6.求常数 ，使积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 (x)=x， 1 (x)=x 2 ，则 ( 0 , 0 )= 0 1 x 2 dx= ,( 0 ， 1 )= 0 1 x 3 dx= ，( 1 ， 0 )= )解析：7.已知求积公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)令 f(x)=1，左= 0 1 1dx=1，右=1； 令 f(x)=x，左= 0 1 xdx= ，右= ； 令 f(x)=x 2 ，左= 0 1 x 2 dx= ，右= ； 令 f(x)=x 3 ，左= 0 1 x 3 dx= ，右= )解析：8.考虑常微分方程初值问题 记
7、 h=(ba)/n，x i =a+ih，i=0，1，n 给定求解上述初值问题的公式 y i+1 =y i-1 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：R i+1 =y(x i+1 )-y(x i-1 ) - f(x i+1 ，y(x i+1 )+4f(x i ，y(x i )+f(x i-1 ,y(x i-1 )=y(x i+1 )-y(x i-1 )- )解析：9.考虑偏微分方程初边值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)考虑(x i ，t k )点的方程 记 U i k =u(x i ，t k )，则有 )解析：10.设 f(x)在a，b上 3 阶连续可导，且 f(a)=f(b)=f“(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作 2 次 Hermite 插值多项式 H(x)，使其满足 H(a)=f(a)，H(b)=f(6)，H“(b)=f“(b)，由于 f(a)=f(b)=f“(b)=0，所以 H(x)=0由 Hermite 插值多项式的余项得 f(x)-H(x)=f(x)= (x-a)(x-b) 2 ，(a，b)，所以 )解析：
