1、2007年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：16.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.给定方程 sinx+x 2 3x=0 1)分析该方程存在几个实根； 2)用适当的迭代法求出这些根，精确到 3位有效数字（分数：2.00）_2.用列主元 Gauss消去法解线性方程组 （分数：2.00）_二、综合题(总题数：6，分数：12.00)3.给定线性方程组 （分数：2.00）_4.设 x i (0jn)是(n+1)个不同的点，a j (Ojn)是已知常数作一个(2n+1)次多项式 p(x)，使得p(x j )=0，p“(x j )=a
2、 j ，0jn（分数：2.00）_5.设 f(x)C 4 a，b，考虑积分 I(f)= a b f(x)dx 1)写出计算积分 I(f)的复化 Simpson公式 S n (f)该公式是几阶求积公式?其代数精度是多少? 2)已知 (A)是一个 Gauss求积公式，证明： （分数：2.00）_6.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i =a+ih，0in证明： （分数：2.00）_7.设 f(x)=3xx 2 ，x0，2 1)试求 f(x)的一次最佳平方逼近多项式； 2)试求 f(x)的一次最佳一致逼近多项式（分数：2.00）_8.设初边值问题 (C) 存在充分光滑的解
3、，其中 (0)=(1)=0取正整数 M和 K，并记h=1M，=TK，x i =ih,t k =k， 现给出如下差分格式： (D) 其中 （分数：2.00）_2007年攻读理学博士学位研究生入学考试（数值分析）真题试卷答案解析(总分：16.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.给定方程 sinx+x 2 3x=0 1)分析该方程存在几个实根； 2)用适当的迭代法求出这些根，精确到 3位有效数字（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易知 x=0为方程 sinx+x 2 3x=0的一个根.记 f(x)=sinx+x 2 3x，则 f“(x)=cos x+2x-3
4、， f“(x)=2-sinx0， f“(1)=-1+cos 10， f“(2)=1+cos 20， 所以存在 (1，2)，当 时，f“(x)0；当 时，f“(x)0由 f(0)=0， 知 x=0为 f(x)=0在(-， )解析：2.用列主元 Gauss消去法解线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价的三角方程组为 回代得 x 3 =10, )解析：二、综合题(总题数：6，分数：12.00)3.给定线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)Jacobi 迭代格式为 Gauss-Seidel迭代格式为 2)Jacobi迭代矩阵J的特征方程为 即 ad 2 =bc
5、，(J)= Gauss-Seidel迭代矩阵 G的特征方程为 即(adbc)=0，(G)= 因为 所以 P(J)1 p(G)1，P(J)1 )解析：4.设 x i (0jn)是(n+1)个不同的点，a j (Ojn)是已知常数作一个(2n+1)次多项式 p(x)，使得p(x j )=0，p“(x j )=a j ，0jn（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作 2n+1次多项式 H k (x)，使其满足 H k (x j )=0，H“ k (x j )= kj ，0jn，则 H k (x)以 x 0 ，x 1 ，x k-1 ，x k+1 ，x n 为 2重零根，以 x k 为单零点于是可将
6、 H k (x)表示)解析：5.设 f(x)C 4 a，b，考虑积分 I(f)= a b f(x)dx 1)写出计算积分 I(f)的复化 Simpson公式 S n (f)该公式是几阶求积公式?其代数精度是多少? 2)已知 (A)是一个 Gauss求积公式，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)将a，b作 n等分，记 h=(ba)/n，x i =a+ih，0in， =(x i +x i+1 )2，则 它是一个 4阶求积公式，代数精度为 3 2)由于 是一个 Guass公式，所以当 g(t)是一个 3次多项式时，它是精确成立的 当 f(x)为 x的 3次多项式时， 是 t的 3次
7、多项式，应用公式(A)是精确成立的，即有 )解析：6.考虑常微分方程初值问题 取正整数 n，记 h=(ba)n，x i =a+ih，0in证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：截断误差为 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )- (2K 1 +3K 2 +4K 3 )，其中 K 1 =f(x i , y(x i ),K 2 =f(x i + y(x i )+ )解析：7.设 f(x)=3xx 2 ，x0，2 1)试求 f(x)的一次最佳平方逼近多项式； 2)试求 f(x)的一次最佳一致逼近多项式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)设一次最佳平方逼近多项式为 p(x)=a 0 +a 1 x，则 0 (x)=1， 1 (x)=x，( 0 ， 0 )= 0 2 1fx=2， ( 0 ， 1 )= 0 2 xdx=2， ( 1 ， 1 )= 0)解析：8.设初边值问题 (C) 存在充分光滑的解，其中 (0)=(1)=0取正整数 M和 K，并记h=1M，=TK，x i =ih,t k =k， 现给出如下差分格式： (D) 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1) (u i k+1 -u i k )- (u i+1 k+1 -2u i k+1 +u i-1 k+1 +u i+1 k -2u i k +u i-1 k )= ，记 )解析：
