1、高等数学一自考题模拟 18及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.函数 （分数：2.00）A.(0，1)B.(0，1)(1，4)C.(0，4)D.(0，1)(1，42.下列函数中为奇函数的是_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.3.微分方程 y“=y满足初始条件 y| x=0 =1的特解为_ A.ex B.ex-1 C.ex+1 D.2-ex（分数：2.00）A.B.C.D.4.设 z=e xy ，则 dz=_ A.exydx B.(xdy+ydx)exy C.xdy+yd
2、x D.(x+y)exy（分数：2.00）A.B.C.D.5.曲线 （分数：2.00）A.x=1B.x=-1C.y=1D.y=0三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6.设 f(x)的一个原函数是 x 3 ，则f“(x)dx= 1 （分数：3.00）7.设函数 z=sin(xy 2 )，则全微分 dz= 1 （分数：3.00）8.函数 （分数：3.00）9. （分数：3.00）10.设 f(x)在 x=a处可导，则 （分数：3.00）11.设函数 y=lnx，则它的弹性函数 （分数：3.00）12.曲线 y=x 3 +3x 2 -1的拐
3、点是 1 （分数：3.00）13. （分数：3.00）14.设 e -x 是 f(x)的一个原函数，则xf(x)dx= 1 （分数：3.00）15.微分方程 yy“=x的通解是 1 （分数：3.00）五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)16.求数列极限 （分数：5.00）_17. （分数：5.00）_18.求不定积分 （分数：5.00）_19.计算定积分 （分数：5.00）_20.求函数 f(x)=x 3 -6x 2 +9x-4在闭区间0，2上的最大值和最小值 （分数：5.00）_六、计算题(二)(总题数：3，分数：21.00)21.求微分方程 yy“=3(x+2) 2 (1+y
4、2 )的通解 （分数：7.00）_22. （分数：7.00）_23.设 D是 xOy平面上由直线 y=x，x=2 和曲线 xy=1所围成的区域，试求 （分数：7.00）_七、应用题(总题数：1，分数：9.00)在一天内，某用户 t时刻用电的电流为 （分数：9.00）(1).求电流 I(t)单调增加的时间段；（分数：4.50）_(2).若电流 I(t)超过 25安培系统自动断电，问该用户能否在一天内不被断电?（分数：4.50）_八、证明题(总题数：1，分数：5.00)24.证明：函数 y 1 =(e x +e -x ) 2 和 y 2 =(e x -e -x ) 2 都是同一个函数的原函数 （分
5、数：5.00）_高等数学一自考题模拟 18答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.函数 （分数：2.00）A.(0，1)B.(0，1)(1，4)C.(0，4)D.(0，1)(1，4 解析：考点 函数定义域的计算 解析 2.下列函数中为奇函数的是_ A B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：考点 函数奇偶性 解析 故 为偶函数； 故 3.微分方程 y“=y满足初始条件 y| x=0 =1的特解为_ A.ex B.ex-1 C.ex+1 D.2-ex（分数：2.00）A. B.C
6、.D.解析：考点 微分方程的特解的计算 解析 由 y“=y得 故 4.设 z=e xy ，则 dz=_ A.exydx B.(xdy+ydx)exy C.xdy+ydx D.(x+y)exy（分数：2.00）A.B. C.D.解析：考点 全微分的计算 解析 dz=f“ x (x，y)dx+f“ y (x，y)dy=e xy ydx+e xy xdy=(xdy+ydx)e xy 5.曲线 （分数：2.00）A.x=1B.x=-1C.y=1 D.y=0解析：考点 渐近线的求法 解析 故 y=1， 因 三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6
7、.设 f(x)的一个原函数是 x 3 ，则f“(x)dx= 1 （分数：3.00）解析：3x 2 +C 考点 导数和积分计算 解析 因 f(x)的原函数是 x 3 ，故 f(x)=3x 2 ，故f“(x)dx=f(x)+C=3x 2 +C7.设函数 z=sin(xy 2 )，则全微分 dz= 1 （分数：3.00）解析：ycos(xy 2 )(ydx+2xdy) 考点 全微分相关知识 解析 8.函数 （分数：3.00）解析： 考点 反函数的计算 解析 由题意并将已知函数 x，y 位置互换得 则 故 9. （分数：3.00）解析： 考点 极限的运算 解析 10.设 f(x)在 x=a处可导，则
8、（分数：3.00）解析：-2f“(a) 考点 函数可导的意义 解析 11.设函数 y=lnx，则它的弹性函数 （分数：3.00）解析： 考点 弹性函数 解析 12.曲线 y=x 3 +3x 2 -1的拐点是 1 （分数：3.00）解析：(-1，1) 考点 曲线拐点的求法 解析 令 y“=6x+6=0，得 x=-1，当 x-1 时，y“0；当 x-1 时，y“0而把 x=-1代入曲线方程，得y=1，所以曲线的拐点是(-1，1)13. （分数：3.00）解析： 考点 函数的求导 解析 14.设 e -x 是 f(x)的一个原函数，则xf(x)dx= 1 （分数：3.00）解析：e -x (1+x)
9、+C 考点 不定积分的计算 解析 由题意得 f(x)=-e -x ，故xf(x)dx=x(-e -x )dx=-xe -x dx=xde -x =xe -x -e -x dx=xe -x +e -x +C=e -x (1+x)+C15.微分方程 yy“=x的通解是 1 （分数：3.00）解析：y 2 =x 2 +C 考点 微分方程的通解计算 解析 由题意得 五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)16.求数列极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：方法一： 方法二： 17. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：原式=xdtanx=xtanx-tanxdx=xtanx+
10、ln|cosx|+C18.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：19.计算定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：设 x=sint，则20.求函数 f(x)=x 3 -6x 2 +9x-4在闭区间0，2上的最大值和最小值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：因函数在闭区间0，2上连续，则必有最大值和最小值 f“(x)=3x 2 -12x+9=3(x-1)(x-3)，令 f“(x)=0，得驻点 x=1，x=3(x=3 舍)，计算 f(0)=-4，f(1)=0，f(2)=-2，最大值为 f(1)=0，最小值为 f(0)=-4六、计算题(二)(总题数：3，分数：
11、21.00)21.求微分方程 yy“=3(x+2) 2 (1+y 2 )的通解 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解：原方程为 22. （分数：7.00）_正确答案：()解析：解：23.设 D是 xOy平面上由直线 y=x，x=2 和曲线 xy=1所围成的区域，试求 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解：解方程组 得交点(1，-1)， 七、应用题(总题数：1，分数：9.00)在一天内，某用户 t时刻用电的电流为 （分数：9.00）(1).求电流 I(t)单调增加的时间段；（分数：4.50）_正确答案：()解析：解：由 (2).若电流 I(t)超过 25安培系统自动断电，问该用户能否
12、在一天内不被断电?（分数：4.50）_正确答案：()解析：解：因为 I(t)在闭区间0，24上连续，且 I(0)=I(24)=2，I(8)=22.48， 所以最大电流为 I M =22.48安培，由于 I M 25 安培，故该用户在一天内不会被断电八、证明题(总题数：1，分数：5.00)24.证明：函数 y 1 =(e x +e -x ) 2 和 y 2 =(e x -e -x ) 2 都是同一个函数的原函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：因为 y“ 1 =2(e x +e -x )(e x -e -x )=2(e 2x -e -2x )，y“ 2 =2(e x -e -x )(e x +e -x )=2(e 2x -e -2x )，所以函数 y 1 ，y 2 都是函数 2(e 2x -e -2x )的原函数
