1、高等数学一自考题模拟 14及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.设 f(x)在 x=0处可导，则 f“(0)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在 x=a处可导，则 f(x)在 x=a处_（分数：2.00）A.不一定可微B.可微C.极限不一定存在D.不一定连续3.已知函数 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.不存在4.函数 x(-，)的最大值为_ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5.若直线 x=1是曲线 y=f(x)
2、的铅直渐近线，则 f(x)是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6.设 （分数：3.00）7.函数 y=lnx在1，2上满足拉格朗日中值定理的点 是 1 （分数：3.00）8.曲线 y=xe x 为凸的区间是 1 （分数：3.00）9.已知 y=arccosx 2 ，则 y“= 1 （分数：3.00）10.函数 y=sinx-x在区间0，上的最大值是 1 （分数：3.00）11.设函数 （分数：3.00）12.设函数 y=cos 2 xlnx，则 y“ 1 （分数：3.00）13.
3、函数 y=(x-1)(x+1) 3 单调减少的区间是 1 （分数：3.00）14.曲线 f(x)=xe x 的拐点为 1 （分数：3.00）15.已知某商品的成本函数为 （分数：3.00）五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)16.设 （分数：5.00）_17.求 （分数：5.00）_18.求极限 （分数：5.00）_19.设函数 f(x)=arctanx，求 f“(0)，f“(0) （分数：5.00）_20.设 （分数：5.00）_六、计算题(二)(总题数：3，分数：21.00)21.求函数 f(x)=|2x 3 -9x 2 +12x|在闭区间 （分数：7.00）_22.求函数 f
4、(x)=x 3 -3x的极值 （分数：7.00）_23.讨论曲线 （分数：7.00）_七、应用题(总题数：1，分数：9.00)24.用薄铁皮做成一个容积为 V 0 的有盖长方匣，其底为正方形，由于下底面无须喷漆，故其每单位面积成本仅为其余各面的一半，问长方匣的底面长为多少时，才能使匣子的造价最低? （分数：9.00）_八、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.已知函数 f(x)=e x -x-2，证明在区间(0，2)内至少存在一点 x 0 ，使得 e x0 -2=x 0 （分数：5.00）_高等数学一自考题模拟 14答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(
5、总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.设 f(x)在 x=0处可导，则 f“(0)=_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：考点 函数的导数定义 解析 由函数 f(x)在点 x 0 可导的定义 得 2.设函数 f(x)在 x=a处可导，则 f(x)在 x=a处_（分数：2.00）A.不一定可微B.可微 C.极限不一定存在D.不一定连续解析：考点 函数在某点可导与连续、可微的关系 解析 函数在某点连续是函数在该点可导的必要不充分条件，可微是可导的充分必要条件故选 B3.已知函数 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.不存在 解析：考
6、点 分段函数的求导方法 解析 由题意可得， 4.函数 x(-，)的最大值为_ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：考点 函数的最大值求法 解析 由题意得知，函数 x(-，)的最大值为 5.若直线 x=1是曲线 y=f(x)的铅直渐近线，则 f(x)是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：考点 由铅直渐近线求函数表达式 解析 由铅直渐近线求函数的概念知，A，D 不合题意，因为相应函数的间断点不是 x=1，所以 x=1不是相应曲线的铅直渐近线，虽 x=1是函数 的间断点，但 三、第二部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10
7、，分数：30.00)6.设 （分数：3.00）解析：2 考点 分段函数的求导计算 解析 由 f(x)在 x=0处可导知 f(x)在 x=0处连续，所以应有下面等式成立 而 7.函数 y=lnx在1，2上满足拉格朗日中值定理的点 是 1 （分数：3.00）解析： 考点 微分中值定理(拉格朗日中值定理) 解析 由拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f()(b-a)，可得 解得 8.曲线 y=xe x 为凸的区间是 1 （分数：3.00）解析：(-，-2) 考点 曲线函数凹凸区间的判定 解析 y“=(xe x )“=e x +xe x ，y“=e x +e x +xe x =(x+2)e x ，令
8、 y“0，可得 x-2，故已知函数的凸区间为(-，-2)9.已知 y=arccosx 2 ，则 y“= 1 （分数：3.00）解析： 考点 复合函数的求导 解析 令 u=x 2 ，则 10.函数 y=sinx-x在区间0，上的最大值是 1 （分数：3.00）解析：0 考点 函数在给定区间上的最大值求法 解析 因为 y“=cosx-1，在(0，)内小于零，故 y在0，上单调递减，所以函数在 x=0处取得最大值 y max =011.设函数 （分数：3.00）解析： 考点 导数运算法则 解析 12.设函数 y=cos 2 xlnx，则 y“ 1 （分数：3.00）解析： 考点 二阶导数的求导计算
9、解析 由 得 13.函数 y=(x-1)(x+1) 3 单调减少的区间是 1 （分数：3.00）解析： 考点 函数单调性的判断 解析 y“=(x+1) 3 +3(x+1) 2 (x-1)=(x+1) 2 (4x-2)，令 y“0 可得 即已知函数的单调减少区间为 14.曲线 f(x)=xe x 的拐点为 1 （分数：3.00）解析：(-2，-2e -2 ) 考点 函数拐点的求法 解析 f(x)=e x +xe x ，f“(x)=e x +e x +xe x =0，故 x=-2，f(-2)=-2e -2 ，则拐点为(-2，-2e -2 )15.已知某商品的成本函数为 （分数：3.00）解析：3.
10、5 考点 导数在经济学中的简单应用 解析 五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)16.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：设 则有 得到 因此17.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：方程两边取对数，lny=2lnx-ln(1-x)+ ln(3-x)-2ln(3+x)，两边对 x求导得 故18.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解： 但是 无极限，所以不能用洛必达法则求解，然而函数 当 x+时是有极限的 19.设函数 f(x)=arctanx，求 f“(0)，f“(0) （分数：5.00）_正确答案：()解析：解： 由此得 20.设 （分数：5.
11、00）_正确答案：()解析：解： 故 则 六、计算题(二)(总题数：3，分数：21.00)21.求函数 f(x)=|2x 3 -9x 2 +12x|在闭区间 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解：函数 f(x)在闭区间 上连续，故存在最大、最小值由于 因此 又因为 f“ 0- (0)=-12，f“ 0+ (0)=12，所以由导数极限存在定理推知函数在 x=0处不可导，求出函数 f(x)在极值点 x=1，2，不可导点 x=0，端点 的函数值 f(1)=5，f(2)=4，f(0)=0， 所以函数在 x=0处取最小值 0，在 x=1和 22.求函数 f(x)=x 3 -3x的极值 （分数：7.
12、00）_正确答案：()解析：解：函数的定义域为(-，+)，令 f“(x)=3x 2 -3=0得驻点 x=1 由于 f“(-1)=-60，f“(1)=60，所以 f(x)的极大值为 f(-1)=2，极小值为 f(1)=-223.讨论曲线 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解： 令 y“=0，得 而在 x=0处，y“不存在 以点 x=0， 把定义域(-，+)分成 3个部分，列表讨论如下 由表易见，曲线在(-，0)及 上及内为凹曲线，在 内为凸曲线，拐点分别是(0，0)和 七、应用题(总题数：1，分数：9.00)24.用薄铁皮做成一个容积为 V 0 的有盖长方匣，其底为正方形，由于下底面无须喷
13、漆，故其每单位面积成本仅为其余各面的一半，问长方匣的底面长为多少时，才能使匣子的造价最低? （分数：9.00）_正确答案：()解析：解：设底面长为 x，下底面每单位面积造价为 p，则整个匣子的造价为 则 令 C“(x)=0， 得 又 放当其底面边长为 八、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.已知函数 f(x)=e x -x-2，证明在区间(0，2)内至少存在一点 x 0 ，使得 e x0 -2=x 0 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：因 f(0)=-10，f(2)=e 2 -40，由连续函数零点定理得，在(0，2)内至少有一个点 x 0 ，使 f(x 0 )=0，即 e x0 -x 0 -2=0，故 e x0 -2=x 0
