1、高等数学一自考题模拟 14及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数:0,分数:0.00)二、单项选择题(总题数:5,分数:10.00)1.设 f(x)在 x=0处可导,则 f“(0)=_ A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.2.设函数 f(x)在 x=a处可导,则 f(x)在 x=a处_(分数:2.00)A.不一定可微B.可微C.极限不一定存在D.不一定连续3.已知函数 (分数:2.00)A.0B.1C.2D.不存在4.函数 x(-,)的最大值为_ A0 B C D (分数:2.00)A.B.C.D.5.若直线 x=1是曲线 y=f(x)
2、的铅直渐近线,则 f(x)是_ A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.三、第二部分 非选择题(总题数:0,分数:0.00)四、填空题(总题数:10,分数:30.00)6.设 (分数:3.00)7.函数 y=lnx在1,2上满足拉格朗日中值定理的点 是 1 (分数:3.00)8.曲线 y=xe x 为凸的区间是 1 (分数:3.00)9.已知 y=arccosx 2 ,则 y“= 1 (分数:3.00)10.函数 y=sinx-x在区间0,上的最大值是 1 (分数:3.00)11.设函数 (分数:3.00)12.设函数 y=cos 2 xlnx,则 y“ 1 (分数:3.00)13.
3、函数 y=(x-1)(x+1) 3 单调减少的区间是 1 (分数:3.00)14.曲线 f(x)=xe x 的拐点为 1 (分数:3.00)15.已知某商品的成本函数为 (分数:3.00)五、计算题(一)(总题数:5,分数:25.00)16.设 (分数:5.00)_17.求 (分数:5.00)_18.求极限 (分数:5.00)_19.设函数 f(x)=arctanx,求 f“(0),f“(0) (分数:5.00)_20.设 (分数:5.00)_六、计算题(二)(总题数:3,分数:21.00)21.求函数 f(x)=|2x 3 -9x 2 +12x|在闭区间 (分数:7.00)_22.求函数 f
4、(x)=x 3 -3x的极值 (分数:7.00)_23.讨论曲线 (分数:7.00)_七、应用题(总题数:1,分数:9.00)24.用薄铁皮做成一个容积为 V 0 的有盖长方匣,其底为正方形,由于下底面无须喷漆,故其每单位面积成本仅为其余各面的一半,问长方匣的底面长为多少时,才能使匣子的造价最低? (分数:9.00)_八、证明题(总题数:1,分数:5.00)25.已知函数 f(x)=e x -x-2,证明在区间(0,2)内至少存在一点 x 0 ,使得 e x0 -2=x 0 (分数:5.00)_高等数学一自考题模拟 14答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、第一部分 选择题(
5、总题数:0,分数:0.00)二、单项选择题(总题数:5,分数:10.00)1.设 f(x)在 x=0处可导,则 f“(0)=_ A B C D (分数:2.00)A. B.C.D.解析:考点 函数的导数定义 解析 由函数 f(x)在点 x 0 可导的定义 得 2.设函数 f(x)在 x=a处可导,则 f(x)在 x=a处_(分数:2.00)A.不一定可微B.可微 C.极限不一定存在D.不一定连续解析:考点 函数在某点可导与连续、可微的关系 解析 函数在某点连续是函数在该点可导的必要不充分条件,可微是可导的充分必要条件故选 B3.已知函数 (分数:2.00)A.0B.1C.2D.不存在 解析:考
6、点 分段函数的求导方法 解析 由题意可得, 4.函数 x(-,)的最大值为_ A0 B C D (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:考点 函数的最大值求法 解析 由题意得知,函数 x(-,)的最大值为 5.若直线 x=1是曲线 y=f(x)的铅直渐近线,则 f(x)是_ A B C D (分数:2.00)A.B.C. D.解析:考点 由铅直渐近线求函数表达式 解析 由铅直渐近线求函数的概念知,A,D 不合题意,因为相应函数的间断点不是 x=1,所以 x=1不是相应曲线的铅直渐近线,虽 x=1是函数 的间断点,但 三、第二部分 非选择题(总题数:0,分数:0.00)四、填空题(总题数:10
7、,分数:30.00)6.设 (分数:3.00)解析:2 考点 分段函数的求导计算 解析 由 f(x)在 x=0处可导知 f(x)在 x=0处连续,所以应有下面等式成立 而 7.函数 y=lnx在1,2上满足拉格朗日中值定理的点 是 1 (分数:3.00)解析: 考点 微分中值定理(拉格朗日中值定理) 解析 由拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f()(b-a),可得 解得 8.曲线 y=xe x 为凸的区间是 1 (分数:3.00)解析:(-,-2) 考点 曲线函数凹凸区间的判定 解析 y“=(xe x )“=e x +xe x ,y“=e x +e x +xe x =(x+2)e x ,令
8、 y“0,可得 x-2,故已知函数的凸区间为(-,-2)9.已知 y=arccosx 2 ,则 y“= 1 (分数:3.00)解析: 考点 复合函数的求导 解析 令 u=x 2 ,则 10.函数 y=sinx-x在区间0,上的最大值是 1 (分数:3.00)解析:0 考点 函数在给定区间上的最大值求法 解析 因为 y“=cosx-1,在(0,)内小于零,故 y在0,上单调递减,所以函数在 x=0处取得最大值 y max =011.设函数 (分数:3.00)解析: 考点 导数运算法则 解析 12.设函数 y=cos 2 xlnx,则 y“ 1 (分数:3.00)解析: 考点 二阶导数的求导计算
9、解析 由 得 13.函数 y=(x-1)(x+1) 3 单调减少的区间是 1 (分数:3.00)解析: 考点 函数单调性的判断 解析 y“=(x+1) 3 +3(x+1) 2 (x-1)=(x+1) 2 (4x-2),令 y“0 可得 即已知函数的单调减少区间为 14.曲线 f(x)=xe x 的拐点为 1 (分数:3.00)解析:(-2,-2e -2 ) 考点 函数拐点的求法 解析 f(x)=e x +xe x ,f“(x)=e x +e x +xe x =0,故 x=-2,f(-2)=-2e -2 ,则拐点为(-2,-2e -2 )15.已知某商品的成本函数为 (分数:3.00)解析:3.
10、5 考点 导数在经济学中的简单应用 解析 五、计算题(一)(总题数:5,分数:25.00)16.设 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解:设 则有 得到 因此17.求 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解:方程两边取对数,lny=2lnx-ln(1-x)+ ln(3-x)-2ln(3+x),两边对 x求导得 故18.求极限 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解: 但是 无极限,所以不能用洛必达法则求解,然而函数 当 x+时是有极限的 19.设函数 f(x)=arctanx,求 f“(0),f“(0) (分数:5.00)_正确答案:()解析:解: 由此得 20.设 (分数:5.
11、00)_正确答案:()解析:解: 故 则 六、计算题(二)(总题数:3,分数:21.00)21.求函数 f(x)=|2x 3 -9x 2 +12x|在闭区间 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解:函数 f(x)在闭区间 上连续,故存在最大、最小值由于 因此 又因为 f“ 0- (0)=-12,f“ 0+ (0)=12,所以由导数极限存在定理推知函数在 x=0处不可导,求出函数 f(x)在极值点 x=1,2,不可导点 x=0,端点 的函数值 f(1)=5,f(2)=4,f(0)=0, 所以函数在 x=0处取最小值 0,在 x=1和 22.求函数 f(x)=x 3 -3x的极值 (分数:7.
12、00)_正确答案:()解析:解:函数的定义域为(-,+),令 f“(x)=3x 2 -3=0得驻点 x=1 由于 f“(-1)=-60,f“(1)=60,所以 f(x)的极大值为 f(-1)=2,极小值为 f(1)=-223.讨论曲线 (分数:7.00)_正确答案:()解析:解: 令 y“=0,得 而在 x=0处,y“不存在 以点 x=0, 把定义域(-,+)分成 3个部分,列表讨论如下 由表易见,曲线在(-,0)及 上及内为凹曲线,在 内为凸曲线,拐点分别是(0,0)和 七、应用题(总题数:1,分数:9.00)24.用薄铁皮做成一个容积为 V 0 的有盖长方匣,其底为正方形,由于下底面无须喷
13、漆,故其每单位面积成本仅为其余各面的一半,问长方匣的底面长为多少时,才能使匣子的造价最低? (分数:9.00)_正确答案:()解析:解:设底面长为 x,下底面每单位面积造价为 p,则整个匣子的造价为 则 令 C“(x)=0, 得 又 放当其底面边长为 八、证明题(总题数:1,分数:5.00)25.已知函数 f(x)=e x -x-2,证明在区间(0,2)内至少存在一点 x 0 ,使得 e x0 -2=x 0 (分数:5.00)_正确答案:()解析:证明:因 f(0)=-10,f(2)=e 2 -40,由连续函数零点定理得,在(0,2)内至少有一个点 x 0 ,使 f(x 0 )=0,即 e x0 -x 0 -2=0,故 e x0 -2=x 0