1、高等数学一自考题分类模拟 4 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)二、单项选择题(总题数：9，分数：18.00)1.已知 y=x 2 ，当 x=3 和 x=0.02 时的微分为_（分数：2.00）A.1B.0.12C.0.1D.0.22.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是_ A By=|x|，x-1，1 C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.函数 在-2，2上的_ A最大值为 ，最小值为-1 B最大值为 ，最小值为 2 C最大值为 0，最小值为 D最大值为 （分数：2.00）A.B.C.D.4.曲线 y=3x 4 -4x 3 +1 的拐点是_ A B C
2、D （分数：2.00）A.B.C.D.5.给定曲线 C：y=f(x)(xR)，已知 y“=f“(x)的图象如下图所示，则曲线 C 在(-，+)上是_ （分数：2.00）A.凹的B.凸的C.单调上升D.单调下降6.在区间0，2上的最大值与最小值分别为_ （分数：2.00）A.1，-1B.0，-1C.2，1D.1，07.函数 在0，3上满足罗尔定理的 =_ A0 B2 C3 D （分数：2.00）A.B.C.D.8.曲线 y=arctan x 的水平渐近线为_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.9.已知某商品的产量为 q 件时总成本为 （分数：2.00）A.10000 元B.10625
3、 元C.20000 元D.16025 元四、填空题(总题数：6，分数：24.00)10. （分数：4.00）11.设 f(x)在 x=a 处可导， （分数：4.00）12.函数 （分数：4.00）13.函数 y=sin x-x 在区间0，上的最大值是 1 （分数：4.00）14. （分数：4.00）15.设 y=6x+k 是曲线 y=3x 2 -6x+13 的一条切线，则 k= 1 （分数：4.00）五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)16.求 （分数：5.00）_17.试确定函数 （分数：5.00）_18.讨论函数 y=e x -x-1 的单调性 （分数：5.00）_19.设 （
4、分数：5.00）_20.求极限 （分数：5.00）_六、计算题(二)(总题数：2，分数：10.00)求曲线（分数：5.00）(1).； （分数：2.50）_(2).的水平渐近线和铅直渐近线 （分数：2.50）_21.判断曲线 y=x 3 的凹凸性 （分数：5.00）_七、综合题(总题数：2，分数：23.00)22.从半径为 R 的圆面上剪下一中心角为 的扇形，并把改扇形卷成一个圆锥面，如下图所示 问当 取何值时，圆锥的体积 V 最大，最大为多少? （分数：12.00）_23.某种产品的总成本 C(万元)与产量 q(万件)之间的函数关系式(即总成本函数)为 C=C(q)=100+4q-0.2q
5、2 +0.01q 3 求生产水平为 q=10(万件)时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合适? （分数：11.00）_高等数学一自考题分类模拟 4 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)二、单项选择题(总题数：9，分数：18.00)1.已知 y=x 2 ，当 x=3 和 x=0.02 时的微分为_（分数：2.00）A.1B.0.12 C.0.1D.0.2解析：解析 dy=(x 2 )“x=2xx，所以 2.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是_ A By=|x|，x-1，1 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 选项 A，函数
6、在 x=0 处不可导，而 x=0(-1，1)，故 A 错误；选项 B，函数 y=|x|在 x=0 处不可导，而 x=0(-1，1)，故 B 错误；选项 C，函数 在 x=1 处不连续，而 x=1-2，2，故 C 错误；选项 D，函数 在1，2上连续，在(1，2)内可导，故 D 正确 若函数 f(x)在区间a，b满足以下条件：(1)在a，b连续，(2)在(a，b)可导，则在(a，b)中至少存在一点 c 使得 3.函数 在-2，2上的_ A最大值为 ，最小值为-1 B最大值为 ，最小值为 2 C最大值为 0，最小值为 D最大值为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 ，令 f“(x)=0
7、，得驻点 x=-1， 又当 x=0 时，函数不可导，则 ，f(-1)=1，f(0)=0， 比较可知， 4.曲线 y=3x 4 -4x 3 +1 的拐点是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 y=3x 4 -4x 3 +1，xR 得 y“=12x 3 -12x 2 ， 令 y“=0 得，x=0， x (-，0) 0 5.给定曲线 C：y=f(x)(xR)，已知 y“=f“(x)的图象如下图所示，则曲线 C 在(-，+)上是_ （分数：2.00）A.凹的 B.凸的C.单调上升D.单调下降解析：解析 由图在(-，+)上 f“(x)单调递增，且曲线 y“=f“(x)上
8、各点都有不垂直于 x 轴的切线，故 f“(x)0，则曲线 y=f(x)为凹的 利用图形找判别函数的凹凸性是非常直观的方法6.在区间0，2上的最大值与最小值分别为_ （分数：2.00）A.1，-1B.0，-1 C.2，1D.1，0解析：解析 ，x0，令 f“(x)=0，得驻点 x=1 由于 f(0)=0，f(1)=-1， 7.函数 在0，3上满足罗尔定理的 =_ A0 B2 C3 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 f(0)=f(3)=0，根据罗尔定理， 应满足 f“()=0，解得 =2 罗尔定理可以直观的理解为：如果一个可导的函数，两个端点值是一样的，那肯定有个中间值使导
9、数为0直观理解就是函数图象要先上升(下降)再下降(上升)回到原来的值，那中间有个地方肯定是比较平坦(不是很严格，直观想象)的8.曲线 y=arctan x 的水平渐近线为_ A B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 ， ，故直线 9.已知某商品的产量为 q 件时总成本为 （分数：2.00）A.10000 元B.10625 元 C.20000 元D.16025 元解析：解析 因为边际成本 ，则边际成本 四、填空题(总题数：6，分数：24.00)10. （分数：4.00）解析：3 解析 令 x 5 -x=0，即 x(x-1)(x+1)(x 2 +1)=0，得 x=0，x=-
10、1，x=1，故 f(x)有三个间断点 巧妙运用因式分解公式11.设 f(x)在 x=a 处可导， （分数：4.00）解析：-2f“(a) 解析 12.函数 （分数：4.00）解析：0 解析 可用函数图象求得极值 利用图象求函数极值是最简单和直观的方式13.函数 y=sin x-x 在区间0，上的最大值是 1 （分数：4.00）解析：0 解析 y“=cos x-1 在(0，)内小于 0，故 y 在0，上单调递减，所以函数在 x=0 处取得最大值 y max =0 利用单调性求最值14. （分数：4.00）解析：2 解析 15.设 y=6x+k 是曲线 y=3x 2 -6x+13 的一条切线，则
11、k= 1 （分数：4.00）解析：1 解析 因为 y/=6，y“-6x-6，所以 6x-6=6，x=2，即 y| x-2 =32 2 -62+13=13，则(2，13)为直线与曲线相切的切点，所以 62+k=13，故 k=1 求曲线的切线方程五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)16.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 当 x0 时， 17.试确定函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：当 x=0 时，函数无定义，故函数在 x=0 处不可导， 当 x0 时，导函数为 18.讨论函数 y=e x -x-1 的单调性 （分数：5.00）_正确答案：()解析：函数的定义
12、域为(-，+)，且 y“=e x -1， 当 x(-，0)时，y“0，故函数在(-，0)上单调减少； 当 x(0，+)时，y“0，故函数在(0，+)上单调增加 且 x=0 是函数单调减少区间(-，0)与单调增加区间(0，+)的分界点，且函数在分界点的导数为零，即 y“(0)=e 0 -1=0 解析 利用函数的导数来判断函数的单调性19.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 熟练掌握函数的求导计算20.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：六、计算题(二)(总题数：2，分数：10.00)求曲线（分数：5.00）(1).； （分数：2.50）_正确答案：()解析：因为 所以
13、(2).的水平渐近线和铅直渐近线 （分数：2.50）_正确答案：()解析：因为 ，x=0 为无穷间断点，故有铅直渐近线 x=0， 因为 21.判断曲线 y=x 3 的凹凸性 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 y“=3x 2 ，y“=6x， 当 x0 时，y“0，所以曲线在(-，0)为凸的； 当 x0 时，y“0，所以曲线在(0，+)为凹的 其中，点(0，0)是曲线由凸变凹的分界点 解析 曲线凹凸性用函数图象表示会更加直观七、综合题(总题数：2，分数：23.00)22.从半径为 R 的圆面上剪下一中心角为 的扇形，并把改扇形卷成一个圆锥面，如下图所示 问当 取何值时，圆锥的体积 V
14、最大，最大为多少? （分数：12.00）_正确答案：()解析：设圆锥底面半径为 r，高为 h，则 扇形半径 R 与圆锥的关系，r 2 +h 2 =R 2 ，又由 R=2r 得 所以 故 该问题即求 V()在(02)内的最大值 因为 令 V“()=0，得唯一驻点 由问题的实际意义能够判定 V()在 02 内必取到最大值，又由驻点唯一性，可知当 ，圆锥体积最大此时 解析 求圆锥体积，首先掌握圆锥体积公式 23.某种产品的总成本 C(万元)与产量 q(万件)之间的函数关系式(即总成本函数)为 C=C(q)=100+4q-0.2q 2 +0.01q 3 求生产水平为 q=10(万件)时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合适? （分数：11.00）_正确答案：()解析：当 q=10 时的总成本为 C(10)=100+410-0.210 2 +0.0110 3 =130(万元)， 所以平均成本(单位成本)为
