1、高等数学一自考题分类模拟 3 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)二、单项选择题(总题数：9，分数：18.00)1.设 f(x 2 )=x 4 +x 2 +1，则 f“(-1)=_（分数：2.00）A.1B.3C.-1D.-32.设 f(x)在 x=1 处有连续导数，且 f“(1)=2， （分数：2.00）A.1B.-1C.2D.-23.且 f(x)在 x=0 处可导，f“(0)0，f(0)=0，则 x=0 是 F(x)的_ （分数：2.00）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点4._ （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可
2、导但不连续5.设 f(x)=ln(1+x)，则 f (5) (x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x)=x(x 2 -1 2 )(x 2 -2 2 )(x 2 -n 2 )，则 f“(0)=_ A.(n!)2 B.(-1)n(n!)2 C.n! D.(-1)nn!（分数：2.00）A.B.C.D.7.已知函数 （分数：2.00）A.不存在B.0C.1D.28.设 ，则 dy=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9._ （分数：2.00）A.0B.-1C.-3D.3四、填空题(总题数：4，分数：20.00)10.直线 l 与 x 轴平行，且与
3、曲线 y=x-e x 相切，则切点坐标是 1 （分数：5.00）11.y=f(x)由方程 x 3 +y 3 -sin x+6y=0 确定的，则 dy| x-0 1 （分数：5.00）12. （分数：5.00）13.设 f(x)=a 0 x n +a 1 x n-1 +a n-1 x+a n ，则 f (n) (0)= 1 （分数：5.00）五、计算题(总题数：6，分数：42.00)14.设 y=x(sin x) cos x ，求 y“ （分数：7.00）_15. （分数：7.00）_16.已知 （分数：7.00）_17. （分数：7.00）_（分数：7.00）(1).当 u0 时 f(x)在
4、x=0 连续；（分数：3.50）_(2).当 u1 时，f(x)在 x=0 可导（分数：3.50）_18. （分数：7.00）_六、综合题(总题数：2，分数：20.00)19.设函数 f(x)=arctan x，求 f“(0)，f“(0) （分数：7.00）_若曲线 y=x 2 +ax+b 与 2y=-1+xy 3 在点(1，-1)相切（分数：13.00）(1).求两曲线在它们相切的切点处的切线斜率；（分数：6.50）_(2).求 a，b 之值（分数：6.50）_高等数学一自考题分类模拟 3 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)二、单项选择题(总题数：9，分数：18.00)1.
5、设 f(x 2 )=x 4 +x 2 +1，则 f“(-1)=_（分数：2.00）A.1B.3C.-1 D.-3解析：解析 因为 f(x 2 )=(x 2 ) 2 +x 2 +1，所以 f(x)=x 2 +x+1 所以 f“(x)=2x+1，f“(-1)=-2+1=-1 根据已知函数代入求导2.设 f(x)在 x=1 处有连续导数，且 f“(1)=2， （分数：2.00）A.1B.-1 C.2D.-2解析：解析 因为 3.且 f(x)在 x=0 处可导，f“(0)0，f(0)=0，则 x=0 是 F(x)的_ （分数：2.00）A.可去间断点 B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点解析：解析
6、因为 ，f“(0)f(0)，所以 4._ （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导但不连续解析：解析 因为 ，且 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 连续；又因为 5.设 f(x)=ln(1+x)，则 f (5) (x)=_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 f“(x)=(1+x) -1 ，f“(x)=-(1+x) -2 ， f“(x)=(-1)(-2)(1+x) -3 ，f (4) (x)=(-1)(-2)(-3)(1+x) -4 ， f (5) (x)=(-1)(-2)(-3)(-4)(1+x) -5 =4!(1+x)
7、 -5 逐步求导寻找规律6.设 f(x)=x(x 2 -1 2 )(x 2 -2 2 )(x 2 -n 2 )，则 f“(0)=_ A.(n!)2 B.(-1)n(n!)2 C.n! D.(-1)nn!（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 令 g(x)=(x 2 -1 2 )(x 2 =2 2 )(x 2 -n 2 )， f(x)=xg(x)，f“(x)=g(x)+xg“(x)， 所以 f“(0)=g(0)+0=(-1 2 )(-2 2 )(-n 2 )=(-1) n (n!) 2 熟练掌握导数的定义，根据四则运算法则进行计算7.已知函数 （分数：2.00）A.不存在 B.0C.1D
8、.2解析：解析 由题意可得， 8.设 ，则 dy=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 令 ，则 9._ （分数：2.00）A.0B.-1C.-3 D.3解析：解析 由题意可得， ， 四、填空题(总题数：4，分数：20.00)10.直线 l 与 x 轴平行，且与曲线 y=x-e x 相切，则切点坐标是 1 （分数：5.00）解析：(0，-1) 解析 因为 y“ 曲 =1-e x ，y“=0，即 e x -1=0，解得 x=0，所以 y| x=0 =0-e 0 =-1， 故切点坐标为(0，-1) 掌握导数的几何意义11.y=f(x)由方程 x 3 +y 3 -sin
9、 x+6y=0 确定的，则 dy| x-0 1 （分数：5.00）解析： 解析 当 x=0 时，y 3 +6y=0，得 y=0又方程两边求导得 3x 2 +3y 2 y“-cos x+6y“=0，所以 ， 12. （分数：5.00）解析： 解析 根据对数函数导数公式 y=ln x， 13.设 f(x)=a 0 x n +a 1 x n-1 +a n-1 x+a n ，则 f (n) (0)= 1 （分数：5.00）解析：n!a 0 解析 f“(x)=na 0 x n-1 +(n-1)a 1 x n-2 +a n-1 ， f (n) (x)=n(n-1)1a 0 x n-n =n!a 0 ，所以
10、 f (n) (0)=n!a 0 熟练掌握导数的定义及求导法则五、计算题(总题数：6，分数：42.00)14.设 y=x(sin x) cos x ，求 y“ （分数：7.00）_正确答案：()解析：函数两边取对数，得 ln y=ln x+cos xlnsin x，两边求导得 整理得 15. （分数：7.00）_正确答案：()解析： 16.已知 （分数：7.00）_正确答案：()解析： 又因为 ，所以 ，故 17. （分数：7.00）_正确答案：()解析：对已知函数两边取对数得 ，两边对 x 求导得 所以 （分数：7.00）(1).当 u0 时 f(x)在 x=0 连续；（分数：3.50）_正
11、确答案：()解析：(2).当 u1 时，f(x)在 x=0 可导（分数：3.50）_正确答案：()解析： 当 u1，u-10 时， ，故 18. （分数：7.00）_正确答案：()解析：函数两端取对数，得 上式两端对 x 求导，得 六、综合题(总题数：2，分数：20.00)19.设函数 f(x)=arctan x，求 f“(0)，f“(0) （分数：7.00）_正确答案：()解析：因为 若曲线 y=x 2 +ax+b 与 2y=-1+xy 3 在点(1，-1)相切（分数：13.00）(1).求两曲线在它们相切的切点处的切线斜率；（分数：6.50）_正确答案：()解析：在 y=x 2 +ax+b 上，y“=2x+a，所求斜率为 y“(1)=2+a； 在 2y=-1+xy 3 上，2y“=y 3 +3xy 2 y“，在点(1，-1)处所求切线斜率为 y“(1)=1， 又因为两曲线在点(1，-1)相切，故切线为两曲线的公切线，所以斜率为 1(2).求 a，b 之值（分数：6.50）_正确答案：()解析：由(1)可知，2+a=1，a=-1，又因为点(1，-1)在曲线 y=x 2 -x+b 上， 所以-1=1 2 -1+b，b=-1， 所以 a=-1，b=-1 解析 会熟练计算曲线的切线斜率
