1、高等数学一自考题-9 及答案解析(总分:90.00,做题时间:90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数:0,分数:0.00)二、B单项选择题/B(总题数:10,分数:30.00)1.设 f(x)是定义在实数域上的一个函数,且 f(x-1)=x2+x+1, =_A BC D (分数:3.00)A.B.C.D.2. (分数:3.00)A.B.C.D.3.=_ A0 B C D (分数:3.00)A.B.C.D.4.已知函数 (分数:3.00)A.B.C.D.5.已知 f(x)=sin(2x)+ ,那么 f(x)的微分 df(x)=_ A2cos(2x)+2x dx Bcos(2x)+2x d
2、x C2cos(2x)+ dx Dcos(2x)+ (分数:3.00)A.B.C.D.6.函数 y=sinx-x在区间0,上的最大值是_ A (分数:3.00)A.B.C.D.7.=_ A B C D (分数:3.00)A.B.C.D.8.微分方程 的通解是_ Aarctanx+C B (arctanx+C) C Darctanx+ (分数:3.00)A.B.C.D.9.设 z= ,则 dz=_ A B C D (分数:3.00)A.B.C.D.10.设 D是由直线 y=x,y=0,x=1 所围成的平面区域,则 =_ A B C D (分数:3.00)A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/
3、B(总题数:0,分数:0.00)四、B简单计算题/B(总题数:5,分数:20.00)11.求极限 (分数:4.00)_12.已知 y=arcsinf(x2),求 y(分数:4.00)_13.求函数 y=x3+6x2-36x的凹凸区间、单调区间、拐点和极大值点(分数:4.00)_14.计算定积分 (分数:4.00)_15.设 D为由直线 y=x与圆 x2+(y-1)2=1围成,且在直线 y=x下方的平面区域,求 (分数:4.00)_五、B计算题/B(总题数:5,分数:25.00)16.设 f(x+2)=x2-2x+3,求 ff(2)(分数:5.00)_17.设 y=cos2xlnx,求 y“(分
4、数:5.00)_18.求曲线 f(x)=-(x+1)+ (分数:5.00)_19.设 f(2x+1)=xex,求 (分数:5.00)_20.求 ,其中 D是由 y= (分数:5.00)_六、B综合题/B(总题数:1,分数:15.00)某公司生产某产品的边际成本为 MC(Q)=1(万元/百台),边际收益为 MR=7-Q(万元/百台),设固定成本为零求:(分数:15.00)(1).得到最大利润时的产量(分数:5.00)_(2).在利润最大时的产量基础上又生产了 50台,总利润减少了多少?(分数:5.00)_(3).设某种产品的产量是劳动力 x和原料 y的函数:f(x,y)= (分数:5.00)_高
5、等数学一自考题-9 答案解析(总分:90.00,做题时间:90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数:0,分数:0.00)二、B单项选择题/B(总题数:10,分数:30.00)1.设 f(x)是定义在实数域上的一个函数,且 f(x-1)=x2+x+1, =_A BC D (分数:3.00)A.B.C.D. 解析:解析 f(x-1)=(x-1) 2+3(x-1)+3,f(x)=x 2+3x+3,*答案为 D2. (分数:3.00)A. B.C.D.解析:解析 *,应有*,即*,k=-3答案为 A3.=_ A0 B C D (分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 当 x0 时,*,从而
6、,*答案为 C4.已知函数 (分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 由条件,f(0)=1,f -(0)=*-1,*,故 f(0)=-1答案为 C5.已知 f(x)=sin(2x)+ ,那么 f(x)的微分 df(x)=_ A2cos(2x)+2x dx Bcos(2x)+2x dx C2cos(2x)+ dx Dcos(2x)+ (分数:3.00)A. B.C.D.解析:解析 用复合函数求导法则求导 f(x)=cos(2x)2+*, df(x)=f(x)dx=2cos(2x)+*dx答案为 A6.函数 y=sinx-x在区间0,上的最大值是_ A (分数:3.00)A.B. C.D.解
7、析:解析 因为 y=cosx-1在(0,)内小于零,故 y在0,上严格单调下降,所以函数在 x=0处取得最大值,y=0答案为 B7.=_ A B C D (分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 *答案为 C8.微分方程 的通解是_ Aarctanx+C B (arctanx+C) C Darctanx+ (分数:3.00)A.B. C.D.解析:解析 由通解公式,通解 *答案为 B9.设 z= ,则 dz=_ A B C D (分数:3.00)A.B.C.D. 解析:解析 *答案为 D10.设 D是由直线 y=x,y=0,x=1 所围成的平面区域,则 =_ A B C D (分数:3.
8、00)A. B.C.D.解析:解析 根据二重积分与二次积分的转换 D=(x,y)|0yx,0x1,如下图所示, *答案为 A *三、B第二部分 非选择题/B(总题数:0,分数:0.00)四、B简单计算题/B(总题数:5,分数:20.00)11.求极限 (分数:4.00)_正确答案:(*)解析:12.已知 y=arcsinf(x2),求 y(分数:4.00)_正确答案:(y=arcsinf(x 2),函数可以看成由 y=arcsinu,u=f(v),v=x 2复合而得到,所以*)解析:13.求函数 y=x3+6x2-36x的凹凸区间、单调区间、拐点和极大值点(分数:4.00)_正确答案:(求出
9、y和 y“,分别分区讨论正负而确定y=3x2+12x-36=3(x+6)(x-2),令 y=0,得驻点 x1=-6,x 2=2,分区讨论符号: x(-,-6)-6(-6,2)2(2,+)y + - - 0 +y 极大 极小 y“=6x+12,令 y“=0,得 x=-2,分区讨论符号: x(-,-2)-2(-2,+)y“ - 0 +y 凸 拐点 凹x=-2时,求出 y=88由以上讨论可知:单调增加区间为(-,-6)(2,+),单调减少区间为(-6,2);凸区间为(-,-2),凹区间为(-2,+);极大值点为 x=-6,拐点为(-2,88)解析:14.计算定积分 (分数:4.00)_正确答案:(因
10、(-2x 2+1)=-4x,所以用凑微分法*)解析:15.设 D为由直线 y=x与圆 x2+(y-1)2=1围成,且在直线 y=x下方的平面区域,求 (分数:4.00)_正确答案:(D 如下图所示,交点满足*,解得 x=1,0,故对 x积分的积分限为 0和 1,由方程 x2+(y-1)2=1得下边界为 y=*于是有*)解析:五、B计算题/B(总题数:5,分数:25.00)16.设 f(x+2)=x2-2x+3,求 ff(2)(分数:5.00)_正确答案:(因为 f(x+2)=x2-2x+3=(x+2)-22-2(x+2)-2+3,f(x)=(x-2) 2-2(x-2)+3=x2-6x+11,于
11、是 f(2)=3,从而 ff(2)=f(3)=32-63+11=2)解析:17.设 y=cos2xlnx,求 y“(分数:5.00)_正确答案:(* * =*)解析:18.求曲线 f(x)=-(x+1)+ (分数:5.00)_正确答案:(*,因为 * 所以 y=-1是曲线的水平渐近线)解析:19.设 f(2x+1)=xex,求 (分数:5.00)_正确答案:(设 t=2x+1,则 dt=d(2x+1)=2dx,并且时 t从 35,x 从 12,所以 *)解析:20.求 ,其中 D是由 y= (分数:5.00)_正确答案:(D 如下图所示边界方程 y=*在极坐标下为 r=2cos,被积函数*于是
12、有 * *)解析:六、B综合题/B(总题数:1,分数:15.00)某公司生产某产品的边际成本为 MC(Q)=1(万元/百台),边际收益为 MR=7-Q(万元/百台),设固定成本为零求:(分数:15.00)(1).得到最大利润时的产量(分数:5.00)_正确答案:(总利润=总收益-总成本,即Tn(Q)=TR(Q)-TC(Q),TR(Q)=MRdQ=(7-Q)dQ=*又由 Q=0时,TR=0,C=0,TR(Q)=*总成本 TC(Q)=MCdQ=1dQ=Q+C固定成本为 0,即 TC=0,故 C=0,从而 TC(Q)=Q,故 Tn(Q)=*,Tn(Q)=6-Q令 Tn(Q)=0,即 6-Q=0,Q=
13、6,又 T“n(Q)=-10,故 Q=6时为极大值点,由问题的实际意义,当 Q=6(百台)时,总利润最大最大利润为Tn(6)=*=18(万元)解析:(2).在利润最大时的产量基础上又生产了 50台,总利润减少了多少?(分数:5.00)_正确答案:(在产量为 6百台的基础上又生产了 50台,即共生产了 650台,此时利润为Tn(6.5)=66.5-*=17.875,所以总利润下降了 18-17.875=0.125(万元)解析:(3).设某种产品的产量是劳动力 x和原料 y的函数:f(x,y)= (分数:5.00)_正确答案:(约束条件为:50x+100y=20000,化简为:x=400-2y,代入 f(x,y)得 Q=f(400-2y,y)=*, * 令 Q=0,即*, 解之,得 y=100 Q“=*, 所以 y=100,x=200 时产量最高)解析: