1、高等数学一自考题-8 及答案解析(总分:96.00,做题时间:90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数:0,分数:0.00)二、B单项选择题/B(总题数:10,分数:30.00)1.设 (分数:3.00)A.B.C.D.2. (分数:3.00)A.B.C.D.3.当 x时, 与 (分数:3.00)A.B.C.D.4.设函数 f(x)在 x=a 处可导,且 =1,则 f(a)=_ A B5 C2 D (分数:3.00)A.B.C.D.5.设 ,则 dy=_ A B C D (分数:3.00)A.B.C.D.6.设函数 f(x)= (分数:3.00)A.B.C.D.7.若 lnx(x0)是函
2、数 f(x)的原函数,那么 f(x)的另一个原函数是_ Aln(ax)(a0,x0) B(x0) Cln(x+a)(x+a0) D (分数:3.00)A.B.C.D.8.微分方程 y=ex-2y的通解是 y=_A Bln(2e x+C)C (分数:3.00)A.B.C.D.9.设 ,则 (分数:3.00)A.B.C.D.10.若 D=(x,y)|-2x2,0y1,则二重积分 (x,y)dxdy=_ A B CD (分数:3.00)A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数:0,分数:0.00)四、B简单计算题/B(总题数:5,分数:20.00)11.求 (分数:4.00)_12.,求
3、 dy (分数:4.00)_13.求 (分数:4.00)_14.求微分方程 (分数:4.00)_15.计算二重积分 (分数:4.00)_五、B计算题/B(总题数:5,分数:25.00)16.设 (分数:5.00)_17.,求 y (分数:5.00)_18.讨论需求曲线 D=4b3-3bP2+P3(b0)的单调性、凹凸性和拐点(分数:5.00)_19.设 求 (分数:5.00)_20.计算二重积分 ,其中 D 是由抛物线 (分数:5.00)_六、B综合题/B(总题数:1,分数:21.00)某商品日产量是 x 个单位时,总成本 F(x)的变化率为 f(x)=0.2x+5(元/单位),已知 F(0)
4、=0求:(分数:21.00)(1).总成本 F(x)(分数:4.20)_(2).若销售单价是 25 元,求总利润(分数:4.20)_(3).日产量为多少时,才能获得最大利润?(分数:4.20)_(4).已知某企业生产某种产品 q 件时,MC=5 千克/件,MR=10-0.02q 千元/件,又知当 q=10 件时,总成本为 250 千克,求最大利润(其中边际成本函数 ,边际收益函数 MR= (分数:4.20)_(5).求函数 z=x2+y2-xy-2x-y 在区域 D(如下图):x0,y0,x+y4 上的最大值和最小值(分数:4.20)_高等数学一自考题-8 答案解析(总分:96.00,做题时间
5、:90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数:0,分数:0.00)二、B单项选择题/B(总题数:10,分数:30.00)1.设 (分数:3.00)A. B.C.D.解析:解析 *,f(x)=1+x=y,得 x=y-1,故反函数 f-1(x)=x-1答案为 A2. (分数:3.00)A. B.C.D.解析:解析 *答案为 A3.当 x时, 与 (分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 x时,*与*等价,*,通过观察可发现只有 k=2 时才能使上述极限成立答案为 C4.设函数 f(x)在 x=a 处可导,且 =1,则 f(a)=_ A B5 C2 D (分数:3.00)A. B.C.D.
6、解析:解析 * 因为:*, 所以:*答案为 A5.设 ,则 dy=_ A B C D (分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 *答案为 C6.设函数 f(x)= (分数:3.00)A.B.C.D. 解析:解析 因为连续函数的极值点必是函数的驻点或不可导点,故由此来判断 x=1 是 f(x)=*的极值点答案为 D7.若 lnx(x0)是函数 f(x)的原函数,那么 f(x)的另一个原函数是_ Aln(ax)(a0,x0) B(x0) Cln(x+a)(x+a0) D (分数:3.00)A. B.C.D.解析:解析 *,ln(ax)也是 f(x)的原函数答案为 A8.微分方程 y=ex-2
7、y的通解是 y=_A Bln(2e x+C)C (分数:3.00)A. B.C.D.解析:解析 y=e x-2y,*,e 2ydy=exdx,e 2ydy=e xdx 即*,化简得*答案为 A9.设 ,则 (分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 *,lnz=x+lny,即 z=ex+lny=yex,*答案为 C10.若 D=(x,y)|-2x2,0y1,则二重积分 (x,y)dxdy=_ A B CD (分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 由二重积分的性质得*答案为 C三、B第二部分 非选择题/B(总题数:0,分数:0.00)四、B简单计算题/B(总题数:5,分数:20.00
8、)11.求 (分数:4.00)_正确答案:(*)解析:12.,求 dy (分数:4.00)_正确答案:(*,所以*)解析:13.求 (分数:4.00)_正确答案:(*)解析:14.求微分方程 (分数:4.00)_正确答案:(分离变量得 ydy=-xdx,两端积分得*,或 x2+y2=C由初始条件得 C=17,则所求特解为 x2+y2=17)解析:15.计算二重积分 (分数:4.00)_正确答案:(*)解析:五、B计算题/B(总题数:5,分数:25.00)16.设 (分数:5.00)_正确答案:(当 x2-40即-2x2 时fg(x)=f(x2-4)=(x2-4+1)2=(x2-3)2;当 x2
9、-40,即 x2 或 x-2 时,fg(x)=f(x2-4)=x2-4+4=x2,故 fg(x)=*)解析:17.,求 y (分数:5.00)_正确答案:(*)解析:18.讨论需求曲线 D=4b3-3bP2+P3(b0)的单调性、凹凸性和拐点(分数:5.00)_正确答案:(1)D=-6bP+3P 2=0,P=2bP2b 时,D0,函数递减,P2b 时,D0,函数递增(2)D“=6P-6b=0,P=bPb 时,D“0,曲线是凸的,Pb 时,D“0,曲线是凹的(3)当 P=b 时,D(b)=4b 3-3b3+b3=2b3,拐点为(b,2b 3)解析:19.设 求 (分数:5.00)_正确答案:(设
10、 x-1=t,则 dx=dt,x=0 时,t=-1;x=2 时,t=1,所以 *)解析:20.计算二重积分 ,其中 D 是由抛物线 (分数:5.00)_正确答案:(求交点*得(8,-2),(2,1) *)解析:六、B综合题/B(总题数:1,分数:21.00)某商品日产量是 x 个单位时,总成本 F(x)的变化率为 f(x)=0.2x+5(元/单位),已知 F(0)=0求:(分数:21.00)(1).总成本 F(x)(分数:4.20)_正确答案:(*)解析:(2).若销售单价是 25 元,求总利润(分数:4.20)_正确答案:(L(x)=25x-0.1x 2-5x=-0.1x2+20x)解析:(
11、3).日产量为多少时,才能获得最大利润?(分数:4.20)_正确答案:(L(x)=-0.2x+20 当 x=100 时,L=0,L“=-0.20, 当 x=100 单位时获利润最大,最大利润为 1000 元)解析:(4).已知某企业生产某种产品 q 件时,MC=5 千克/件,MR=10-0.02q 千元/件,又知当 q=10 件时,总成本为 250 千克,求最大利润(其中边际成本函数 ,边际收益函数 MR= (分数:4.20)_正确答案:(C(q)=MCdq=5dq=5q+C 0,已知 C(10)=250,代入可求出 C0=200,故 C(q)=5q+200,又 R(q)=MRdq=(10-0
12、.02q)dq=10q-0.01q2+R0因为 R(0)=0,代入可求出 R0=0,故 R(q)=10q-0.01q2,于是L(q)=R(q)-C(q)=5q-0.01q2-200,L(q)=5-0.02q,令 L(q)=0,解出 q=250,而 L“(q)=-0.020,故 q=250 为唯一极大值点,即最大值点,此时 L(250)=425)解析:(5).求函数 z=x2+y2-xy-2x-y 在区域 D(如下图):x0,y0,x+y4 上的最大值和最小值(分数:4.20)_正确答案:(令*解得*,且*,在边界 x=0 上,z=y 2-y,0y4,令 zy=2y-1=0,解得*,*在边界 y=0 上,z=x 2-2x,0x4,由 zx=2x-2=0,得 z=1,*在边界 x+y=4 上,作拉格朗日函数令 F(x,y,)=x 2+y2-xy-2x-y+(x+y-4),求 F 的一阶偏导数,并令其等于零得:*解得*综上所述,函数 z 在点*处取最小值*,在点(0,4)处取最大值 z=12)解析: