1、高等数学一自考题-8 及答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：10，分数：30.00)1.设 （分数：3.00）A.B.C.D.2. （分数：3.00）A.B.C.D.3.当 x时， 与 （分数：3.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)在 x=a 处可导，且 =1，则 f(a)=_ A B5 C2 D （分数：3.00）A.B.C.D.5.设 ，则 dy=_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)= （分数：3.00）A.B.C.D.7.若 lnx(x0)是函
2、数 f(x)的原函数，那么 f(x)的另一个原函数是_ Aln(ax)(a0，x0) B(x0) Cln(x+a)(x+a0) D （分数：3.00）A.B.C.D.8.微分方程 y=ex-2y的通解是 y=_A Bln(2e x+C)C （分数：3.00）A.B.C.D.9.设 ，则 （分数：3.00）A.B.C.D.10.若 D=(x，y)|-2x2，0y1，则二重积分 (x，y)dxdy=_ A B CD （分数：3.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B简单计算题/B(总题数：5，分数：20.00)11.求 （分数：4.00）_12.，求
3、 dy （分数：4.00）_13.求 （分数：4.00）_14.求微分方程 （分数：4.00）_15.计算二重积分 （分数：4.00）_五、B计算题/B(总题数：5，分数：25.00)16.设 （分数：5.00）_17.，求 y （分数：5.00）_18.讨论需求曲线 D=4b3-3bP2+P3(b0)的单调性、凹凸性和拐点（分数：5.00）_19.设 求 （分数：5.00）_20.计算二重积分 ，其中 D 是由抛物线 （分数：5.00）_六、B综合题/B(总题数：1，分数：21.00)某商品日产量是 x 个单位时，总成本 F(x)的变化率为 f(x)=0.2x+5(元/单位)，已知 F(0)
4、=0求：（分数：21.00）(1).总成本 F(x)（分数：4.20）_(2).若销售单价是 25 元，求总利润（分数：4.20）_(3).日产量为多少时，才能获得最大利润?（分数：4.20）_(4).已知某企业生产某种产品 q 件时，MC=5 千克/件，MR=10-0.02q 千元/件，又知当 q=10 件时，总成本为 250 千克，求最大利润(其中边际成本函数 ，边际收益函数 MR= （分数：4.20）_(5).求函数 z=x2+y2-xy-2x-y 在区域 D(如下图)：x0，y0，x+y4 上的最大值和最小值（分数：4.20）_高等数学一自考题-8 答案解析(总分：96.00，做题时间
5、：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：10，分数：30.00)1.设 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 *，f(x)=1+x=y，得 x=y-1，故反函数 f-1(x)=x-1答案为 A2. （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 *答案为 A3.当 x时， 与 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 x时，*与*等价，*，通过观察可发现只有 k=2 时才能使上述极限成立答案为 C4.设函数 f(x)在 x=a 处可导，且 =1，则 f(a)=_ A B5 C2 D （分数：3.00）A. B.C.D.
6、解析：解析 * 因为：*， 所以：*答案为 A5.设 ，则 dy=_ A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 *答案为 C6.设函数 f(x)= （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为连续函数的极值点必是函数的驻点或不可导点，故由此来判断 x=1 是 f(x)=*的极值点答案为 D7.若 lnx(x0)是函数 f(x)的原函数，那么 f(x)的另一个原函数是_ Aln(ax)(a0，x0) B(x0) Cln(x+a)(x+a0) D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 *，ln(ax)也是 f(x)的原函数答案为 A8.微分方程 y=ex-2
7、y的通解是 y=_A Bln(2e x+C)C （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 y=e x-2y，*，e 2ydy=exdx，e 2ydy=e xdx 即*，化简得*答案为 A9.设 ，则 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 *，lnz=x+lny，即 z=ex+lny=yex，*答案为 C10.若 D=(x，y)|-2x2，0y1，则二重积分 (x，y)dxdy=_ A B CD （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由二重积分的性质得*答案为 C三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B简单计算题/B(总题数：5，分数：20.00
8、)11.求 （分数：4.00）_正确答案：(*)解析：12.，求 dy （分数：4.00）_正确答案：(*，所以*)解析：13.求 （分数：4.00）_正确答案：(*)解析：14.求微分方程 （分数：4.00）_正确答案：(分离变量得 ydy=-xdx，两端积分得*，或 x2+y2=C由初始条件得 C=17，则所求特解为 x2+y2=17)解析：15.计算二重积分 （分数：4.00）_正确答案：(*)解析：五、B计算题/B(总题数：5，分数：25.00)16.设 （分数：5.00）_正确答案：(当 x2-40即-2x2 时fg(x)=f(x2-4)=(x2-4+1)2=(x2-3)2；当 x2
9、-40，即 x2 或 x-2 时，fg(x)=f(x2-4)=x2-4+4=x2，故 fg(x)=*)解析：17.，求 y （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：18.讨论需求曲线 D=4b3-3bP2+P3(b0)的单调性、凹凸性和拐点（分数：5.00）_正确答案：(1)D=-6bP+3P 2=0，P=2bP2b 时，D0，函数递减，P2b 时，D0，函数递增(2)D“=6P-6b=0，P=bPb 时，D“0，曲线是凸的，Pb 时，D“0，曲线是凹的(3)当 P=b 时，D(b)=4b 3-3b3+b3=2b3，拐点为(b，2b 3)解析：19.设 求 （分数：5.00）_正确答案：(设
10、 x-1=t，则 dx=dt，x=0 时，t=-1；x=2 时，t=1，所以 *)解析：20.计算二重积分 ，其中 D 是由抛物线 （分数：5.00）_正确答案：(求交点*得(8，-2)，(2，1) *)解析：六、B综合题/B(总题数：1，分数：21.00)某商品日产量是 x 个单位时，总成本 F(x)的变化率为 f(x)=0.2x+5(元/单位)，已知 F(0)=0求：（分数：21.00）(1).总成本 F(x)（分数：4.20）_正确答案：(*)解析：(2).若销售单价是 25 元，求总利润（分数：4.20）_正确答案：(L(x)=25x-0.1x 2-5x=-0.1x2+20x)解析：(
11、3).日产量为多少时，才能获得最大利润?（分数：4.20）_正确答案：(L(x)=-0.2x+20 当 x=100 时，L=0，L“=-0.20， 当 x=100 单位时获利润最大，最大利润为 1000 元)解析：(4).已知某企业生产某种产品 q 件时，MC=5 千克/件，MR=10-0.02q 千元/件，又知当 q=10 件时，总成本为 250 千克，求最大利润(其中边际成本函数 ，边际收益函数 MR= （分数：4.20）_正确答案：(C(q)=MCdq=5dq=5q+C 0，已知 C(10)=250，代入可求出 C0=200，故 C(q)=5q+200，又 R(q)=MRdq=(10-0
12、.02q)dq=10q-0.01q2+R0因为 R(0)=0，代入可求出 R0=0，故 R(q)=10q-0.01q2，于是L(q)=R(q)-C(q)=5q-0.01q2-200，L(q)=5-0.02q，令 L(q)=0，解出 q=250，而 L“(q)=-0.020，故 q=250 为唯一极大值点，即最大值点，此时 L(250)=425)解析：(5).求函数 z=x2+y2-xy-2x-y 在区域 D(如下图)：x0，y0，x+y4 上的最大值和最小值（分数：4.20）_正确答案：(令*解得*，且*，在边界 x=0 上，z=y 2-y，0y4，令 zy=2y-1=0，解得*，*在边界 y=0 上，z=x 2-2x，0x4，由 zx=2x-2=0，得 z=1，*在边界 x+y=4 上，作拉格朗日函数令 F(x，y，)=x 2+y2-xy-2x-y+(x+y-4)，求 F 的一阶偏导数，并令其等于零得：*解得*综上所述，函数 z 在点*处取最小值*，在点(0，4)处取最大值 z=12)解析：
