1、高等数学一自考题-7 及答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：10，分数：30.00)1.设 f(x)是以 5 为周期的奇函数，且 f(-1)=-1，则 f(11)=_ A.1 B.-1 C.2 D.-2（分数：3.00）A.B.C.D.2.=_ A0 B C1 D （分数：3.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，x 2+3x+x3sin （分数：3.00）A.B.C.D.4.设 f(x)=x|x|，则 f(0)=_ A.1 B.-1 C.0 D.不存在（分数：3.00）A.B.C.D.5.设
2、 y=f(t)，t=(x)都可微，则 dy=_ A.f(x)dt B.(x)dx C.f(t)(x)dx D.f(t)dx（分数：3.00）A.B.C.D.6.f(x)0，x(a，b)是函数 f(x)在(a，b)内单调减少的_ A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件（分数：3.00）A.B.C.D.7.函数 的一个原函数为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.8.微分方程 xy=ylny 的通解是_ A.ex+C B.e-x+C C.eCx D.e-x+C（分数：3.00）A.B.C.D.9.无穷限积分 =_ A1 B0 C D （分数：3.00）A.B.C
3、.D.10.若 fx(x0，y 0)=0，f y(x0，y 0)=0，则 f(x，y)在点(x 0，y 0)处_ A.偏导数必存在 B.必可微 C.必连续 D.必有极值（分数：3.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B简单计算题/B(总题数：5，分数：20.00)11.求 （分数：4.00）_12.设 （分数：4.00）_13.求 （分数：4.00）_14.求微分方程 （分数：4.00）_15.计算二次积分： （分数：4.00）_五、B计算题/B(总题数：5，分数：25.00)16.求函数 （分数：5.00）_17.求函数 （分数：5.00）_1
4、8.设函数 （分数：5.00）_19.求 （分数：5.00）_20.将二次积分 （分数：5.00）_六、B综合题/B(总题数：1，分数：21.00)设某厂生产的某种产品固定成本为 200(百元)，每生产 1 个单位商品，成本增加 5(百元)，且已知需求函数为 Q=100-2p，其中 p 为价格，Q 为产量这种商品在市场上是畅销的（分数：21.00）(1).试分别列出商品的总成本函数 C(p)及总收益函数 R(p)（分数：4.20）_(2).求出使该商品的总利润最大时的产量（分数：4.20）_(3).求最大利润（分数：4.20）_(4).某厂每批生产某产品 x 单位时的边际成本为 5(元/单位)
5、，边际收益为 10-0.02x(元/单位)，当生产10 单位产品时总成本为 250 元，问每批生产多少单位产品时利润最大?并求出最大利润（分数：4.20）_(5).企业用两种原料甲和乙来生产某产品，甲、乙原料的价格分别为每千克 2 万元、1 万元，该产品的产量和原料甲、乙投入量之间的关系为 z=20-x2+10x-2y2+5y，其中 x、y 分别为甲、乙的投入量，z 为产品产量设产品的价格为每千克 5 万元，试确定原料甲、乙的投入量为多少时使利润最大(成本只计甲、乙原料的投入)（分数：4.20）_高等数学一自考题-7 答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B
6、(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：10，分数：30.00)1.设 f(x)是以 5 为周期的奇函数，且 f(-1)=-1，则 f(11)=_ A.1 B.-1 C.2 D.-2（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 f(x+5)=f(x)且 f(-x)=-f(x)，所以 f(-1)=-f，(1)=-1，即 f(1)=1，而 f(11)=f(1+25)=f(1)=1答案为 A2.=_ A0 B C1 D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 *答案为 B3.当 x0 时，x 2+3x+x3sin （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 *
7、，x 2+3x+x3sin*是 x 的同阶但不等价的无穷小量答案为 B4.设 f(x)=x|x|，则 f(0)=_ A.1 B.-1 C.0 D.不存在（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x)=x|x|， *， 故有 f(0)=0答案为 C5.设 y=f(t)，t=(x)都可微，则 dy=_ A.f(x)dt B.(x)dx C.f(t)(x)dx D.f(t)dx（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由微分运算法则知 dy=f(t)dt，将 t=(x)代入，得：dy=f(t)(x)dx答案为 C6.f(x)0，x(a，b)是函数 f(x)在(a，b)内单调减少的_
8、A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 由单调的充分条件，即如果 f(x)在(a，b)内可导，且 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内单调减少答案为 A7.函数 的一个原函数为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由原函数与不定积分的定义或关系可得之*=*答案为 D8.微分方程 xy=ylny 的通解是_ A.ex+C B.e-x+C C.eCx D.e-x+C（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 该方程为可分离变量的方程，分离变量得*，两边积分*，得 ln(lny)=lnx+lnC=l
9、n(Cx)，即 lny=Cx，y=e Cx答案为 C9.无穷限积分 =_ A1 B0 C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 *答案为 D10.若 fx(x0，y 0)=0，f y(x0，y 0)=0，则 f(x，y)在点(x 0，y 0)处_ A.偏导数必存在 B.必可微 C.必连续 D.必有极值（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 f x(x0，y 0)=0，f y(x0，y 0)=0 f(x，y)在(x 0，y 0)处偏导数存在，但不能推出可微或连续一阶偏导数等于 0 的点只能说明是驻点，不能判断是否是极值点答案为 A三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分
10、数：0.00)四、B简单计算题/B(总题数：5，分数：20.00)11.求 （分数：4.00）_正确答案：(*)解析：12.设 （分数：4.00）_正确答案：(*)解析：13.求 （分数：4.00）_正确答案：(*)解析：14.求微分方程 （分数：4.00）_正确答案：(*)解析：15.计算二次积分： （分数：4.00）_正确答案：(该二次积分的积分域 D 为圆心在原点(0，0)，半径为 a 的圆位于第一象限的部分，其图形如下图所示，化为极坐标得 * *)解析：五、B计算题/B(总题数：5，分数：25.00)16.求函数 （分数：5.00）_正确答案：(当 0x1 时，由 y=x-2，知值域为
11、 y(-2，-1，并反解出 x=y+2，故y-1(x)=x+2，x(-2，-1，当 1x3 时，由 y=3-(x-3)2，知值域为 y(-1，3，求解 x 有 x-3=*，正根舍去，有*，故*，x(-1，3，于是*分段函数的反函数由 y=f(x)分段求解出 x，其定义域是原函数的值域)解析：17.求函数 （分数：5.00）_正确答案：(利用对数求导法 两边取对数，得*， *， 于是*)解析：18.设函数 （分数：5.00）_正确答案：(f(x)的定义域为(-，0)(0，+)，*，*令 f(x)=0 得 x=1，而定义域内既无 f“(x)=0 的点也无 f“(x)不存在的点列表讨论： (-，0)
12、(0，1)1(1，+)f(x) + - 0 +f“(x) - + + +f(x)凸凹 e+1凹(-，0)为凸区间，(0，+)为凹区间；f(1)=e+1 为极小值；无拐点；无水平渐近线；*所以 x=0 是竖直渐近线)解析：19.求 （分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：20.将二次积分 （分数：5.00）_正确答案：(积分区域 D 如下图所示，故 * *)解析：六、B综合题/B(总题数：1，分数：21.00)设某厂生产的某种产品固定成本为 200(百元)，每生产 1 个单位商品，成本增加 5(百元)，且已知需求函数为 Q=100-2p，其中 p 为价格，Q 为产量这种商品在市场上是畅销的
13、（分数：21.00）(1).试分别列出商品的总成本函数 C(p)及总收益函数 R(p)（分数：4.20）_正确答案：(总成本 C(p)等于可变成本与固定成本之和，总收益函数 R(p)为价格与销售量的乘积，故 C(p)=5(100-2p)+200=700-10p，R(p)=p(100-2p)=100p-2p2)解析：(2).求出使该商品的总利润最大时的产量（分数：4.20）_正确答案：(设总利润函数为 L(p)，则L(p)=R(p)-C(p)=100p-2p2-(700-10p)=-2p2+110p-700，L(p)=-4p+110，令 L(p)=0，得-4p+110=0，解得*，L“(p)=-
14、4o，故*为 L(p)的最大值当总利润最大时，产量 Q=*=100-55=45(单位)解析：(3).求最大利润（分数：4.20）_正确答案：(最大利润为*=812.5(百元)解析：(4).某厂每批生产某产品 x 单位时的边际成本为 5(元/单位)，边际收益为 10-0.02x(元/单位)，当生产10 单位产品时总成本为 250 元，问每批生产多少单位产品时利润最大?并求出最大利润（分数：4.20）_正确答案：(1)边际利润 L(x)=R(x)-C(x)=(10-0.02x)-5=5-0.02x令 L(x)=0，得 x=250(单位)又 L“(x)=-0.020，故每批生产该产品 250 个单位
15、时利润最大(2)总成本函数 C(x)=*5dt+C0=5x+C0由 C(10)=250，知 C0=200(元)总利益函数：*总利润函数：L(x)=R(x)-C(x)=5x-0.01x2-200，故 L(250)=425(元)解析：(5).企业用两种原料甲和乙来生产某产品，甲、乙原料的价格分别为每千克 2 万元、1 万元，该产品的产量和原料甲、乙投入量之间的关系为 z=20-x2+10x-2y2+5y，其中 x、y 分别为甲、乙的投入量，z 为产品产量设产品的价格为每千克 5 万元，试确定原料甲、乙的投入量为多少时使利润最大(成本只计甲、乙原料的投入)（分数：4.20）_正确答案：(生产成本为 C=2x+y，产品的销售收入为R=5z=5(20-x2+10x-2y2+5y)=100-5x2+50x-10y2+25y因此，利润函数为 =R-C=100-5x 2+48x-10y2+24y求解下列方程组*得到驻点(4.8，1.2)，因为*，B2-AC=-2000，所以利润函数在点(4.8，1.2)处有最大值：(4.8，1.2)=229.6(万元)解析：
