1、高等数学一自考题-6 及答案解析(总分：96.02，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：10，分数：30.00)1.下列函数为奇函数的是_Ay=sinx+cosx B （分数：3.00）A.B.C.D.2. （分数：3.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，下面与 tanx 等价的无穷小量是_ A.x B.2x C.x2 D.2x2（分数：3.00）A.B.C.D.4.已知曲线 y=x2+x-2 上点 M 处的切线与直线 y=3x+1 平行，则点 M 的坐标为_ A.(0，1) B.(1，0) C.(0，0) D.(1，
2、1)（分数：3.00）A.B.C.D.5.设 y=f(ln2x)，则 =_A2lnxf(ln 2x) B f(In2x)Cln 2xf(ln2x) D （分数：3.00）A.B.C.D.6.在下列区间中，函数 f(x)=-2x3+3x2+12x+3 单调减少的区间是_ A.-3，1 B.-2，-1 C.1，3 D.-2，+2（分数：3.00）A.B.C.D.7.设供给函数 Q=3e3p(p 为价格，Q 是产量)，那么其供给弹性为_A B （分数：3.00）A.B.C.D.8.cot 2xdx=_ A.csc2x+x+C B.csc2x+C C.cotx-x+C D.-cotx-x+C（分数：3
3、.00）A.B.C.D.9.下列反常积分收敛的是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.10.函数 z=x2-y2+2y+7 在驻点(0，1)处_ A.取极大值 B.取极小值 C.无极值 D.无法判断是否取极值（分数：3.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B简单计算题/B(总题数：5，分数：20.00)11.求极限 （分数：4.00）_12.设 （分数：4.00）_13.求极限 （分数：4.00）_14.求微分方程 yy=3(x+2)2(1+y2)的通解（分数：4.00）_15.由方程 x2+y2+z2=4z 可确定 z 是 x，
4、y 的隐函数，求 ， （分数：4.00）_五、B计算题/B(总题数：1，分数：25.00)讨论下列函数在给定的定义域上是否存在最大(小)值（分数：25.02）(1).y=x，x(-1，1)（分数：4.17）_(2). （分数：4.17）_(3).已知 ，求 （分数：4.17）_(4).设函数 y=ax3+bx2+cx+2 在 x=0 处取得极值，且其图形上有拐点(-1，4)，求常数 a，b，c 的值（分数：4.17）_(5).求 （分数：4.17）_(6).设区域 D：x 2+y2a 2(a0)，求 a 的值，使 （分数：4.17）_六、B综合题/B(总题数：1，分数：21.00)设某产品的需
5、求函数为 Q=40-2P，又生产 Q 件时的平均成本为 （分数：21.00）(1).Q=10 时的边际收入（分数：4.20）_(2).Q=10 时的需求价格弹性（分数：4.20）_(3).边际利润为零时的总产量与利润额（分数：4.20）_(4).求曲线 y=ex，y=e -x和直线 x=1 所围成平面图形的面积 A 以及其绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积Vx（分数：4.20）_(5).从直径为 d 的圆形树干中切出横断面为矩形的梁，此矩形的长为 b，宽为 h，若梁的强度 f(b)=bh2，问梁的横断尺寸应如何设计可使其强度最大?并求出最大强度（分数：4.20）_高等数学一自考题-6 答案解析(
6、总分：96.02，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：10，分数：30.00)1.下列函数为奇函数的是_Ay=sinx+cosx B （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 对于选项 B，*，则*=*，*是奇函数答案为 B2. （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 *答案为 C3.当 x0 时，下面与 tanx 等价的无穷小量是_ A.x B.2x C.x2 D.2x2（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 *答案为 A4.已知曲线 y=x2+x-2 上点 M 处的切线与直线 y=3x+1 平行，
7、则点 M 的坐标为_ A.(0，1) B.(1，0) C.(0，0) D.(1，1)（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 与直线 y=3x+1 平行，则过 M 点的切线斜率等于 3又因 y=2x+1，所以2x+1=3，x=1，y=0答案为 B5.设 y=f(ln2x)，则 =_A2lnxf(ln 2x) B f(In2x)Cln 2xf(ln2x) D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 *答案为 D6.在下列区间中，函数 f(x)=-2x3+3x2+12x+3 单调减少的区间是_ A.-3，1 B.-2，-1 C.1，3 D.-2，+2（分数：3.00）A.B. C.D
8、.解析：解析 f(x)=-2x 3+3x2+12x+3，f(x)=-6x 2+6x+12=-6(x2-x-2)=-6(x-2)(x+1)-6(x-2)(x+1)0，x2 或 x-1，即(-，-12，+)是 f(x)的单调减少区间，而-2，-1*(-，-1答案为 B7.设供给函数 Q=3e3p(p 为价格，Q 是产量)，那么其供给弹性为_A B （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由供给价格弹性定义，先求出 Q=9e3p，则*=3p答案为 D8.cot 2xdx=_ A.csc2x+x+C B.csc2x+C C.cotx-x+C D.-cotx-x+C（分数：3.00）A.B.C.
9、D. 解析：解析 *答案为 D9.下列反常积分收敛的是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 因*，知*收敛答案为 C10.函数 z=x2-y2+2y+7 在驻点(0，1)处_ A.取极大值 B.取极小值 C.无极值 D.无法判断是否取极值（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查二元函数极值的求法 *， 从而根据极值的充分条件，函数无极值答案为C三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B简单计算题/B(总题数：5，分数：20.00)11.求极限 （分数：4.00）_正确答案：(*)解析：12.设 （分数：4.00）_正确答案：(
10、*)解析：13.求极限 （分数：4.00）_正确答案：(由洛必达法则得 原式=*)解析：14.求微分方程 yy=3(x+2)2(1+y2)的通解（分数：4.00）_正确答案：(原方程化为*，两边积分得通解 ln(1+y2)=2(x+2)3+C(C 为任意常数)解析：15.由方程 x2+y2+z2=4z 可确定 z 是 x，y 的隐函数，求 ， （分数：4.00）_正确答案：(由 2x+2zzx=4zx，得*，由 2y+2zzy=4zy，得*)解析：五、B计算题/B(总题数：1，分数：25.00)讨论下列函数在给定的定义域上是否存在最大(小)值（分数：25.02）(1).y=x，x(-1，1)（
11、分数：4.17）_正确答案：(函数 y=x 在(-1，1)内连续，但是在(-1，1)内取不到最大值，也取不到最小值如下图(a)所示本题说明，开区间内的连续函数不一定能取到最大(小)值 *)解析：(2). （分数：4.17）_正确答案：(在闭区间-1，1上，f(x)在 x0=0 处连续，由图(b)可以看到，f(x)在闭区间-1，1上的最小值为 0，最大值为 1本题说明，闭区间上的连续函数，一定能取到最大(小)值)解析：(3).已知 ，求 （分数：4.17）_正确答案：(*， 由复合函数求导法则，有*)解析：(4).设函数 y=ax3+bx2+cx+2 在 x=0 处取得极值，且其图形上有拐点(-
12、1，4)，求常数 a，b，c 的值（分数：4.17）_正确答案：(由题意知*又 y=3ax2+2bx+c，y“=6ax+2b，代入(*)式解得 a=1，b=3，c=0)解析：(5).求 （分数：4.17）_正确答案：(含指数函数与三角函数乘积的定积分，用分部积分法设 u=cosx，v=e 2x，则 u=-sinx，*，所以*，再设 u=sinx，v=e 2x，则 u=cosx，*，所以*，代入上式得*，移项得*，故*)解析：(6).设区域 D：x 2+y2a 2(a0)，求 a 的值，使 （分数：4.17）_正确答案：(令 x=rcos，y=rsin， * * *)解析：六、B综合题/B(总题
13、数：1，分数：21.00)设某产品的需求函数为 Q=40-2P，又生产 Q 件时的平均成本为 （分数：21.00）(1).Q=10 时的边际收入（分数：4.20）_正确答案：(收益函数 R(Q)=QP=*， R(Q)=20-Q，所以 Q=10 时的边际收益为 R(10)=10)解析：(2).Q=10 时的需求价格弹性（分数：4.20）_正确答案：(由于 P=*，所以 Q=10 时的价格为 P=15， 需求价格弹性为 *， 所以 Q=10 时的需求价格弹性为 *)解析：(3).边际利润为零时的总产量与利润额（分数：4.20）_正确答案：(由于*，所以 C(Q)=20+4Q， 利润函数为*， 边际
14、利润为 L(Q)=-Q+16，L=0 得 Q=16， 边际利润为零时的产量为 Q=16，此时的总利润为 L(16)=108)解析：(4).求曲线 y=ex，y=e -x和直线 x=1 所围成平面图形的面积 A 以及其绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积Vx（分数：4.20）_正确答案：(本题为定积分的应用平面图形如下图所示*A=*，Vx为 y=ex与 y=e-x旋转所得旋转体体积之差，即*)解析：(5).从直径为 d 的圆形树干中切出横断面为矩形的梁，此矩形的长为 b，宽为 h，若梁的强度 f(b)=bh2，问梁的横断尺寸应如何设计可使其强度最大?并求出最大强度（分数：4.20）_正确答案：(d 2=b2+h2，h 2=d2-b2，f(b)=bh2=b(d2-b2)，f(b)=d 2=3b2当*时，f(b)=0，f“(b)=-6b0*为最大值)解析：
