1、高等数学一自考题-3 及答案解析(总分：95.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：10，分数：30.00)1.在实数范围内，下列函数中为有界函数的是_ A.ex B.1+sinx C.lnx D.tanx（分数：3.00）A.B.C.D.2.设 （分数：3.00）A.B.C.D.3. （分数：3.00）A.B.C.D.4.设 （分数：3.00）A.B.C.D.5.函数 （分数：3.00）A.B.C.D.6.下列极限中可用洛必达法则计算的是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.7.下列曲线有水平渐近线的
2、是_ A.y=ex B.y=x3 C.y=x2 D.y=lnx（分数：3.00）A.B.C.D.8.e xsinxdx=_A B （分数：3.00）A.B.C.D.9.设 （分数：3.00）A.B.C.D.10.设 u=f(x2+y2+z2)，则 （分数：3.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B简单计算题/B(总题数：5，分数：20.00)11.求极限 （分数：4.00）_12.求双曲线 （分数：4.00）_13.求 （分数：4.00）_14.求不定积分 （分数：4.00）_15.已知 z= ，求 （分数：4.00）_五、B计算题/B(总题数：
3、5，分数：25.00)16.讨论， （分数：5.00）_17.设 （分数：5.00）_18.求 （分数：5.00）_19.设 I1= ， （分数：5.00）_20.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，求 （分数：5.00）_六、B综合题/B(总题数：1，分数：20.00)设某商店售出 x 台录像机时的边际利润为 L(x)=12.5- （分数：20.00）(1).售出 40 台时的总利润 L（分数：5.00）_(2).售出 60 台时，前 30 台的平均利润和后 30 台的平均利润(其中 L(x)的单位为百元/台)（分数：5.00）_(3).求曲线 y=lnx 在区间(2，6)内的一条切线，使
4、得该切线与直线 x=2，x=6 及曲线 y=lnx 所围成的图形的面积最小（分数：5.00）_(4).求内接于半径为 R 的球内而体积最大的圆柱体的高（分数：5.00）_高等数学一自考题-3 答案解析(总分：95.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：10，分数：30.00)1.在实数范围内，下列函数中为有界函数的是_ A.ex B.1+sinx C.lnx D.tanx（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 因为|1+sinx|1+|sinx|1+1=2，所以函数 1+sinx 为有界函数答案为 B2.设 （
5、分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 gf(x)=*而当 f(x)=1 时，1-f(x)=f(x)-1=0，gf(x)=1-f(x)答案为 B3. （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 “*”型未定式，分子、分母同除以 x，而 x时，*和*sinx 2均为无穷小量极限为0，于是有*答案为 B4.设 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 *，f(x)在 x=1 处间断又因为*(e x-1)=0，且 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续答案为 B5.函数 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为*，故 f(x)在点 x=0 处连续；*不存在，故 f
6、(x)在点 x=0 处不可导答案为 D6.下列极限中可用洛必达法则计算的是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 *，分子、分母的极限都为 0，可用洛必达法则答案为 D7.下列曲线有水平渐近线的是_ A.y=ex B.y=x3 C.y=x2 D.y=lnx（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 因*=0，故 y=0 是 y=ex的水平渐近线，而 B，C 无水平渐近线，D 只有垂直渐近线答案为 A8.e xsinxdx=_A B （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 e xsinxdx=sinxd(e x)=exsinx-e xd(sinx)=exs
7、inx-e xcosxdx=exsinx-cosxd(e x)=exsinx-excosx+e xd(cosx)=ex(sinx-cosx)-e xsinxdx，所以*答案为 B9.设 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 *，x=ln(e+1)答案为 C10.设 u=f(x2+y2+z2)，则 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 设 s=x2+y2+z2，则 u=f(s)且 s=x2+y2+z2，*，*2xf“(s)2y=4xyf“(x2+y2+z2)答案为 B三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B简单计算题/B(总题数：5，分数：20.00)
8、11.求极限 （分数：4.00）_正确答案：(*)解析：12.求双曲线 （分数：4.00）_正确答案：(所求切线的斜率为*在双曲线方程的两边对 x 求导，得*，*，代入 x=x0y=y0，得到双曲线在点(x 0，y 0)处的切线斜率*，所求切线方程为*，即*，即*因为点(x 0，y 0)在双曲线上，所以*，于是所求切线为*=-1)解析：13.求 （分数：4.00）_正确答案：(*)解析：14.求不定积分 （分数：4.00）_正确答案：(原式=*)解析：15.已知 z= ，求 （分数：4.00）_正确答案：(由*，故*， *)解析：五、B计算题/B(总题数：5，分数：25.00)16.讨论， （
9、分数：5.00）_正确答案：(由条件* 知 f(x)在(-，1)，(1，3)，(3，+)内连续， 因此只需讨论 f(x)在 x=1，x=3点处的连续性 当 x=1 时，f(1+0)=4，f(1-0)=6，f(x)在 x=1 处间断， 当 x=3 时，f(3+0)=6，f(3-0)=6，又 f(3)=6， 所以 f(x)在 x=3 处连续，故 f(x)的连续区间为(-，1)(1，+)解析：17.设 （分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：18.求 （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：19.设 I1= ， （分数：5.00）_正确答案：(解法一：在区间0，1上，*，从而*，于是 I1I
10、 2(或 I1I 2)解法二：*，令*，*，所以 I1I 2)解析：20.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，求 （分数：5.00）_正确答案：(本题考查隐函数的求导法则 令 F(x，y，z)=*， * *， 故*)解析：六、B综合题/B(总题数：1，分数：20.00)设某商店售出 x 台录像机时的边际利润为 L(x)=12.5- （分数：20.00）(1).售出 40 台时的总利润 L（分数：5.00）_正确答案：(已知 L(x)，L(0)=0；故售出 40 台时总利润 L=*L(x)dx =*)解析：(2).售出 60 台时，前 30 台的平均利润和后 30 台的平均利润(其中 L(x)
11、的单位为百元/台)（分数：5.00）_正确答案：(前 30 台的平均利润 *， 后 30 台的平均利润 *)解析：(3).求曲线 y=lnx 在区间(2，6)内的一条切线，使得该切线与直线 x=2，x=6 及曲线 y=lnx 所围成的图形的面积最小（分数：5.00）_正确答案：(如下图所示，设切点为(x 1，lnx 1)，则过此点的切线方程为*，*此时*令*，得 x1=4因为 x14 时，*；x 14 时，*，所以当 x1=4 时，S 取得最小值，因此所求切线为*)解析：(4).求内接于半径为 R 的球内而体积最大的圆柱体的高（分数：5.00）_正确答案：(设圆柱体底面半径为 r，高为 2h，则 h2+r2=R2，内接圆柱体体积 V 为V=r 22h=2(R 2-h2)h令 V=2R 2-6h 2=0，得*，因此在讨论问题的范围内*是唯一驻点又 V“=-12h，故*，以高为*时内接圆柱体体积最大)解析：
