1、高等数学一自考题-12 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.函数 （分数：2.00）A.(-3,3)B.(-4,3)C.(-4,4)D.(-4,0)2.要使函数 在 x=0 处连续，应给 f (0)补充定义的数值是_ A （分数：2.00）A.B.C.D.3.过曲线 （分数：2.00）A.-2B.2C.-1D.14.设 f(x)=xln(1+x)，则 f(0)=_（分数：2.00）A.0B.1C.-1D.25.曲线 y=e -x2 上拐点的个数是_（分数：2.00）A.0B.1C
2、.2D.3三、第部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6. （分数：3.00）7.设 （分数：3.00）8.设函数 （分数：3.00）9.函数 （分数：3.00）10.函数 f(x)=x 3 +4x 2 -7x-10 在区间-1,2上满足罗尔定理的条件，则定理中的值 = 1 （分数：3.00）11.设曲线 y=ax 2 与 y=lnx 相切，则 a= 1 （分数：3.00）12.若f(x)dx=F(x)+C，则e -x f(e -x )dx= 1 （分数：3.00）13.设商品的收益 R 与价格 P 之间的关系为 R=6500P-100P 2
3、，则收益 R 对价格 P 的弹性为 1 （分数：3.00）14.若 f(x+y,x-y)=x 2 -y 2 ，则 （分数：3.00）15. （分数：3.00）五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)16. （分数：5.00）_17.求函数 f(x)=x 4 -2x 2 +5 在区间-1,2上的最大值和最小值 （分数：5.00）_18.设 ，求 （分数：5.00）_19.计算 （分数：5.00）_20.求极限 （分数：5.00）_六、计算题(二)(总题数：3，分数：21.00)21.设 z=f(x,y)是由方程 e z -z+xy 3 =0 确定的隐函数，求 z 的全微分 dz （分数：
4、7.00）_22.设 ，求 （分数：7.00）_23.计算二重积分 （分数：7.00）_七、应用题(总题数：1，分数：9.00)24.某商店以每条 100 元的价格购进一批牛仔裤，已知市场的需求函数为 Q=400-2p，问怎样选择牛仔裤的售价 p(元/条)，可使所获利润最大，最大利润是多少 （分数：9.00）_八、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.证明方程 x 3 -3x+1=0 在区间(0,1)内有唯一实根 （分数：5.00）_高等数学一自考题-12 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第部分 选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：
5、10.00)1.函数 （分数：2.00）A.(-3,3)B.(-4,3)C.(-4,4) D.(-4,0)解析：考点 已知函数定义域的求法 解析 由|x|3 得，-3x3，由 3|x|4 得，3x4 或-4x-3综上，x(-4,4)故选 C2.要使函数 在 x=0 处连续，应给 f (0)补充定义的数值是_ A （分数：2.00）A.B.C. D.解析：考点 函数在某点处的连续性 解析 3.过曲线 （分数：2.00）A.-2B.2 C.-1D.1解析：考点 函数导数的几何意义 解析 由 4.设 f(x)=xln(1+x)，则 f(0)=_（分数：2.00）A.0 B.1C.-1D.2解析：考点
6、 导数的计算 解析 因 5.曲线 y=e -x2 上拐点的个数是_（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：考点 曲线拐点的求法 解析 由题意得：y=-2xe -x2 ，y=-2e -x2 +4x 2 e -x2 ，令 y=0，故 故当 时,y0；当 时，y0；当 三、第部分 非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)6. （分数：3.00）解析： 考点 数列极限的计算 解析 原式 7.设 （分数：3.00）解析： 考点 函数导数的计算 解析 因 故 8.设函数 （分数：3.00）解析：0 考点 函数的微分解法 解析 9.函数 （分数：3.00）
7、解析：6 考点 函数在某点连续的含义 解析 由于 f(x)在点 x=3 处连续，则 ，故 10.函数 f(x)=x 3 +4x 2 -7x-10 在区间-1,2上满足罗尔定理的条件，则定理中的值 = 1 （分数：3.00）解析： 考点 罗尔定理的含义 解析 罗尔定理：设函数 y=f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且 f(a)=f(b)，则 (a，b)，使得 f()=0 根据题意得：f()=3 2 +8-7=0，故 又因 -1,2，故 11.设曲线 y=ax 2 与 y=lnx 相切，则 a= 1 （分数：3.00）解析： 考点 导数的几何意义 解析 由两曲线相切，可知两曲线相切时切线
8、的斜率相等 故(ax 2 )=(lnx)，即 又因两曲线相切(即有切点)，故 ax 2 =lnx. 由、式可解得 12.若f(x)dx=F(x)+C，则e -x f(e -x )dx= 1 （分数：3.00）解析：-F(e -x )+C 考点 不定积分的计算 解析 因f(x)dx=F(x)+C，故e -x f(e -x )dx=-f(e -x )d(e -x )=-F(e -x )+C13.设商品的收益 R 与价格 P 之间的关系为 R=6500P-100P 2 ，则收益 R 对价格 P 的弹性为 1 （分数：3.00）解析： 考点 需求价格弹性 解析 14.若 f(x+y,x-y)=x 2
9、-y 2 ，则 （分数：3.00）解析：x+y 考点 二元函数偏导数的计算 解析 易得 f(x,y)=xy，则 15. （分数：3.00）解析： 考点 二重积分的计算 解析 五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)16. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：17.求函数 f(x)=x 4 -2x 2 +5 在区间-1,2上的最大值和最小值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：令 f(x)=4x 3 -4x=4x(x-1)(x+1)=0，得 x 1 =-1，x 2 =0，x 3 =1 比较 f(1)=4，f(0)=5，f(2)=13，可知函数在-1,2上的最大值为 13，
10、最小值为 418.设 ，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：19.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：令 x=sint， 则原式 20.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：原式六、计算题(二)(总题数：3，分数：21.00)21.设 z=f(x,y)是由方程 e z -z+xy 3 =0 确定的隐函数，求 z 的全微分 dz （分数：7.00）_正确答案：()解析：解：两边关于 x 求偏导 ，所以 两边关于 y 求偏导 ，所以 因此： 22.设 ，求 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解： 23.计算二重积分 （分数：7.00）_正确答案：()解
11、析：解：如图 于是 七、应用题(总题数：1，分数：9.00)24.某商店以每条 100 元的价格购进一批牛仔裤，已知市场的需求函数为 Q=400-2p，问怎样选择牛仔裤的售价 p(元/条)，可使所获利润最大，最大利润是多少 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解：由题意，利润函数为 L(p)=pQ-100Q=-2p 2 +600p-40000，求导数 令 ，解得 p=150由于 八、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.证明方程 x 3 -3x+1=0 在区间(0,1)内有唯一实根 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明：令 f(x)=x 3 -3x+1，因为 f(0)=10，所以由连续函数的中值定理知所讨论方程在(0,1)内有实根 又由 x(0,1)时，f(x)=3(x 2 -1)0，可知 f(x)在(0,1)上是严格单调递减的，所以所讨论方程在(0,1)内仅有一个实根
